选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1. 导数的物理意义:瞬时速率。
一般的,函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆,我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数,记作0()f x '或|x x y =',即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时,直线PT 与曲线相切。
容易知道,割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-,当点n P 趋近于P 时,函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ,即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数:当x 变化时,()f x '便是x 的一个函数,我们称它为()f x 的导函数.()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数),则()0f x '=; 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xaf x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙ 三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间(,)a b 内(1)如果()0f x '>,那么函数()y f x =在这个区间单调递增;(2)如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值(2)如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数()y f x =在(,)a b 内的极值; (2) 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1(或0n )时成立,这是递推的基础;B.假设在n=k 时命题成立; C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
考点三 证明1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:数系的扩充和复数的概念 复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数,a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数;0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算1.复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 (1)12()()z z a c b d i ±=±+± (2)12()()z z ac bd ad bc i ∙=-++ (3)12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d-++=≠+ 2,几个重要的结论(1) 2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ (2) 22||||z z z z ∙== (3)若z 为虚数,则22||z z ≠3.运算律 (1)m n m n z z z +∙=;(2) ()m n mn z z =;(3)1212()(,)n n n z z z z m n R ∙=∙∈4.关于虚数单位i 的一些固定结论:(1)21i=- (2)3i i =- (3)41i = (2)2340n n n n i i i i ++++++=练习一组一、选择题1.在平均变化率的定义中,自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A .大于零 B .小于零 C .等于零D .不等于零[答案] D[解析] Δx 可正,可负,但不为0,故应选D.2.设函数y =f (x ),当自变量x 由x 0变化到x 0+Δx 时,函数的改变量Δy 为( ) A .f (x 0+Δx ) B .f (x 0)+Δx C .f (x 0)·ΔxD .f (x 0+Δx )-f (x 0)[答案] D[解析] 由定义,函数值的改变量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0),故应选D. 3.已知函数f (x )=-x 2+x ,则f (x )从-1到-0.9的平均变化率为( ) A .3 B .0.29 C .2.09D .2.9[答案] D[解析] f (-1)=-(-1)2+(-1)=-2. f (-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71.∴平均变化率为f (-0.9)-f (-1)-0.9-(-1)=-1.71-(-2)0.1=2.9,故应选D.4.已知函数f (x )=x 2+4上两点A ,B ,x A =1,x B =1.3,则直线AB 的斜率为( ) A .2 B .2.3 C .2.09D .2.1[答案] B[解析] f (1)=5,f (1.3)=5.69.∴k AB =f (1.3)-f (1)1.3-1=5.69-50.3=2.3,故应选B.5.已知函数f (x )=-x 2+2x ,函数f (x )从2到2+Δx 的平均变化率为( ) A .2-Δx B .-2-Δx C .2+ΔxD .(Δx )2-2·Δx[答案] B[解析] ∵f (2)=-22+2×2=0, ∴f (2+Δx )=-(2+Δx )2+2(2+Δx ) =-2Δx -(Δx )2, ∴f (2+Δx )-f (2)2+Δx -2=-2-Δx ,故应选B.6.已知函数y =x 2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy ),则ΔyΔx 等于( )A .2B .2xC .2+ΔxD .2+(Δx )2[答案] C [解析]Δy Δx =f (1+Δx )-f (1)Δx=[(1+Δx )2+1]-2Δx=2+Δx .故应选C.7.质点运动规律S (t )=t 2+3,则从3到3.3内,质点运动的平均速度为( ) A .6.3 B .36.3 C .3.3D .9.3[答案] A[解析] S (3)=12,S (3.3)=13.89,∴平均速度v =S (3.3)-S (3)3.3-3=1.890.3=6.3,故应选A.8.在x =1附近,取Δx =0.3,在四个函数①y =x 、②y =x 2、③y =x 3、④y =1x 中,平均变化率最大的是( )A .④B .③C .②D .①[答案] B[解析] Δx =0.3时,①y =x 在x =1附近的平均变化率k 1=1;②y =x 2在x =1附近的平均变化率k 2=2+Δx =2.3;③y =x 3在x =1附近的平均变化率k 3=3+3Δx +(Δx )2=3.99;④y =1x 在x =1附近的平均变化率k 4=-11+Δx=-1013.∴k 3>k 2>k 1>k 4,故应选B.9.物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s =s (t ),则物体在时间间隔[t 0,t 0+Δt ]内的平均速度是( )A .v 0B.Δts (t 0+Δt )-s (t 0) C.s (t 0+Δt )-s (t 0)ΔtD.s (t )t[答案] C[解析] 由平均变化率的概念知C 正确,故应选C.10.已知曲线y =14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎫1,14,Q 是曲线上点P 附近的一点,则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫1+Δx ,14(Δx )2 B.⎝⎛⎭⎫Δx ,14(Δx )2 C.⎝⎛⎭⎫1+Δx ,14(Δx +1)2D.⎝⎛⎭⎫Δx ,14(1+Δx )2 [答案] C[解析] 点Q 的横坐标应为1+Δx ,所以其纵坐标为f (1+Δx )=14(Δx +1)2,故应选C.二、填空题11.已知函数y =x 3-2,当x =2时,ΔyΔx =________.[答案] (Δx )2+6Δx +12[解析] Δy Δx =(2+Δx )3-2-(23-2)Δx=(Δx )3+6(Δx )2+12ΔxΔx=(Δx )2+6Δx +12.12.在x =2附近,Δx =14时,函数y =1x 的平均变化率为________.[答案] -29[解析] Δy Δx =12+Δx -12Δx =-14+2Δx=-29.13.函数y =x 在x =1附近,当Δx =12时的平均变化率为________.[答案] 6-2[解析]Δy Δx =1+Δx -1Δx =11+Δx +1=6-2. 14.已知曲线y =x 2-1上两点A (2,3),B (2+Δx,3+Δy ),当Δx =1时,割线AB 的斜率是________;当Δx =0.1时,割线AB 的斜率是________.[答案] 5 4.1[解析] 当Δx =1时,割线AB 的斜率k 1=Δy Δx =(2+Δx )2-1-22+1Δx =(2+1)2-221=5.当Δx =0.1时,割线AB 的斜率k 2=Δy Δx =(2+0.1)2-1-22+10.1=4.1.三、解答题15.已知函数f (x )=2x +1,g (x )=-2x ,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率.[解析] 函数f (x )在[-3,-1]上的平均变化率为 f (-1)-f (-3)-1-(-3)=[2×(-1)+1]-[2×(-3)+1]2=2.函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为 f (5)-f (0)5-0=2. 函数g (x )在[-3,-1]上的平均变化率为 g (-1)-g (-3)-1-(-3)=-2.函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为 g (5)-g (0)5-0=-2.16.过曲线f (x )=2x 2的图象上两点A (1,2),B (1+Δx,2+Δy )作曲线的割线AB ,求出当Δx=14时割线的斜率. [解析] 割线AB 的斜率k =(2+Δy )-2(1+Δx )-1=ΔyΔx=2(1+Δx )2-2Δx =-2(Δx +2)(1+Δx )2=-7225. 17.求函数y =x 2在x =1、2、3附近的平均变化率,判断哪一点附近平均变化率最大? [解析] 在x =2附近的平均变化率为 k 1=f (1+Δx )-f (1)Δx =(1+Δx )2-1Δx =2+Δx ;在x =2附近的平均变化率为k 2=f (2+Δx )-f (2)Δx =(2+Δx )2-22Δx =4+Δx ;在x =3附近的平均变化率为k 3=f (3+Δx )-f (3)Δx =(3+Δx )2-32Δx =6+Δx .对任意Δx 有,k 1<k 2<k 3, ∴在x =3附近的平均变化率最大.18.路灯距地面8m ,一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯.(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式; (2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率.[解析] (1)如图所示,设人从C 点运动到B 处的路程为x m ,AB 为身影长度,AB 的长度为y m ,由于CD ∥BE ,则AB AC =BE CD, 即y y +x =1.68,所以y =f (x )=14x .(2)84m/min =1.4m/s ,在[0,10]内自变量的增量为x 2-x 1=1.4×10-1.4×0=14, f (x 2)-f (x 1)=14×14-14×0=72.所以f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1=7214=14.即人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率为14.练习二组一、选择题1.函数在某一点的导数是( )A .在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B .一个函数C .一个常数,不是变数D .函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C[解析] 由定义,f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时,ΔyΔx 无限趋近的常数,故应选C.2.如果质点A 按照规律s =3t 2运动,则在t 0=3时的瞬时速度为( ) A .6 B .18 C .54D .81[答案] B[解析] ∵s (t )=3t 2,t 0=3,∴Δs =s (t 0+Δt )-s (t 0)=3(3+Δt )2-3·32 =18Δt +3(Δt )2∴ΔsΔt =18+3Δt .当Δt →0时,ΔsΔt →18,故应选B.3.y =x 2在x =1处的导数为( ) A .2x B .2 C .2+ΔxD .1[答案] B[解析] ∵f (x )=x 2,x =1,∴Δy =f (1+Δx )2-f (1)=(1+Δx )2-1=2·Δx +(Δx )2 ∴ΔyΔx=2+Δx 当Δx →0时,ΔyΔx →2∴f ′(1)=2,故应选B.4.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为s (t )=4t 2-3(s (t )的单位:m ,t 的单位:s),则t =5时的瞬时速度为( )A .37B .38C .39D .40[答案] D[解析] ∵Δs Δt =4(5+Δt )2-3-4×52+3Δt=40+4Δt ,∴s ′(5)=li m Δt →ΔsΔt =li m Δt →0(40+4Δt )=40.故应选D. 5.已知函数y =f (x ),那么下列说法错误的是( ) A .Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0)叫做函数值的增量B.Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx 叫做函数在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率 C .f (x )在x 0处的导数记为y ′ D .f (x )在x 0处的导数记为f ′(x 0) [答案] C[解析] 由导数的定义可知C 错误.故应选C.6.函数f (x )在x =x 0处的导数可表示为y ′|x =x 0,即( ) A .f ′(x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0) B .f ′(x 0)=li m Δx →[f (x 0+Δx )-f (x 0)] C .f ′(x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0)ΔxD .f ′(x 0)=li m Δx →f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D 正确.故应选D.7.函数y =ax 2+bx +c (a ≠0,a ,b ,c 为常数)在x =2时的瞬时变化率等于( ) A .4a B .2a +b C .bD .4a +b[答案] D[解析] ∵Δy Δx =a (2+Δx )2+b (2+Δx )+c -4a -2b -cΔx=4a +b +a Δx , ∴y ′|x =2=li m Δx →ΔyΔx =li m Δx →0(4a +b +a ·Δx )=4a +b .故应选D. 8.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是( ) A .圆 B .抛物线 C .椭圆D .直线[答案] D[解析] 当f (x )=b 时,f ′(x )=0,所以f (x )的图象为一条直线,故应选D.9.一物体作直线运动,其位移s 与时间t 的关系是s =3t -t 2,则物体的初速度为( )A .0B .3C .-2D .3-2t[答案] B [解析] ∵Δs Δt =3(0+Δt )-(0+Δt )2Δt=3-Δt , ∴s ′(0)=li m Δt →0 Δs Δt=3.故应选B. 10.设f (x )=1x ,则li m x →a f (x )-f (a )x -a等于( ) A .-1aB.2a C .-1a 2 D.1a 2 [答案] C[解析] li m x →a f (x )-f (a )x -a=li m x →a 1x -1a x -a =li m x →a a -x (x -a )·xa=-li m x →a 1ax =-1a 2. 二、填空题11.已知函数y =f (x )在x =x 0处的导数为11,则li m Δx →0f (x 0-Δx )-f (x 0)Δx =________; li m x →x 0 f (x )-f (x 0)2(x 0-x )=________. [答案] -11,-112[解析] li m Δx →0 f (x 0-Δx )-f (x 0)Δx=-li m Δx →0 f (x 0-Δx )-f (x 0)-Δx=-f ′(x 0)=-11; li m x →x 0 f (x )-f (x 0)2(x 0-x )=-12li m Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =-12f ′(x 0)=-112. 12.函数y =x +1x在x =1处的导数是________. [答案] 0[解析] ∵Δy =⎝⎛⎭⎫1+Δx +11+Δx -⎝⎛⎭⎫1+11=Δx -1+1Δx +1=(Δx )2Δx +1, ∴Δy Δx =Δx Δx +1.∴y ′|x =1=li m Δx →0 Δx Δx +1=0. 13.已知函数f (x )=ax +4,若f ′(2)=2,则a 等于______.[答案] 2[解析] ∵Δy Δx =a (2+Δx )+4-2a -4Δx=a , ∴f ′(1)=li m Δx →0 Δy Δx=a .∴a =2. 14.已知f ′(x 0)=li m x →x 0f (x )-f (x 0)x -x 0,f (3)=2,f ′(3)=-2,则li m x →3 2x -3f (x )x -3的值是________.[答案] 8[解析] li m x →3 2x -3f (x )x -3=li m x →3 2x -3f (x )+3f (3)-3f (3)x -3=lim x →3 2x -3f (3)x -3+li m x →3 3(f (3)-f (x ))x -3. 由于f (3)=2,上式可化为li m x →3 2(x -3)x -3-3li m x →3 f (x )-f (3)x -3=2-3×(-2)=8. 三、解答题15.设f (x )=x 2,求f ′(x 0),f ′(-1),f ′(2).[解析] 由导数定义有f ′(x 0)=li m Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=li m Δx →0 (x 0+Δx )2-x 20Δx =li m Δx →0Δx (2x 0+Δx )Δx =2x 0,16.枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动,如果它的加速度是5.0×105m/s 2,枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3s ,求枪弹射出枪口时的瞬时速度. [解析] 位移公式为s =12at 2 ∵Δs =12a (t 0+Δt )2-12at 20=at 0Δt +12a (Δt )2 ∴Δs Δt =at 0+12a Δt ,∴li m Δt →0 Δs Δt =li m Δt →0 ⎝⎛⎭⎫at 0+12a Δt =at 0, 已知a =5.0×105m/s 2,t 0=1.6×10-3s ,∴at 0=800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17.在曲线y =f (x )=x 2+3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy ), 求(1)Δy Δx(2)f ′(1).[解析] (1)Δy Δx =f (1+Δx )-f (1)Δx=(1+Δx )2+3-12-3Δx=2+Δx . (2)f ′(1)=lim Δx →0f (1+Δx )-f (1)Δx =lim Δx →0 (2+Δx )=2. 18.函数f (x )=|x |(1+x )在点x 0=0处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由.[解析] f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +x 2 (x ≥0)-x -x 2 (x <0) Δy =f (0+Δx )-f (0)=f (Δx )=⎩⎪⎨⎪⎧Δx +(Δx )2 (Δx >0)-Δx -(Δx )2 (Δx <0) ∴lim x →0+ Δy Δx =lim Δx →0+ (1+Δx )=1, lim Δx →0-Δy Δx =lim Δx →0- (-1-Δx )=-1, ∵lim Δx →0- Δy Δx ≠lim Δx →0+ Δy Δx ,∴Δx →0时,Δy Δx无极限. ∴函数f (x )=|x |(1+x )在点x 0=0处没有导数,即不可导.(x →0+表示x 从大于0的一边无限趋近于0,即x >0且x 趋近于0)练习三组1.如果曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为x +2y -3=0,那么( )A .f ′(x 0)>0B .f ′(x 0)<0C .f ′(x 0)=0D .f ′(x 0)不存在 [答案] B[解析] 切线x +2y -3=0的斜率k =-12,即f ′(x 0)=-12<0.故应选B. 2.曲线y =12x 2-2在点⎝⎛⎭⎫1,-32处切线的倾斜角为( ) A .1B.π4C.54π D .-π4 [答案] B[解析] ∵y ′=li m Δx →0[12(x +Δx )2-2]-(12x 2-2)Δx =li m Δx →0(x +12Δx )=x ∴切线的斜率k =y ′|x =1=1.∴切线的倾斜角为π4,故应选B. 3.在曲线y =x 2上切线的倾斜角为π4的点是( ) A .(0,0)B .(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14,116D.⎝⎛⎭⎫12,14 [答案] D[解析] 易求y ′=2x ,设在点P (x 0,x 20)处切线的倾斜角为π4,则2x 0=1,∴x 0=12,∴P ⎝⎛⎭⎫12,14.4.曲线y =x 3-3x 2+1在点(1,-1)处的切线方程为( )A .y =3x -4B .y =-3x +2C .y =-4x +3D .y =4x -5 [答案] B[解析] y ′=3x 2-6x ,∴y ′|x =1=-3.由点斜式有y +1=-3(x -1).即y =-3x +2.5.设f (x )为可导函数,且满足lim x →0 f (1)-f (1-2x )2x=-1,则过曲线y =f (x )上点(1,f (1))处的切线斜率为( )A .2B .-1C .1D .-2 [答案] B[解析] lim x →0 f (1)-f (1-2x )2x =lim x →0 f (1-2x )-f (1)-2x=-1,即y ′|x =1=-1,则y =f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为-1,故选B.6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( )A .不存在B .与x 轴平行或重合C .与x 轴垂直D .与x 轴斜交 [答案] B[解析] 由导数的几何意义知B 正确,故应选B.7.已知曲线y =f (x )在x =5处的切线方程是y =-x +8,则f (5)及f ′(5)分别为( )A .3,3B .3,-1C .-1,3D .-1,-1 [答案] B[解析] 由题意易得:f (5)=-5+8=3,f ′(5)=-1,故应选B.8.曲线f (x )=x 3+x -2在P 点处的切线平行于直线y =4x -1,则P 点的坐标为( )A .(1,0)或(-1,-4)B .(0,1)C .(-1,0)D .(1,4) [答案] A[解析] ∵f (x )=x 3+x -2,设x P =x 0,∴Δy =3x 20·Δx +3x 0·(Δx )2+(Δx )3+Δx , ∴Δy Δx=3x 20+1+3x 0(Δx )+(Δx )2, ∴f ′(x 0)=3x 20+1,又k =4,∴3x 20+1=4,x 20=1.∴x 0=±1, 故P (1,0)或(-1,-4),故应选A.9.设点P 是曲线y =x 3-3x +23上的任意一点,P 点处的切线倾斜角为α,则α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0,π2∪⎣⎡⎭⎫23π,πB.⎣⎡⎭⎫0,π2∪⎣⎡⎭⎫56π,πC.⎣⎡⎭⎫23π,π D.⎝⎛⎦⎤π2,56π[答案] A [解析] 设P (x 0,y 0),∵f ′(x )=li m Δx →0(x +Δx )3-3(x +Δx )+23-x 3+3x -23Δx =3x 2-3,∴切线的斜率k =3x 20-3,∴tan α=3x 20-3≥- 3.∴α∈⎣⎡⎭⎫0,π2∪⎣⎡⎭⎫23π,π.故应选A. 10.设P 为曲线C :y =x 2+2x +3上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P 横坐标的取值范围为( ) A .[-1,-12] B .[-1,0] C .[0,1]D .[12,1] [答案] A[解析] 考查导数的几何意义.∵y ′=2x +2,且切线倾斜角θ∈[0,π4], ∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1,即0≤2x +2≤1,∴-1≤x ≤-12. 11.已知函数f (x )=x 2+3,则f (x )在(2,f (2))处的切线方程为________.[答案] 4x -y -1=0[解析] ∵f (x )=x 2+3,x 0=2∴f (2)=7,Δy =f (2+Δx )-f (2)=4·Δx +(Δx )2∴Δy Δx =4+Δx .∴li m Δx →0 Δy Δx =4.即f ′(2)=4. 又切线过(2,7)点,所以f (x )在(2,f (2))处的切线方程为y -7=4(x -2)即4x -y -1=0.12.若函数f (x )=x -1x,则它与x 轴交点处的切线的方程为________. [答案] y =2(x -1)或y =2(x +1)[解析] 由f (x )=x -1x=0得x =±1,即与x 轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).∵f ′(x )=li m Δx →0(x +Δx )-1x +Δx -x +1x Δx =li m Δx →0 ⎣⎡⎦⎤1+1x (x +Δx )=1+1x 2. ∴切线的斜率k =1+11=2. ∴切线的方程为y =2(x -1)或y =2(x +1).13.曲线C 在点P (x 0,y 0)处有切线l ,则直线l 与曲线C 的公共点有________个.[答案] 至少一[解析] 由切线的定义,直线l 与曲线在P (x 0,y 0)处相切,但也可能与曲线其他部分有公共点,故虽然相切,但直线与曲线公共点至少一个.14.曲线y =x 3+3x 2+6x -10的切线中,斜率最小的切线方程为________.[答案] 3x -y -11=0[解析] 设切点P (x 0,y 0),则过P (x 0,y 0)的切线斜率为,它是x 0的函数,求出其最小值.设切点为P (x 0,y 0),过点P 的切线斜率k ==3x 20+6x 0+6=3(x 0+1)2+3.当x 0=-1时k 有最小值3,此时P 的坐标为(-1,-14),其切线方程为3x -y -11=0.三、解答题15.求曲线y =1x -x 上一点P ⎝⎛⎭⎫4,-74处的切线方程. [解析] ∴y ′=lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1x +Δx -1x -(x +Δx -x )Δx=lim Δx →0-Δx x (x +Δx )-Δx x +Δx +x Δx =lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x (x +Δx )-1x +Δx +x =-1x 2-12x . ∴y ′|x =4=-116-14=-516, ∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎫4,-74处的切线方程为: y +74=-516(x -4). 即5x +16y +8=0.16.已知函数f (x )=x 3-3x 及y =f (x )上一点P (1,-2),过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y =f (x )相切且以P 为切点的直线方程;(2)求使直线l 和y =f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y =g (x ).[解析] (1)y ′=li m Δx →0(x +Δx )3-3(x +Δx )-3x 3+3x Δx =3x 2-3. 则过点P 且以P (1,-2)为切点的直线的斜率k 1=f ′(1)=0,∴所求直线方程为y =-2.(2)设切点坐标为(x 0,x 30-3x 0),则直线l 的斜率k 2=f ′(x 0)=3x 20-3,∴直线l 的方程为y -(x 30-3x 0)=(3x 20-3)(x -x 0)又直线l 过点P (1,-2),∴-2-(x 30-3x 0)=(3x 20-3)(1-x 0),∴x 30-3x 0+2=(3x 20-3)(x 0-1),解得x 0=1(舍去)或x 0=-12. 故所求直线斜率k =3x 20-3=-94, 于是:y -(-2)=-94(x -1),即y =-94x +14. 17.求证:函数y =x +1x图象上的各点处的切线斜率小于1. [解析] y ′=li m Δx →0 f (x +Δx )-f (x )Δx=li m Δx →0 ⎝⎛⎭⎫x +Δx +1x +Δx -⎝⎛⎭⎫x +1x Δx=li m Δx →0 x ·Δx (x +Δx )-Δx (x +Δx )·x ·Δx=li m Δx →0(x +Δx )x -1(x +Δx )x =x 2-1x 2=1-1x 2<1, ∴y =x +1x图象上的各点处的切线斜率小于1. 18.已知直线l 1为曲线y =x 2+x -2在点(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程;(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积.[解析] (1)y ′|x =1=li m Δx →0(1+Δx )2+(1+Δx )-2-(12+1-2)Δx =3, 所以l 1的方程为:y =3(x -1),即y =3x -3.设l 2过曲线y =x 2+x -2上的点B (b ,b 2+b -2),y ′|x =b =li m Δx →0(b +Δx )2+(b +Δx )-2-(b 2+b -2)Δx =2b +1,所以l 2的方程为:y -(b 2+b -2)=(2b +1)·(x -b ),即y =(2b +1)x -b 2-2.因为l 1⊥l 2,所以3×(2b +1)=-1,所以b =-23,所以l 2的方程为:y =-13x -229. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y =3x -3,y =-13x -229,得⎩⎨⎧ x =16,y =-52,即l 1与l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16,-52. 又l 1,l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0),⎝⎛⎭⎫-223,0. 所以所求三角形面积S =12×⎪⎪⎪⎪-52×⎪⎪⎪⎪1+223=12512.练习三组1.下列结论不正确的是( )A .若y =0,则y ′=0B .若y =5x ,则y ′=5C .若y =x -1,则y ′=-x -2[答案] D2.曲线y =13x 3-2在点⎝⎛⎭⎫-1,-73处切线的倾斜角为( )A .30°B .45°C .135°D .60°[答案] B[解析] y ′|x =-1=1,∴倾斜角为45°.3.函数y =(x +1)2(x -1)在x =1处的导数等于( )A .1B .2C .3D .4[答案] D[解析] y ′=[(x +1)2]′(x -1)+(x +1)2(x -1)′=2(x +1)·(x -1)+(x +1)2=3x 2+2x -1,∴y ′|x =1=4.4.设f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a >0),则f (x )为R 上增函数的充要条件是() A .b 2-4ac >0 B .b >0,c >0C .b =0,c >0D .b 2-3ac <0[答案] D[解析] ∵a >0,f (x )为增函数,∴f ′(x )=3ax 2+2bx +c >0恒成立,∴Δ=(2b )2-4×3a ×c =4b 2-12ac <0,∴b 2-3ac <0.5.已知函数f (x )在点x 0处连续,下列命题中,正确的是( )A .导数为零的点一定是极值点B .如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0,右侧f ′(x )<0,那么f (x 0)是极小值C .如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0,右侧f ′(x )<0,那么f (x 0)是极大值D .如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0,右侧f ′(x )>0,那么f (x 0)是极大值[答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点,例如f (x )=x 3,f ′(x )=3x 2,f ′(0)=0,但x =0不是f (x )的极值点,故A 错;由极值的定义可知C 正确,故应选C.6.函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的最大值是M ,最小值是m ,若M =m ,则f ′(x )() A .等于0 B .大于0C .小于0D .以上都有可能[答案] A[解析] ∵M =m ,∴y =f (x )是常数函数∴f ′(x )=0,故应选A.7.内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )A .RB .2RC.43RD.34R[答案] C[解析] 设圆锥高为h ,底面半径为r ,则R 2=(R -h )2+r 2,∴r 2=2Rh -h 2∴V =13πr 2h =π3h (2Rh -h 2)=23πRh 2-π3h 3V ′=43πRh -πh 2.令V ′=0得h =43R .当0<h <43R 时,V ′>0;当4R 3<h <2R 时,V ′<0.因此当h =43R 时,圆锥体积最大.故应选C.8..和式 i =15 (y i +1)可表示为( )A .(y 1+1)+(y 5+1)B .y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+1C .y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+5D .(y 1+1)(y 2+1)…(y 5+1)[解析] ∑i =15(y i +1)=(y 1+1)+(y 2+1)+(y 3+1)+(y 4+1)+(y 5+1)=y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+5,故选C.9.设f (x )是[a ,b ]上的连续函数,则f (x )d x -f (t )d t 的值( )A .小于零B .等于零C .大于零D .不能确定 [答案] B[解析] f (x )d x 和f (t )d t 都表示曲线y =f (x )与x =a ,x =b 及y =0围成的曲边梯形面积,不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置.所以其值为0.10..设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x <1)2-x (1≤x ≤2),则f (x )d x 等于( ) A.34B.45C.56 D .不存在[答案] C[解析] f (x )d x =x 2d x +(2-x )d x取F 1(x )=13x 3,F 2(x )=2x -12x 2, 则F ′1(x )=x 2,F ′2(x )=2-x∴f (x )d x =F 1(1)-F 1(0)+F 2(2)-F 2(1)=13-0+2×2-12×22-⎝⎛⎭⎫2×1-12×12=56.故应选C. 11..如图所示,阴影部分的面积为( )A.f (x )d xB.g (x )d xC.[f (x )-g (x )]d xD.[g (x )-f (x )]d x [答案] C[解析] 由题图易知,当x ∈[a ,b ]时,f (x )>g (x ),所以阴影部分的面积为[f (x )-g (x )]d x .12已知f (x )=x 3的切线的斜率等于1,则其切线方程有( )A .1个C .多于两个D .不能确定[答案] B[解析] ∵f (x )=x 3,∴f ′(x )=3x 2,令3x 2=1,得x =±33, 即切点坐标为⎝⎛⎭⎫33,39或⎝⎛⎭⎫-33,-39. 由点斜式可得切线方程为y -39=x -33或y +39=x +33,即y =x -239或y =x +239.故应选B.13.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )A .a =1,b =1B .a =-1,b =1C .a =1,b =-1D .a =-1,b =-1[答案] A[解析] y ′=2x +a ,∴y ′|x =0=(2x +a )|x =0=a =1,将(0,b )代入切线方程得b =1.14.关于归纳推理,下列说法正确的是( )A .归纳推理是一般到一般的推理B .归纳推理是一般到个别的推理C .归纳推理的结论一定是正确的D .归纳推理的结论是或然性的[答案] D[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理,其结论的正确性不一定.故应选D.15.下列说法正确的是( )A .由合情推理得出的结论一定是正确的B .合情推理必须有前提有结论C .合情推理不能猜想D .合情推理得出的结论无法判定正误[答案] B[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确,A 不正确;B 正确;合情推理的结论本身就是一个猜想,C 不正确;合情推理结论可以通过证明来判定正误,D 也不正确,故应选B.16.“∵四边形ABCD 是矩形,∴四边形ABCD 的对角线相等”,补充以上推理的大前提是( )A .正方形都是对角线相等的四边形B .矩形都是对角线相等的四边形C .等腰梯形都是对角线相等的四边形D .矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系,知大前提是:矩形是对角线相等的四边形.故应选B.17.证明命题“f (x )=e x +1e x 在(0,+∞)上是增函数”,一个同学给出的证法如下: ∵f (x )=e x +1e x ,∴f ′(x )=e x -1e x . ∵x >0,∴e x >1,0<1e x <1 ∴e x -1e x >0,即f ′(x )>0, ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数,他使用的证明方法是( )A .综合法B .分析法C .反证法D .以上都不是[答案] A[解析] 该证明方法符合综合法的定义,应为综合法.故应选A.18.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( )A .有一个解B .有两个解C .至少有三个解D .至少有两个解[答案] C[解析] 在逻辑中“至多有n 个”的否定是“至少有n +1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故应选C.19.用数学归纳法证明1+12+13+…+12n -1<n (n ∈N *,n >1)时,第一步应验证不等式( )A .1+12<2B .1+12+13<2 C .1+12+13<3 D .1+12+13+14<3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *,n >1,∴n 取第一个自然数为2,左端分母最大的项为122-1=13,故选B.20.命题“对于任意角θ,cos 4θ-sin 4θ=cos2θ”的证明:“cos 4θ-sin 4θ=(cos 2θ-sin 2θ)(cos 2θ+sin 2θ)=cos 2θ-sin 2θ=cos2θ”的过程应用了( )A .分析法B .综合法C .综合法、分析法综合使用D .以上都不是[答案] B[解析] 所用方法符合综合法的定义,故应选B.21..锐角三角形的面积等于底乘高的一半;直角三角形的面积等于底乘高的一半;钝角三角形的面积等于底乘高的一半;所以,凡是三角形的面积都等于底乘高的一半.以上推理运用的推理规则是( )A .三段论推理B .假言推理C .关系推理D .完全归纳推理[答案] D[解析] 所有三角形按角分,只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形,上述推理穷尽了所有的可能情形,故为完全归纳推理.22.i 是虚数单位,计算i +i 2+i 3=( )A .-1B .1C .-iD .i[答案] A[解析] i +i 2+i 3=i -1-i =-1.23..如果复数a +b i(a ,b ∈R )在复平面内的对应点在第二象限,则( )A .a >0,b <0B .a >0,b >0C .a <0,b <0D .a <0,b >0[答案] D[解析] 复数z =a +b i 在复平面内的对应点坐标为(a ,b ),该点在第二象限,需a <0且b >0,故应选D.24.i 是虚数单位,i 3+3i =( ) A.14-312i B.14+312i C.12+36i D.12-36i [答案] B[解析]i 3+3i =i(3-3i)(3+3i)(3-3i) =3+3i 12=14+312i ,故选B. 25.复数z 是实数的充分而不必要条件为( )A .|z |=zB .z =zC .z 2是实数D .z +z 是实数[答案] A[解析] 由|z |=z 可知z 必为实数,但由z 为实数不一定得出|z |=z ,如z =-2,此时|z |≠z ,故|z |=z 是z 为实数的充分不必要条件,故选A.26..复数i 3(1+i)2=( )A .2B .-2C .2iD .-2i[答案] A[解析] 考查复数代数形式的运算.i 3(1+i)2=-i·(2i)=2.27.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3-i 1+i 2=( ) A .-3-4i B .-3+4iC .3-4iD .3+4i[答案] A[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫3-i 1+i 2=8-6i 2i =-3-4i.。