20XX 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=++i1i 3A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2+D ．i 2- 2． 设集合{}4 2 1，，=A ，{}042=+-=m x x B ，若{}1=B A ,则=BA ．{}3 1-， B. ．{}0 1， C ．{}3 1， D ．{}5 1，3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏C ．5盏D ．9盏 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π365．设y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．96．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种理科数学试题 第1页（共4页）7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8．执行右面的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S A ．2B ．3C ．4D ．59．若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．332 10．已知直三棱柱111C B A ABC -中，120=∠ABC , 2=AB , 11==CC BC , 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．23 B ．515 C ．510 D ．33 11．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为A ．1-B ．32--eC ．35-eD ．112．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(+⋅的最小值是A ．2-B ．23-C ．34- D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一批产品的二等品率为02.0，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到二等品件数，则=DX .14．函数])20[(43cos 3sin )(2π，∈-+=x x x x f 的最大值是 .15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33=a ，104=S ，则=∑=nk kS 11.16．已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN .理科数学试题 第2页（共4页）三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22/23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，已知2sin 8)sin(2BC A =+.(1)求B cos ；(2)若6=+c a ，ABC ∆的面积为2，求b .18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关；(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-= .理科数学试题 第3页（共4页）箱产量/kg旧养殖法箱产量/kg 新养殖法M EDCBA P 19.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于地面ABCD ，AD BC AB 21==，90=∠=∠ABC BAD ,E 是PD 的中点. (1)证明：直线PAB CE 平面∥；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为 45，求二面角D AB M --的余弦值.20.（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足= (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21.（12分）已知函数x x ax ax x f ln )(2--=，且0)(≥x f .(1)求a ；(2)证明：)(x f 存在唯一的极大值点0x ，且2022)(--<<x f e .（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做则按所做的第一题计分。
22.[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.(1) M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16=⋅OP OM ，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为)32(π，，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.23.[选修54-：不等式选讲]（10分） 已知20033=+>>b a b a ，，.证明：(1)4))((55≥++b a b a ； (2)2≤+b a .理科数学试题 第4页（共4页）20XX 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 参考答案一、选择题1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.B9.A 10.C 11.A 12.B二、填空题13. 1.96 14. 1 15. 12+n n16. 6三、解答题17.（1）由B C A -=+π得2sin 8sin 2B B =，即2sin 42cos B B =， ∴412tan=B ，得158tan =B ，则有1715cos =B . （2）由（1）可知178sin =B ，则2sin 21==∆B ac S ABC ，得217=ac ， 又417302)(cos 22222=--+=-+=ac ac c a B ac c a b ，则2=b .18.（1）旧养殖法箱产量低于50kg 的频率为62.05)040.0034.0024.0014.0012.0(=⨯++++，新养殖法箱产量不低于50kg 的频率为66.05)008.0010.0046.0068.0(=⨯+++，而两种箱产量相互独立，则4092.066.062.0)(=⨯=A P . （2）由频率分布直方图可得列联表则635.6705.1510496100100)38346662(20022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K ，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）新养殖法箱产量低于50kg 的面积为5.034.05)044.0020.0004.0(<=⨯++，产量低于55kg 的面积为5.068.05)068.0044.0020.0004.0(>=⨯+++，所以新养殖法箱产量的中位数估计值为35.5250534.034.05.0≈+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-（kg ）.19.（1）取PA 中点F ，连结BF EF 、.因为E 为PD 中点，则AD EF 21∥.而由题可知AD BC 21∥，则BC EF ∥，即四边形BCEF 为平行四边形，所以FB EC ∥.又PAB FB PAB EC 面，面⊂⊄，故PAB CE 面∥.（2）因为AD AB ⊥，则以A 为坐标原点，AD AB 、所在直线分别为y x 、轴建立空间直角坐标系xyz A -，如图所示.取1=AB ，设)10(<<=λλ则得)011()001()000(，，，，，，，，C B A ，)310(，，P ，则)301(，，-=，)30(λλ，，-=，可得点)311(λλ，，-M ，所以)31(λλ，，-=. 取底面ABCD 的法向量为)100(，，=，则 45sin 313cos 22=++=〉〈λλλ，解得22=λ,则)26122(，，-=BM .因为)001(，，=,设面MAB 的法向量为)(z y x m ，，=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BM m 得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=026220z y x x ，取2=z 得)260(，，-=m ，则510 cos ==〉〈.故二面角D AB M --的余弦值为510.20.（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x.（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m PQ n m OP ---==，，，.由1=⋅OQ OP 得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21.（1）)(x f 的定义域为)0(∞+，，则0)(≥x f 等价于0ln ≥--x a ax .设x a ax x g ln )(--=，则x a x g 1)(-='.由题可知0>a ，则由0)(>'x g 解得ax 1>，所以)(x g 为)1(∞+，a 上的增函数，为)10(a ，上的减函数.则有==)1()(min ag x g0ln 1=+-a a ，解得1=a .（2）由（1）可知x x x x x f ln )(2--=，则x x x f ln 22)(--='.设x x x h ln 22)(--=，则x x h 12)(-='.由0)(>'x h 解得21>x ，所以)(x h 为)21(∞+，上的增函数，为)210(，上的减函数.又因为0)1(012ln )21(=<-=h h ，，则)(x h 在)210(，上存在唯一零点0x 使得0ln 2200=--x x ，即00ln 22x x =-,且)(x f 为)0(0x ，，)1(∞+，上的增函数，为)1 (0，x 上的减函数，则)(x f 极大值为41)1()(000<-=x x x f . 而101)10(--≠∈e x e ，，，所以210)()(--=>e e f x f .综上，2022)(--<<x f e .22.（1）设P 极坐标为)0)((>ρθρ，，M 极坐标为)0)((11>ρθρ，.则ρ=OP ， θρcos 41==OM .由16=⋅OP OM 得2C 的极坐标方程为)0(cos 4>=ρθρ.所以2C 的直角坐标方程为)0(4)2(22≠=+-x y x .（2）设B 极标为)0)((22>ρθρ，，由题可知αρcos 422==，OA ，则有3223)32sin(2)3sin(212+≤--=-⋅⋅=∆παπαρOA S OAB . 即当12πα-=时，OAB ∆面积的最大值为32+.23.（1）655655))((b b a ab a b a b a +++=++)(2)(4433233b a ab b a b a ++-+=222)(4b a ab -+= 4≥（2）因为3223333)(b ab b a a b a +++=+ )(32b a ab ++=)(4)(322b a b a +++≤4)(323b a ++=，所以8)(3≤+b a ，解得2≤+b a .。