承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：湖州师范学院参赛队员(打印并签名) ：1. 陈艺2. 王一江3. 叶帆帆指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李立平日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要储油罐的变位识别与灌装表标定关系到各个加油站的资源利用率和生产效益，同时与人民社会生活也密切相关。

因此，本题的建模具有很好的理论意义和应用价值。

针对赛题A的要求，本论文主要做了以下工作：对于问题一：首先采用积分思想，分别推导出罐体无变位及纵向倾斜︒1.4两种情况下罐内的油位高度和储油量；其次对以上两种情况下罐内实际进油量与理论进油量进行误差分析，并通过三次多项式拟合方法得到各自的误差表达式以及修正后罐内油位高度和储油量的关系式；接着，采用插值方法推算出无变位及倾斜︒1.4时罐体出油情况下储存油体积的初始值，进而对两种情况在出油时的误差进行了分析；最后根据校正后的表达式，给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（见附件3）。

对于问题二：首先在问题一后半部分问题求解的基础上，推导出罐体纵向倾斜α角度后罐内油面高度与存储油体积之间的关系，再将已纵向倾斜α角得罐体横向转动β角，并求出此时罐内油面高度与存储油体积之间的实际表达式；接着，对已获表达式中的积分进行符号求解，并利用本题数据附件2给出的数据及最小二乘法的思想用三重循环搜索出α和β的最优近似值（见附件6），求出α=︒1.2和β=︒8.4；然后利用α和β的值计算后可发现本题数据附件2显示的油量容积与实际油量容积要高出许多，并得出理论出油量与实际出油量很接近（两者误差在3升以内），从而该模型能很好地反映油量与油位高度之间的对应关系。

接着给出了罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值（见附件7），最后通过本题数据附件2及问题一中的试验模型，验证了模型的正确性与方法的可靠性。

在回答了以上两个问题基础上，我们对模型的优缺点进行总结，并讨论该模型的推广及评价。

关键词：误差项插值拟合罐容表符号求解1.问题重述通常加油站都会有若干个储存燃料的地下储油罐，且一般会有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

罐容表会随着变位情况发生变化，若没有及时重新标定，将导致储油量估计错误的问题。

很多储油罐在使用一段时间后，由于种种原因会发生纵向偏转和横向偏转等变化（变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

而本题要求输出两项罐容表就是为了更新罐容表。

此题要求我们用数学建模方法来研究并解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

具体如下：（1）利用小椭圆型储油罐（两端平头椭圆柱体）无变位和纵向倾斜角为α=︒1.4的两种实验数据，建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响；并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）需要对实际储油罐（两端为球冠的圆柱体），建立罐体变位后标定罐容表的数学模型（显示油量容积与显示油量高度，纵倾角α，横偏角β之间的关系）；并利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，确定变位参数；进一步给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值；最后结合实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。

2.问题分析本题主要在于探索显示油面高度、显示油面体积、实际储存油体积及偏转角度之间的关系。

因此，在题目处理中要特别注意区别各个数据；同时，根据常识，假设罐内存油一般不会储存的过多或过少。

对于问题一，当小椭圆型储油罐无变位时，可利用微积分的思想，求得无移位时油量容积与显示油高的对应关系，然后利用获得的理论数据与实验数据进行误差分析，得到误差项并对体积函数进行修正。

通过对出油实验数据进行插值，求得出油时的初始体积，用这组数据去比较前面得出的含误差项的体积函数，观察函数与测量数据的逼近程度，进而对出油体积函数误差项进行进一步分析。

当储油罐纵向倾斜时，同样可利用积分思想及倾斜角度值，结合附件1给出的数据得出罐体变位后对罐内油量与高度的关系式，并由此关系式给出间隔1cm的罐容表标定值。

对于问题二，我们把储油罐分成三部分讨论，左右两个球冠体，中间一个圆柱体。

通过将球冠体内的油面近似看成与中间圆柱体截面垂直，可求出纵向倾斜时体积与高度的对应关系（含α角度），再横向偏转时，罐内油面的相对高度是不变的，仅仅是油浮子向离开垂直线的方向转动了β角度，从而求得体积与油位高度及变位参数之间的一般关系。

对于附件二，通过对数据的观察，用出油量及显示油高这两组数据，通过差值得出对应关系，再编程搜索α，β最优值，并用计算出的α，β值得出体积函数与油位高的直接关系式。

然后，通过实际数据对该对应关系进行检验，求误差，用准确的对应关系标出变位后油位间隔10cm 的罐容表标定值，最后结合模型一与附件2的数据来说明该模型的准确性及可靠性。

3.条件假设1） 罐内存油一般不会储存的过多或过少；2） 储油罐的罐壁厚度不考虑；3） 储油罐各方面设备良好；4） 流量计测得的进出流量的数值准确。

4.符号说明a ：小椭圆长半轴；b ：小椭圆短半轴；s ：小椭圆储油罐截面积；l ：小椭圆储油罐柱体高度；R ：实际储油罐圆柱半径；r ：球冠体所在球体的半径；L ：储油罐圆柱体高度；V ：椭圆柱体体积；w ：求得的体积函数与测量的数据的差，即误差；H ：小椭圆储油罐倾斜时油面与y 轴交点；1l ：小椭圆储油罐油位探针距近端头的距离；'h ：小椭圆储油罐内液面在y 坐标轴的刻度，[]b b h ,'-=；h ：小椭圆储油罐内液面的高度，b h h +='；0L ：储油罐油位探针距近端头的距离；'H ：实际储油罐的显示油高；''h ：实际储油罐液面高度的y 轴坐标；0H :实际储油罐油浮子的读数。

5.模型建立与求解5.1问题一根据题意可知，小椭圆储油罐是一个椭圆柱体，其横截面是长半轴长为a ，短半轴长为b 的椭圆，根据椭圆方程可知横轴坐标值为221by a x -±=， 因此可知椭圆截面面积为'2h b s -=⎰， 根据定积分体积运算的应用，椭圆柱体体积为：求解可得：)2(arcsin 2'22''h b bh b h abl -++=π （1） 当然，也可以通过坐标变换)sin(t b y =，得到V 的另一等价表达式 )}arcsin 2sin(21]2){[(arcsin ''bh b h abl V ++=π （2） 若将（1）中的'h 用b h -代替，即可得到V 与测量油面高度'h ，但为了便于程序编写及书写，我们运用含'h 的表达式。

虽然（1）式与（2）式实质一样，但在实际的编程运算中，为了计算简便，我们采用（2）式。

在求得体积函数的基础上，我们利用本题附件一的数据，用MATLAB 数学软件绘制油体积函数图与所给累计进油量的离散数据，观察两者的逼近程度，见图5-1。

图5-1观察上图可发现，在末端数据吻合程度有所欠缺。

下面，先考虑进油状态下理论容积与实际容积之间存在的误差。

具体所做的工作如下：（1）首先将罐内油的体积理论值与测量值进行相减，得出实验数据与推导数据之间的误差，并作图直观表示；（1） （2）分别用一次、二次、三次函数对误差项进行拟合，观察各类函数的拟合效果，得到误差项。

观察到三次函数拟合效果较好，并得到误差项为（程序参考附件1）3022.691482.0100385.610403.8'2'73'8++•-•-=--h h h w 。

（3）在无变位储油罐容积计算公式中减去误差项w ，得到新的容积计算公式，利用MATLAB 数学软件进行绘图，与附件一中的实验数据进行比较。

此时推断公式为此时，重新作图验证，观察到添加误差项后，实验数据与推算数据十分吻合，吻合效果见图5-3。

图5-3（4） 对附件一中无变位进油离散数据进行插值拟合，得出无变位出油时的初始体积，即当h=1150.72mm 时，油体积V=3916.2L ，故初始油体积为V =3916.2+52.72=3968.92L ，绘制无变位出油累加出油量与油位高度的离散图，与含误差项的容积计算公式推算数据进行比较，得到图5-4和图5-5。

此时，误差的量级为0.1升，我们认为进油时的误差项非常符合出油时的误差项。

图5-4图5-55.1.3 纵向偏转储油罐部分容积计算如图5-6所示，储油罐发生纵向偏转，罐底与水平面成α的偏转角，石油在储油罐内的位置发生变化，液面与水平面保持平行。

此时液面1与液面2将罐体划分成1、2、3这三个区域内。

根据前面的假设，我们仅考虑油面在区域2中及其上下边界(即液面1与液面2)变化时的情况。

图5-7图5-61）液面处在区域2中。

令液面在y 轴上的值为H ，故H b OA +=，)tan(1αl H b -+= （3） 又因为)2(arcsin 2'22''h b bh b h ab s -++=π， 此时'h 与z 轴上的值相关。

当0z =时，'h =H ；当z l =时，'h =)tan(αl H b BC -=-，所以得到'h =)tan(αz H -因此在[]0,l 区间内对z 进行积分，得到体积函数 ⎰---++-=ldz z H b bz H b z H ab 0222})]tan([)tan(2))tan({arcsin(ααπα （4） 将（3）式带入（4）式，即可求得测量值h 与储油罐内油体积V 的关系式。

2） 当液面在区域1和2交接线时，)tan(21αl b h -=，例如当o 1.4=α，求得17134.1=h m ，因为对于倾斜角度α，我们根据实际情况认为不会很大，故)tan(1αl 相对于b 2很小，我们为了便于讨论，近似将1和2的交接线看成是液面最高处。