2020/3/2
案例11.分数化小数-- 循环节长度
• 数学聊斋: 商家打折: 1428元? • a=1/7=0.142857… • 循环节D=106a-a= 142857=(106-1)/7. • q/p=a的循环节 D=(10d-1)q/p=整数. • 最小的d使 10dq≡q(mod p) • 当 p是素数(≠2,5), 10d≡1(mod p) • D是 10在乘法群 Zp*中的阶,整除 p-1 • 混循环: (10d-1)10kq≡0(mod p).
2020/3/2
案例分析乘法群元素的阶
• 例:q/7. 10k (k=1,2,…)模7余3,2,6,4,5,1，d=6. • 循环节D=q(106-1)/7=142857q. 1/7=a=142857… • 对k=1,2,…,5, 10ka-qk=(10k-7qk)/7=rk/7。 • 将D前k位移到末尾,得到D的rk(=3,2,6,4,5)倍。 • 推广：1/a的循环节轮换排列都得到D的rk倍。 • 仅当d=n-1时得到所有各倍循环群的生成元 • 另例:1/17=0.0588235294117647…。1/19= • 更多性质：142+857=999，14+28+57=99。
2020/3/2
满足条件 J2 = -I.
推广. 域的代数扩张
• 无中生有: 为域F上多项式f(x)造根。 • 强制规定[f(x)]=[0]: 在F[x]中生成理想 (f(x)). • 同余类环 E=F[x]/(f(x))中[f(x)]=[0], [x]是根. • f(x) 在 F[x] 中不可约: E 是F的代数扩域. • 设d=deg f(x), 则 E 是 F 上 d 维空间,[E:F]=d. • 造矩阵根: F上线性变换[g(x)][x][g(x)] 在基
=rs+(r×偶+偶×s+偶×偶)=rs+偶 • “假零”性质: O1.偶±偶=偶
O2.整×偶=偶 • 真零性质: 0±0=0,数×0=0
• 只考虑奇偶性:可以将偶数当作0.
2020/3/2
公理化：环, 理想, 商环
• 环 D：对加、减、乘封闭 • 加、减、乘的合法性条件： • 加法:结合律,交换律,零,负元 • 减法:a-b=a+(-b),(a-b)+b=a. • 乘法:结合律,对加法的分配律 • 理想Q:D的子集,满足“假零”性质O1,O2 • 记a-b∈Q为 a≡b (mod Q),可按等式计算 • 商环: D/Q =同余类集合{ [a]=a+ Q}, • 定义加,减,乘:[a]±[b]=[a±b], [a][b]=[ab].
2020/3/2
案例12. 复数的代数模型—域扩张
2020/3/2
案例12. 复数的代数模型—域扩张
• 环同态基本定理 • 已经找到矩阵J满足J2+I=0。 • 环同态 f:R[x]R[J], f(x)f(J). Kerf = f-1(0) = (x2+1). • 每个 aI+bJ[a+bx]={a+bx+q(x)(x2+1)|q(x)∈R[x]} • 商环 C = R[x]/ (x2+1) ={[a+bx]|a,b∈R} • [0]=[x2+1]=[x]2+[1] [x]2 = -[1]。 • a+bx≠0 与x2+1互素,在C中可逆.C 是域. • 记[1]=1,[x]=i, 则 i2 = -1. C={a1+bi | a,b∈R} =复数域。 • 直接为x2+1造根: 不需先猜J2+I=0。 • 在R[x]中强制规定“假零集合”Q = [0]= [x2+1]. • 则 Q = (x2+1)由 x2+1 的所有倍式组成. C=R[x]/ (x2+1) • 线性变换: [a+bx][x][a+bx]在基{[1],[x]}下的矩阵
2020/3/2
案例8. Zn --单表密码
• Zn =Z/nZ={r+nZ| r=0,1,…,n-1}. • 加法密码: Z26: f(x) = x+b. • 仿射密码: f(x)=ax+b, a可逆. • 可逆元与反函数.例: • y=3x+5, 9×3=27=1, 9=3-1,x=9(y-5). • 可逆条件: (a,n)=1, 存在 au+nq=1,
2020/3/2
案例4. 单位根群
单位根: 1的 n 次方根. xn =1的根. f(a)n =1 na = 2kp a=2kp/n 1,w,w2,…,wn-1 , w = cos(2p/n) +isin(2p/n) • n阶循环群 〈 w 〉={1,w,w2,…,wn-1} • f:Z 〈 w 〉, k wk , f(k+r) = f(k)f(r) • Ker f = nZ • Zn=Z/nZ ≌ 〈 w 〉
2020/3/2
Z2 上n阶行列式
• 数域上的线性代数定理:
• detA=1A可逆行线性无 关
• 茅台换矿泉:也适合于二元域 Z2 • 第1行:A1≠0, 2n-1个选择 • 第2行:A2 ≠ lA1, 2n-2个选择 • 第k+1行:Ak+1 ≠ l1A1+…+lkAk,
2n-2k个选择
au=1, u=a-1. y=ax+b x=a-1(y-b)
• Zn中可逆元组成乘法群 Zn*
2020/3/2
案例9.p元域Zp上可逆阵
• 素数p: Zp* = Zp \{0}. Zp 是域. • Zp 上的n阶可逆方阵个数 • |GL(n,p)|=(pn-1)…(pn-pk)…(pn-pn-1) • 随机整数n阶行列式模p余r概率 • r=0: P0=1-|GL(n,p)|/pn2 • r≠0, f:GL(n,p) Zp*, AdetA.
Z2上的2阶行列式
• D=ad-bc为奇数的概率 • 情况1. ad=1,bc=0 • a=d=1, • (b,c)=(0,0),(0,1),(1,0) • 情况2. ad=0,bc=1 • b=c=1, • (a,d)=(0,0),(0,1),(1,0) • 共6种可能,概率=6/16=3/8 • D为偶数的概率=1-3/8=5/8
2020/3/2
Z2上可逆矩阵群
• GL(2,2):
• Z2上2维空间V共3个非零向量 • v1(1,0),v2(0,1),v3(1,1) • 任何两个线性无关 • 每个置换都是可逆线性变换 • 上述矩阵右乘分别得(1),(23),(12),
(123),(13),(132).
• GL(2,2) ≌ S3
• 曾肯成问题: 随机整数行列式等于奇 数与偶数的概率.
• 奇偶数加减乘公式: • 偶±偶=偶,偶±奇=奇,奇±奇=偶;
整×偶=偶,奇×奇=奇. • 用0,1表示: 0±0=0,0±1=1,1±1=0;
a×0=0,1×1=1. • 二元域 Z2={0,1}.注意1+1=0,a-
b=a+b.
2020/3/2
• 旋转a :v(cosa)v+(sina)(iv) • (cosa +isina)n = cosna +isinna
(棣美弗公式)
f: RR, a eia = cosa +isina
f(a+b) = f(a)f(b) : (群同态) Kerf=f-1(1)=2pZ. R/2pZ≌R (群同构)
• 各行和= (1+…+9)/3=15 • 中心=(15×4－45)/(4 － 1)=5 • 奇偶按角边: 第一行和=第一列和 :
a1+a2+a3 ≡a1+b1+c1a2 ≡b1 • 边=奇: a1+a2+a3 ≡1 a2 ≡1 • 边=奇, 角=偶
2020/3/2
案例7. 奇与偶的算术
---二元域
2020/3/2
案例2. 复数的几何与矩阵模型
• i2 = -1 : 左转两番朝后方 • 平面向量v(-1)v,后转(180o) • 记viv为左转(90o).则i2 = -1. • 域同构: 复数平面线性变换矩阵
• i 左转变换i
• a+bi a1+bi
2020/3/2
案例3. 平面旋转群 R
2020/3/2
抽象代数一定要从公理开始?
• 公理是什么? 许多不同东西的共同点. • 公理化方法: 描述性(非构造性)定义 • 样板: 几何(欧几里德) -- 代数(抽象代数) • 群,环,域的公理内容: • 1. 对加、减、乘、除的封闭性 • 2. 解释什么是加、减、乘、除 • 加法：向量空间前4条公理 = 交换群的运算 • 乘法：结合律(群的公理)
•Байду номын сангаас案例分析正规子群,同态基本定理
2020/3/2
案例10. 极限与微分
• 博士生 2010考题. • 在一点a连续的全体实函数构成环C • O(Dx)(无穷小)与o(Dx)=O(Dx)Dx都是C的理想. • limxcf(x)=A f(x) ≡A (mod O(Dx)) • f(x) ≡f(a)+f’(a)Dx (mod o(Dx)) • 和差积商极限: f(x)≡A, g(x)≡B 加减乘除 • 幂的导数: (x+Dx)n≡xn+nxn-1Dx (xn)’=nxn-1 • 积的导数: f(x)g(x)≡f(a)g(a)+(f(a)g’(a)+g(a)f’(a))Dx • 商的导数:
2020/3/2
有限域: 5最 PK 3最
• 1 抽象代数最后一课 • 2 最难 • 3 最不应当考
• 1 最有用: 信息安全大显身手 • 2 最有味: 抽象代数味道 • 3 最易懂: 小学生可以懂! • 4 最先讲: 可在第一课第一分钟! • 5 最应当考:首选第一题!