全国大学生数学建模竞赛b题Prepared on 22 November 2020“互联网+”时代的出租车资源配置摘要随着“互联网+”时代的到来，针对当今社会“打车难”的问题，多家公司建立了打车软件服务平台，并推出了多种补贴方案，这无论是对乘客和司机自身需求还是对出租车行业发展都具有一定的现实意义。
本文依靠ISM解释结构、AHP-模糊综合评价、价格需求理论、线性规划等模型依次较好的解决了三个问题。
对于问题一求解不同时空出租车资源“供求匹配”程度的问题，本文先将ISM模型里的层级隶属关系进行改进，将影响出租车供求匹配的12个子因素分为时间、空间、经济、其它共四类组合，然后使用经过改进的AHP-模糊综合评价方法建立模型，提出了出租车空载率这一指标作为评价因子的方案，来分析冬季某节假日哈尔滨市南岗区出租车资源“供求匹配”程度。
通过代入由1-9标度法确定的各因素相互影响的系数，得出各个影响因素的权重大小，利用无量纲化处理各影响因素，得出最终评判因子为，根据“供求匹配”标准，得出哈尔滨市南岗区出租车资源“供求匹配”程度处于供需合理状态的结论。
同理，也得到了哈尔滨市不同区县、不同时间的供求匹配程度，最后作出哈尔滨市出租车“供求匹配”程度图。
对于问题二我们运用价格需求理论建立模型，以补贴前后打车人数比值与空驶率变化分别对滴滴和快的两个公司的不同补贴方案进行求解，依次得到补贴后对应的打车人数及空驶率的变化，再和无补贴时的状态对比，最后得出结论：当各公司补贴金额大于5元时，打车容易，即补贴方案能够缓解“打车难”的状况；当补贴小于5元时，不能缓解“打车难”的状况。
对于问题三，在问题二的模型下，建立了一个寻找最优补贴金额的优化模型，利用lingo软件[1]进行求解算出最佳补贴金额为8元，然后将这个值带入问题二的模型进行验证，经论证合理后将补贴金额按照4种分配方案分配给司机乘客。
关键词：ISM解释结构模型；AHP-模糊综合评价；价格需求理论；线性规划一问题重述交通是社会生活众多产业当中的一项基础产业，不但和社会的经济发展关系紧密，与人们的生活也是息息相关。
而出租车作为交通工具中的重要组成部分，可以给人们的生活带来更便捷的服务。
所以无论是国内还是国外，对于与出租车相关的问题都有较深入的研究。
作为居民日常出行的交通工具，出租车在人们生活中发挥着重要的作用。
然而由于时间、空间等因素，导致出租车行业面临着巨大的挑战，与此同时，也会出现“打车难”的现象。
但这也正促进了依托互联网建立的打车软件的发展以及多种出租车补贴方案的出现。
当今，“互联网+”发展迅速，所以研究互联网与出租车有关的问题是很有意义，本文要求搜集相关数据建立数学模型求解下列问题：问题一：建立合理的指标，分析在不同时间和空间条件下出租车资源的“供求匹配程度”。
问题二：分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有所帮助问题三：若要创建一个新的打车软件服务平台，应该设计什么样的补贴方案，并论证方案的合理性。
二模型假设假设1：城市中不出现大量的人口迁入与迁出。
假设2：城市中出租车的数量短期内不会发生变化。
假设3：城区面积不发生大规模扩展。
假设4：城市道路发展程度不会发生大变化。
假设5：手机打车软件的使用者年龄主要集中在18～35周岁。
假设6：其它交通工具发展水平不变。
假设7：城市人均收入短期内不变。
三符号说明修正后的影响“供求匹配”程度第二层各因素的权重用于评价“供求匹配”程度的评价因子判断矩阵的最大特征值四问题分析问题一的分析对于问题一，要想得到出租车资源的“供求匹配”程度，首要的问题是建立一个合理的评价指标。
通过对影响出租车与乘客供求关系的广义因素进行分析，每种大的前提下又细分为其它的影响因子，也就是构造了两个层次，再将最底层的影响因子利用ISM解释结构模型[2]进行归类。
利用层次分析-模糊综合评价模型对得到的归类进行分析和求解，得到综合评判集合，然后考虑结合一种出租车供需合理的标准，例如空载率这一指标对供求匹配程度进行分析。
最后结合实际着重研究不同时间和空间前提下城市出租车资源的“供求匹配程度”。
问题二的分析对于问题二，求各公司的补贴方案对“缓解打车难”是否有帮助，考虑到不同补贴方案归根到底是补贴金额的不同，因此考虑寻找一种补贴金额与打车难的关系，通过逆向思考，补贴金额可以等效看为出租车价格降低的金额，出租车价格变化与打车人数需求之间构成价格需求，于是可利用价格需求理论模型对此进行分析，但是单一的打车人数多少不足以表示打车是否困难，于是考虑增加一个空载率指标与打车人数结合表示打车是否困难，最后评判打车困难时，由于打车难这是一个不可量化指标，因此要想得出打车难是否有缓解只能先建立一个标准，然后将价格需求理论模型的求解结果带入该标准。
即可知道各公司的补贴整车对打车难是否有帮助。
问题三的分析由于问题三是设计补贴方案，而问题二里我们建立了价格需求理论模型，求解了各个公司不同补贴方案对打车难缓解的影响，于是我们在问题三中通过建立一个补贴金额与乘客满意程度的双优化模型来设计一个补贴方案，然后利用问题二的求解结果对设计方案进行论证。
五、模型的建立与求解问题一模型的建立与求解5.1.1 利用ISM模型对影响因素分组由于出租车资源供求匹配关系受到较多因素影响，其中很多因素又相互包含，必须全面考虑各个因素。
所以我们采用ISM模型对相应影响因素进行分组、归类，使问题简化，方便求解。
ISM模型是..J N Warfield于1973年为了分析复杂的社会经济问题而提出的解释结构模型，是静态的定性模型,其特点是能够将复杂的系统逐级分解成若干个子系统。
为了分析出租车资源的供求匹配程度，我们考虑影响出租车与乘客供求关系的一些主要因素如表1。
表1 出租车与乘客供求关系主要影响因素然后分析这些因素互相之间是否有关系，用0表示相互之间无影响，用1表示相互之间有影响，从而得到相互影响关系的邻接矩阵如下：由于此矩阵中影响因素较多，所以运用Matlab 软件对邻接矩阵进行求解，程序见附录一，得可达矩阵可说明两个因素之间是否存在链接路径，并能清楚说明两因素之间影响程度。
定义集合()P I 为可达矩阵中要素I 一行中值为1的元素所在行元素集合，()H I 为可达矩阵中I 这列值为1对应的列元素集合，当()()()H I P I H I =时，I 即为该层元素，然后剔除矩阵中的W 元素，进行下一层元素计算,可以得到最终的分组：{}1168,,U A A A =; {}22310,,U A A A =; {}371112,,U A A A =; {}4459,,U A A A =。
通过分析每组所包含的因素，我们发现分组1U 里面所包影响因素可理解为经济水平对出租车供求关系的影响，2U 里面所包影响因素可以看作为不同空间对出租车供求关系的影响，3U 里面所包影响因素可以看作不同时间对出租车供求关系的影响，结果如表2。
表2 影响因素分组关系表空间因素2u道路拥堵程度3AA人口密度2A城市交通发展水平10时间因素3u季节9AA是否是节假日5A是否是高峰期4其它4u乘客出行的紧急程度11AA旅游吸引能力12A天气状况75.1.2 问题一模型的建立我们从出租车空载率角度考虑出租车资源的“供求匹配”程度问题，当出租车空载率过低时，说明打车的人少，出租车量小于乘客的需求；当空载率过高时，表明打车的人较多，出租车量大于乘客需求，出租车空载率能很好地反映出租车与人之间“供求匹配”程度。
所以我们选取空载率这一指标作为模型最终评价因子分析，来分析不同时间和空间出租车资源的“供求匹配”程度问题。
我们利用()AHP构造出一个AHP—模糊综合评价方法建立模型，首先，利用()层次分析模型，指标评价体系结构图如图1。
图1 层次分析结构图1）第一、二层权重集的确定第一层包括4个因素，即1234(,,,)U U U U U =，利用AHP 层次分析法比较几种指标间的关联度如图3。
表 3 第一层因素间关联度然后确定第一层指标权重，利用1～9标度法求解判断矩阵，构造第一层的评判矩阵Y 具体形式如下：其中：12u 表示1u 与2u 之间的关联度。
之后求解第一层的权重集W ={1W ,2W 3W ,4W }。
方法如下：先计算判断矩阵Y 每行元素的乘积i Q ，再对i Q 求五次方根，得到 归一化处理：利用公式 41/ii i i W W W ==∑对()1234,,,W W W W W =做归一化处理，得到1,234(,,)(0.100,0.462,0.305,0.133)W W W W W ==即为所求特征向量。
一致性检验：为了说明以上所求得特征向量是否能够合理的分配权重，需要进行一致性检验，方法如下：通过公式()4max 14iiYW W λ=∑求得判断矩阵的最大特征值，得到最大特征值max5.024λ=。
然后利用公式CI CR RI=和max1n CI n λ-=-，通过代入数据1.12RI =,4n =，max 5.024λ= ，得到0.0350.1CR =<，这就表明评判矩阵Y 具有很好的一致性，所以()1234,,,W W W W W =中的各项均可以作为U 的权重系数。
同第一层权重的求解过程，对于第二层指标，由于第一层的每一个因素都包含()123,,i i i i u u u u =3个因素，于是得到第二层级的各项权重集：2）确定综合评判结果根据模糊综合评价法可知，综合判别公式12(,)m B W Y b b b =⋅=，其中41()(1,2)j i ij i b w y j m ===∑，将数据代入计算公式4'1()i i i B W W ==∑得到所研究问题的综合评判结果：()0.1160.3040.580B =。
3）综合评判矩阵B 的修正影响出租车供求匹配的具体因素有些有具体实际数据，各种数据的单位并不统一，不容易量化，而另外一些因素如：旅游吸引能力、乘客出行的紧急程度等影响因素是模糊的量。
为了使各项因素具有可比性，我们将这些有实际数据的影响因素进行标准化处理，消除量纲差异。
利用如下公式 '(1,2,;1,2,,)ij jij ji n j m x x x s ==-=（1）()()211,1111,2,,j j nnij j ij i i n n j m x x s x x =-∑∑==-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦（2）将市民人均输入，人口密度，出租车数量，私家车数量数据分别按照上式标准化，但是得到的数据并不全是处于[]0,1之间，所以应用平移-极差变换使得所有的原始数据都在[]01，之间。
得出量化结果：人均收入()11A =，人口密度()50.87A =，出租车数量()60.96A =，私家车数量()81A =。