青岛农业大学本科生课程论文题目：中心极限定理及其应用姓名：学院：专业：班级：学号：指导教师：2012 年06 月27 日青岛农业大学课程论文任务书论文题目中心极限定理及其应用要求完成时间 2012年 07 月 02 日论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。
资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。
文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。
内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。
参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。
指导教师签名：年月日中心极限定理及其应用信息与计算科学专业（学生姓名）指导教师（老师姓名）摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。
关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量Central limit theorem and its applicationStudent majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名）Tutor （老师英文名）Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice.Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable引言：最早的中心极限定理是讨论n重伯努力试验中，事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。
1716年前后莫弗对n重伯努力实验中每次事件A出现的概率为0.5的情况进行了讨论，随后拉普拉斯和李雅普诺夫等进行了推广和改进。
自莱维在1919-1925年系统的建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和布局极限定理等。
极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。
长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率轮分析方法，影响着概率论的发展。
同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。
1 中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：1.1 辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a 和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a 和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
1.2 德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
1.3 李亚普洛夫中心极限定理当随机变量Xi独立，但不一定同分布时，中心极限定理也成立。
定理3[2](李雅普诺夫定理)：设X1，X2，…，Xn，…为独立随机变量序列，且E(Xn)=an，D(Xn)=σn2存在，Bn2= σn2（n=1，2，…），若存在δ>0，使得：也就是说，无论各个随机变量Xi服从什么分布，只要满足李雅普诺夫条件，当n很大时，它们的和近似服从正态分布。
由于在大学本科阶段接触的不同分布的样本较少，本文对它的应用将不举例说明。
中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本均值总是近似地服从正态分布。
正是这个结论使得正态分布在生活中有着广泛的应用。
设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本均值总是近似地服从正态分布。
正是这个结论使得正态分布在生活中有着广泛的应用。
1.4 林德贝尔格定理定理[1]：设x1，X2，…，Xn，…是独立同分布随机变量，EXi=μDXi=σ2（i=1，2，…，n)则它表明当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。
定理1也称为林德伯格定理或列维——林德伯格定理。
其中上下同除n，分子中有，其在数理统计中可表示样本的均值，可见独立同分布的样本均值近似地服从正态分布。
这使得中心极限定理在数理统计中有着广泛而重要的作用。
而上述定理应用到伯努利实验序列的情形，我们可以得到如下定理。
定理2[1](拉普拉斯定理)，在n重伯努利试验中，事件A在每次实验中出现的概率P(0<P<1)，μn为n次试验中事件A出现的次数，则2 中心极限定理的应用2.1 同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。
例1[3]：设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少?解：设Xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量X1，X2，…，X5000独立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。
由独立同分布的中心极限定理可知=I-φ（1.414）=1-0.9215=0.0785例2[3]：一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的且同分布，设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重为50吨的汽车承运，每辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977？解：设Xi(i=1，2，…，n)是装运第i箱的重量，n为所求箱数。
由条件可把X1，X2，…，Xn看作独立同分布的随机变量，而n箱的总重量为Tn=X1+X2+…+Xn，是独立同分布的随机变量之和。
由E(Xi)=50、D(Xi)=52得：E(Tn)=50n，D(Tn)=52n根据独立同分布的中心极限定理：即最多可以装98箱。
例3[2]：报名听心理学课程的学生人数K是服从均值为100的泊松分布的随机变量，负责这门课的教授决定，如果报名人数不少于120，就分成两班，否则就一班讲授。
问该教授讲授两个班的概率是多少?分析：该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数x不少于120，精确解为P（x≥120）=e-100 100i/i！很难求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值为100的泊松分布随机变量等于100个均值为1的独立泊松分布随机变量之和，即X= Xi，其中每个Xi具有参数1的泊松分布，则我们可利用中心极限定理求近似解。
解：可知E(X)=100，D(X)=100 即教授讲授两个班的概率是0.023。
例4[1]：火炮向目标不断地射击，若每次射中目标的概率是0、1。
(1)求在400次射击中击中目标的次数在区间［30，50］内的概率。
(2)问最少要射击多少次才能使击中目标的次数超过10次的概率不小于0.9？分析：显然火炮射击可看作是伯努利实验。
我们知道，正态分布可近似于二项分布，而且泊松分布可近似于二项分布，当二项分布b(n，p)，n较大、p较小时可用泊松分布估计近似值。
如果p接近1，有q=l-p很小，这时也可用泊松分布计算；但是当n较大，p不接近0或1时，再用泊松分布估计二项分布的概率就不够精确了，这时应采用拉普拉斯定理来计算。
解：(1)设在射击中击中目标的次数为Yn，所求概率(30≤Yn<50)等于：最小正整数n=147就是所要求的最小射击数。
以上例子都是独立同分布的随机变量，可以用中心极限定理近似估算，但是如果不同分布，中心极限定理是否也成立呢?2.2 中心极限定理在商业管理中的应用[4]水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。
假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：1、未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？2、至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？3、至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？4、若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变, （1），（2）两问题结果如何？5、若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其余的条件不变，则（1），（2）两问题结果如何?解：1、设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则X～B（5000,0.01）拥挤的概率是有定理2，n=5000，p=0.01，q=0.985，故即拥挤的概率P(ζ > 45) = 1 − 0.2389 = 0.76112、欲求m，使得，即，由于，即，查表，即，需装62个水龙头。
问题的变形：3、至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？解：欲求m，使得，即，由，即，查表，即m≥66.4，故需要装67个水龙头。
4、若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变, （1），（2）两问题结果如何？解：（1）（2）5、若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其余的条件不变，则（1），（2）两问题结果如何?解：(1)设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则X-B(5000，0.015)已知n=5000，p=0.015，q=0.985，np=75，。
拥挤的概率达。
(2)欲求m，使得，即，由，即，查表，即m≥89.14 ，故需装90个水龙头。
中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本的均值总是近似地服从正态分布。
如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和，则可以直接利用中心极限定理进行解决。