《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题
1.14159.3的近似值3.1428,准确数位是( 210 )。
2.满足dbfcaf)(,)(的插值余项)(xR( ))((!2)(bxaxf )。 3.设)}({xPk为勒让德多项式,则))(),((22xPxP(52 )。 4.乘幂法是求实方阵(按模最大 )特征值与特征向量的迭代法。 5.欧拉法的绝对稳定实区间是( ]0,2[)。 二、单选题 1.已知近似数,,ba的误差限)(),(ba,则)(ab(C )。
A.)()(ba B.)()(ba C.)()(bbaa D.)()(abba 2.设xxxf2)(,则]3,2,1[f( A )。 A.1 B.2 C.3 D.4
3.设A=3113,则化A为对角阵的平面旋转( C ).
A.2 B.3 C.4 D.6 4.若双点弦法收敛,则双点弦法具有(B )敛速. A.线性 B.超线性 C.平方 D.三次 5.改进欧拉法的局部截断误差阶是( C ).
A.)(ho B.)(2ho C.)(3ho D.)(4ho 三、计算题
1.求矛盾方程组:2423212121xxxxxx的最小二乘解。
22122122121)2()42()3(),(xxxxxxxx, 由0,021xx得:9629232121xxxx, 解得149,71821xx。 2.用4n的复化梯形公式计算积分211dxx,并估计误差。 21697.0]217868581[81xdx,
9611612)(2MxR。
3.用列主元消元法解方程组:426453426352321321321xxxxxxxxx。 回代得:Tx)1,1,1( 4.用雅可比迭代法解方程组:(求出)1(x)。 因为A为严格对角占优阵,所以雅可比法收敛。
雅可比迭代公式为:,1,0,)1(41)3(41)1(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1mxxxxxxxmmmmmmm。 取Tx)1,1,1()0(计算得: Tx)5.0,25.1,5.0()1(。
5.用切线法求0143xx最小正根(求出1x)。 .因为0875.0)5.0(,01)0(ff,所以]5.0,0[*x,在]5.0,0[上,06)(,043)(2xxfxxf。由0)()(0xfxf,选00x,由迭代公式:
计算得:25.01x。 四、证明题 1.证明:若)(xf存在,则线性插值余项为:
1010),)((!2)()(xxxxxxfxR。
2. 对初值问题:1)0(10yyy,当2.00h时,欧拉法绝对稳定。 1.设))()(()()()(),)()(()(10110xtxtxktLtftgxxxxxkxR,有 xxx,,10为三个零点。应用罗尔定理,)(tg至少有一个零点,
!2)()(,0)(!2)()(fxkxkfg。
2.由欧拉法公式得:
00~1~yyohyynnn。
当2.00h时,则有 00~~yyyynn。欧拉法绝对稳定。 练习题第2套参考答案 一、填空题
1.71828.2e具有3位有效数字的近似值是( 21102,)。
2.用辛卜生公式计算积分101xdx( 11xx, )。 3.设)()1()1(kijkaA第k列主元为)1(kpka,则)1(kpka( 21x, )。 4.已知2415A,则1A( )(434)1(232)1(1313331mmmxaxaxaba , )。 5.已知迭代法:),1,0(),(1nxxnn 收敛,则)(x满足条件( 0()0fx )。 二、单选题 1.近似数21047820.0a的误差限是( C )。
A.51021 B.41021 C.31021 D.21021 2.矩阵A满足( .D ),则存在三角分解A=LR。 A.0detA B. )1(0detnkAk C.0detA D.0detA
3.已知Tx)5,3,1(,则1x( B )。 A.9 B.5 C.-3 D.-5 4.已知切线法收敛,则它法具有( .A )敛速. A.线性 B.超线性 C.平方 D.三次
5.设)}({xPk为勒让德多项式,则))(),((53xPxP( B)。
A.52 B.72 C.92 D.112 三、计算题 1.已知)(xf数表: )5.0(f近似值。 求抛物插值多项式,并求利用反插值法得 2.已知数表: 求最小二乘一次式。 01014648614102aaaa,解得: 由方程组:013,6aa,所以xxg63)(*1。 3.已知求积公式:)21()0()21()(21110fAfAfAdxxf。求210,,AAA,使其具有尽可能高代数精度,并指出代数精度。 10118881[]0.4062282910113dxIx, 21|()|0.001321216768MRf 。 4.用乘幂法求410131014A的按模最大特征值与特征向量。 因为 所以:112233224,(,,0)223,(0,1,0)222,(,,0)22TTTXXX 5.用予估-校正法求初值问题:1)0(2yyxy在4.0)2.0(0x处的解。 应用欧拉法计算公式:nnnyxy1.12.01 ,1,0n,10y。 计算得121.1,1.23yy。 四、证明题 1.设)(A是实方阵A的谱半径,证明:AA)(。 1.因为A=(A-B)+B,AABB, 所以ABAB, 0 1 2 -2 0 4 0 1 2 1 3.2 4.8 又因为B=(B-A)+A, BBAA 所以BABAAB
2.证明:计算)0(aa的单点弦法迭代公式为:nnnxcacxx1,,1,0n。 因为计算5a等价求50xa的实根, 将54(),'()5fxxafxx代入切线法迭代公式得: 51441(4),0,1,...55nnnnnnxaaxxxnxx
。
《计算方法》练习题二 练习题第3套参考答案 一、填空题
1.近似数30.6350010a的误差限是(210 )。
2.设|x|>>1,则变形1xx( ()1G, ),计算更准确。
3.用列主元消元法解:121223224xxxx,经消元后的第二个方程是( 111nnnnxxanxxx),2,1(n, )。 4.用高斯—赛德尔迭代法解4阶方程组,则(1)3mx ( 1.2, )。 5.已知在有根区间[a,b]上,'(),''()fxfx连续且大于零,则取0x满足( 2(,)22nnnnfxyk ),则切线法收敛。 二、选择题 1.已知近似数a的()10/0ra,则3()ra( c )。 A. 10/0 B. 20/0 C. 30/0 D. 40/0 2.设{()}KTX为切比雪夫多项式,则22(().())TXTX(b )。
A.0 B4. C.2 D.
3.对6436A直接作三角分解,则22r( d )。 A. 5 B. 4 C.3 D. 2 4.已知A=D-L-U,则雅可比迭代矩阵B=( c )。 A. 1()DLU B. 1()DLU C. 1()DLU D. 1()DUL 5.设双点弦法收敛,则它具有( a)敛速。 A. 线性 B.超线性 C.平方 D. 三次 三、计算题
1.已知()fx数表
值法求()0fx在[0,2]的根。 用插223sin0.5828510,
222()0.5821052400R。
2.已知数表 求最小二乘一次式。
2.222(,)(4)(3)(26)xyxyxyxy,由0,0xy 得6219235xyxy,解得:474,147xy。 3.用n=4的复化辛卜生公式计算积分102dxx,并估计误差。 3.由221110482n解得3n,取n=3, 复化梯形公式计算得:1011661[]0.4067262783dxx。
4.用雅可比法求310130003A的全部特征值与特征向量。
4.120112011201231201100110012101210011 回代得:(1,1,1)TX
X 0 1 2 y -4 -2 2
X 0 1 2 3 y 2.8 9.2 15.2 20.8