第章 角元形式的梅涅劳斯定理
第一角元形式的梅涅劳斯定理设、、分别是的三边、、所在直线（包括三边的延长线）
上的点，则、、共线的充要条件是
证明如图，由
，
及
，
．
这三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立． 第二角元形式的梅涅劳斯定理设、、分别是的三边、、所在直线上的点，点不在三边所在直线上，则、、三点共线的充要条件是
．
证明如图．注意到
C '
A'
B
O
C
B
A 图23-2
（其中），
，
． 所以
．
而由梅涅劳斯定理及逆定理知、、共线．
故知结论成立． 注：在上述两定理中，若采用有向角（规定角的终边绕逆时针方向时角为正值，否则为负值）时，两条件式的右端均为，有向角记为． 下面给出运用如上定理处理问题的例子． 例如图，设的三边、、所在的直线
E E'D F'F
D
C
B A
图23-3
上的点、、共线，并且直线、、关于、、平分线的对称直线、、分别与、、所在直
线交于、、，则、、也共线． 证明对及截线应用第一角元形式的梅涅劳斯定理，有
．
由题设知
，
，
，
，
，
，
．
从而有，
即
．
由第一角元形式的梅涅劳斯定理知，、、三点共线．
例若三角形的三条外角平分线皆与对边所在直线相交，则三交点共线． 证明如图，
设的三条外角平分线分别与对边所在直线相交于、、，则
知
，
，，
，
，
．
故有。