广东省茂名市2018届高三3月联考数学（理）试题含答案茂名市五大联盟学校三月联考理科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列集合运算正确的是（ ） A ．{}{}{}0,11,0,11,0-=-I B ． {}{}010,1∅=I ，C ．{}{}{}1,11,0,11,1--=-U D ．R R ∅=U2. 12月18日至20日，中央经济工作会议在北京举行，中国经济的高质量发展吸引了全球更多投资者的青睐目光，在此期间，某电视台记者，随机采访了7名外国投资者，其中有4名投资者会说汉语与本国语，另外3名投资者除会说汉语与本国语外还会一种语言,现从这7人中任意选取3人进行采访，则这3人都只会使用两种语言交流的概率为（ ） A ．335 B ．435 C ．17 D ．6353. 给出下列命题： ①若2a b a ⋅=，则a b = ②x R ∀∈，sin 2cos 5x x +≤③函数1()1f x x=+的图象关于点(0,1)成中心对称； ④若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线必为抛物线的切线其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 4 4. 利用如图所示的程序框图得到的数集中必含有（ ） A ．520 B ．360 C. 241 D ．1345. 函数21sin y x x x=+的部分图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．6.在61)1x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，42x y 项的系数为（ ）A ．200B ．180 C. 150 D ．1207. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A．．D．8. 若焦点在y 轴上的椭圆2214y x m -=（0m >）的离心率1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则实数m 的取值范围为（ ） A ．16,+3⎛⎫∞⎪⎝⎭ B ．(3,4) C. 162,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,3) 9. 已知函数()f x 在区间(1,+)-∞上单调，且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列.且5051()()f x f x =，则数列{}n a 的前100项的和为（ ）A ．-200B ． -100 C. 0 D ．-5010. 已知椭圆和双曲线有共同焦点1F ,2F ,P 是它们的一个交点,且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则121e e 的最大值是（ ） A ．3 B ．3C.2 D ．3 11. 德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半(即2n)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算,经过有限步后，一定可以得到 1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果对正整数n (首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注：1可以多次出现),则n 的所有不同值的个数为（ ）A ．4B ． 5 C. 6 D ．7 12. 已知函数21()()2xx f x e a e e aex b =+--+ (其中,a b R ∈，e 为自然对数的底数)在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．[)0,+∞ C. [),0e - D ．(,)e -∞-第Ⅱ卷二、填空题：本题共4的小题，每小题5分 13. 已知向量,a b 满足1a -，2b -，12a b ⋅=，则向量,a b 夹角的余弦值为 ． 14. 某校的团知识宣讲小组由学生和青年教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于青年教师人数； （ⅲ）青年教师人数的两倍多于男学生人数若青年教师人数为3，则该宣讲小组总人数为 ．15. 若实数,x y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2log (2)z x y =+的最大值是 ．16. 已知在三棱锥A BCD -中，AB AD ==BD =底面BCD 为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin sin sin sin a A c C C b B +=+.（1）求B ； （2）若512A π=，2b =，求a 和c . 18.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到如下表格：(单位：人)（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关?（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -：的底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，点1B 在底面内的射影恰好是棱BC 的中点，且2BC CA ==.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ； （2）若二面角11B AB C --的余弦值为57-，求斜三棱柱111ABC A B C -的高.20. 已知右焦点为2(,0)F c 的椭圆22221x y C a b +=：（0a b >>）过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与椭圆C 交于点,E F (异于椭圆C 的左、右顶点)，线段EF 的中点为M .点A 是椭圆C 的右顶点.求直线MA 的斜率k 的取值范围. 21. 已知函数()2(1)(1)x f x axe a x =--+ （a R ∈，e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）.（1）若函数()f x 仅有一个极值点，求实数a 的取值范围；（2）证明：当102a <<时，()f x 有两个零点12x x ⋅（12x x <）.且满足1232x x -<+<-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中,曲线C .的极坐标方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是曲线1C 上的动点.点M 满足2OP OM =u u u r u u u u r(O 为极点).设点M 的轨迹为曲线2C .以极点O 为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程是1x ty t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数). （1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； （2）设直线l 交两坐标轴于A ，B 两点，求ABM ∆面积的最大值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-++.（1）求不等式()4f x ≤的解集M ；（2）若a ，b M ∈，证明：22(23)(23)0a a b b +-+-≥.文科数学一、选择题1-5: DBBBA 6-10: CBDBA 11、12：DD 二、填空题 13.1414. 12 15. 1 16. 16π 三、解答题17. 解：（1）由已知，根据正弦定理得222ac b +=+，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，故222cos 2a c b B ac +-===.因为0,B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭２，所以4B π=.（2）由512A π=， 得sin sin 64A ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭sincoscossin6464ππππ=+=由4B π=，得()3C A B ππ=-+=，故由正弦定理得sin 1sin b A a B ===，sin sin b C c B ===18.解：（1）由列联表，可知2K 的观测值2()()()()()n ad bc k a b b d a c b d -=++++2200(50405060) 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=人，偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=人.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得XB :1110,20⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1111()10202E X =⨯=； 11999()10202040D X =⨯⨯=.19.解：（1）取BC 的中点M ，连接1B M ，则由题意知1B M ⊥平面ACB . ∵AC ⊂平面ACB ，∴1B M AC ⊥. 又ACBC ⊥，且1B M BC M =I ，∴AC ⊥平面11B C CB . ∵AC ⊂平面11ACC A ， ∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB .（2）以C 为原点，CA u u u r ，CB u u u r的方向为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设1B M t =，又2CA BC ==,则(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,1,0)M ，1(0,,)B t １，1(0,1,)C t -， 则1(2,1,)AB t =-u u u r ，(2,2,0)AB =-u u u r，11(0,2,0)BC =-u u u u r .设平面1AB B 的法向量为1(,,)n x y z =，∴11120,220,n AB x y tz n AB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r u u u r 令1x =，得111,1,n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.同理，得平面11AB C 的一个法向量为2,0,12t n ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵二面角11B AB C --的余弦值为57-，∴125cos 7n n ⋅==，整理得4229960t t +-=， 解得23t =，即t =，20.解：（1）∵椭圆C 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. ∴221914a b+=，① ∵椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点， ∴2a c =，∴2234b a =，②由①②得2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意，直线l 过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，且斜率不为零， ∴可设其方程为12x my =+. 联立方程组2214312x y x my ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去x 并整理， 得224(34)12450m y my ++-=. 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，00(,)M x y ， 则122334my y m +=-+.∴0232(34)m y m =-+，02234x m =+，∴244mk m =+. ①当0m =时，0k=；②当0m ≠时，144k m m=+，∵44448m m m m+=+≥，∴108k <≤，∴1188k -≤≤，且0k ≠. 综合①②，可知直线MA 的斜率k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 21.解：（1）()2(1)(1)x x f x ae axe a x '=+--+(1)(22)x x ae a =+-+，由()0f x '=，得1x =-或220()x ae a -+=* 因为()f x 仅有一个极值点，所以关于x 的方程()*必无解， ①当0a =时，()*无解，符合题意； ②当0a ≠时，由()*，得22xa e a-=， 故由220a a-≤，得01a <≤. 故当01a ≤≤时，若1x <-，则()0f x '<，此时()f x 为减函数，若1x >-，则()0f x '>，此时()f x 为增函数， 所以1x =-为()f x 的唯一极值点，综上，可得实数a 的取值范围是[]0,1.（2）由（1），知当102a <<时，1x =-为()f x 的唯一极值点，且是极小值点， 又因为当102a <<时，()22222(1)110a f a a e e ⎛⎫-=---=--+> ⎪⎝⎭，()10af e-=-<，()0(1)0f a =-->， 所以当21x -<<-时，()f x 有一个零点1x ，当10x -<<时，()f x 有另一个零点2x ，即12210x x -<<-<<， 且()12111(1)(1)0x f x ax e a x =--+=，()22222(1)(1)0x f x ax e a x =--+=.①所以1231x x -<+<-.下面再证明122x x +<-，即证122x x <--. 由210x -<<，得2221x -<--<-， 因为当1x <-时，()f x 为减函数，故只需证明()12(2)f x f x >--，也就是证明2(2)0f x --<， 因为()222222222222(2)(1)(1)(2)(1)(1)x x f x a x e a x a x e a x ------=----⋅--=----+，由①式，可得()222222222222(2)(2)x x x x f x a x e ax e a x e x e ----⎡⎤--=---=---⎣⎦.令()2(2)(10)x x gx x e xe x --=----<<， 则()2(1)()x x g x x e e --'=+-.令()2x x hx e e --=-，因为()hx 为区间(1,0)-上的减函数，且(1)0h -=，所以()0h x <，即()2(1)()0x x g x x e e --'=+-<在区间(1,0)-上恒成立， 所以()gx 在区间(1,0)-上是减函数，即()(1)0g x g <-=，所以2(2)0f x --<，即证明122x x +<-成立， 综上所述，1232x x -<+<-.22.解：（1）在极坐标系中，设点(,)M ρθ.由2OP OM =u u u r u u u u r，得(2,)P ρθ，代入曲线1C 的方程22(13sin)16ρθ+=并整理，得22(1+3sin )4ρθ=，再化为直角坐标方程，得2214x y +=， 即曲线2C 的直角坐标方程为2214x y +=. 直线l 的参数方程1x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)化为普通方程是10x y --=.（2）由直线l 的方程为10x y --=，可知AB =因为点M 在曲线222+14x C y =：上， 所以设(2cos ,sin )M a a ，a R ∈，则点M 到直线l 的距离d 即为底边AB 上的高，所以h d ===1tan 2ϕ=，所以max d ==，所以max 11()22ABM S AB d ∆=== 所以ABM ∆面积的最大值为12. 23.解：（1）()22,1,4,31,22,3,x x f x x x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪--<-⎩由()4f x ≤得31x -≤≤，∴{}31M x x =-≤≤（2）∵a ，b M ∈，∴31a -≤≤，31b -≤≤， ∴212a -≤+≤，212b -≤+≤，∴2(1)4a +≤，2(1)4b +≤，∴2223(1)40a a a +-=+-≤，2223(1)b b b +-=+40-≤，∴22+-+-≥.(23)(23)0a ab b。