2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数)0y x =≥的反函数为(A)()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)2 (B)3 (C) 3(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21xy e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠=(A)45 (B) 35 (C) 35- (D) 45- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π 12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B)(C) (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.13. (201的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，sin 5α=，则tan 2α= .15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =, 12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。

已知90,A C a c -=+=，求C18.（本小题满分12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。

19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形， AB=BC=2，CD=SD=1. （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足11110,111n na a a +=-=--（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n a b n+-=，记1nn kk S b==∑，证明：1n S <。

21.（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=（Ⅰ）证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）（Ⅰ）设函数()()2ln 12xf x x x =+-+，证明：当0x >时，()0f x > （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p ，证明：1929110p e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学试题参考答案（不是标准答案）一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1． B 2． B 3． A 4． D 5．C6． C 7． B 8． D 9． A 10．D 11. D 12. A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．13． 0 14． 43-15． 6 16．3三、解答题：本大题共6小题，共70分．17.（本小题满分10分）解：由90A C -=，得22B AC C ππ=--=-故sin sin cos 2A C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，sin sin 2cos 22B C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭由sin sin a c A C B +=⇒+=，故cos sin 2C C C +=，)22cos sin cos sin C C C C +-又显然2C π<，故cos sin 2C C -=，再由22cos sin 1C C +=，解得：cos 4C =，于是12C π=18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为x ,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3故()10.50.30.6x x -=⇒=，所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为 ()()110.510.60.8---= （Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为10.80.2-= 所以有X 个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为()()1001000.20.8XXXp C -=显然，X 服从二项分布，即()100,0.2X B ,所以1000.220EX =⨯= X 的期望为2019.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中，AB=BC=2，CD=1，//,AB CD BC CD ⊥ ，易算得：AD BD ==又因为侧面SAB 为等边三角形，SD=1，AB=2， 所以2225SD SA AD +==,2225SD SB BD +== 于是SD SA ⊥,SD SB ⊥, 所以SD SAB ⊥平面（Ⅱ）设点A 到平面SBC 的距离为d ，因为SD SAB ⊥平面，所以SD AB ⊥,从而SD CD ⊥,因而可以算得：SC =2SB BC ==，故2SBC S ∆=又因为//CD SAB 平面,所以点C 到平面SAB 的距离为1SD =另外，显然224SBA S ∆==，所以111323A SBC C SAB V d V --=⨯==四棱锥四棱锥得：7d =设AB 与平面SBC 所成的角为α，则7sin 27α==，即AB 与平面SBC所成的角为arc α是锐角）20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由111111n na a +-=--得：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，首项为1111a =-故()11111n n n a =+-⨯=-，从而11n a n=-（Ⅱ）n b ====所以11111nn k k S b n===++-=<∑21.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：易知：()0,1F ，故：:1l y =+，代入椭圆方程得：2410x--=，设()()()1122,,,,,A x y B x y P x y ，则122x x +=，)121221y y x x +=++=， 因为0.OA OB OP ++=所以()()()()1122,,,0,0x y x y x y ++=()()1212,,,12x y x x y y ⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪⎝⎭，将此坐标代入椭圆：221122⎛+=⎝⎭，所以点P 在C 上。

（Ⅱ）由（Ⅰ）：2410x--=及:1l y =+，得11,,4242A B ⎛⎫⎛ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为,12p⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭，所以2Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭于是可以算得：AP k =，AQ kBP k =BQ k=tanPBQ ∠=-tan APB ∠=tan PAQ ∠=-tan AQB ∠=于是四边形APBQ 对角互补，从而A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。

22 .（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）0x >时，()()()()()222222101212x x x f x x x x x +-'=-=>++++， 于是()f x 在()0,+∞上单调增，所以()()00f x f >= （Ⅱ）2019100998281999881100100p ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==()()199981(9881)918990100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=（共有19192-=对数相乘） 1922219191990909090909010010010x ⨯⨯⨯⨯⎛⎫>≤== ⎪⎝⎭由（Ⅰ），10x -<<时，也有()()()22012x f x x x '=>++，故()f x 在()1,0-上单调增，所以()10010f f ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭即119925ln ln 0191010101910f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即919ln 210⎛⎫<- ⎪⎝⎭，两边同时取e 的对数得：19229110e e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭综上所述：1929110p e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭。