2
U1
1 2
C2
( 0+ )
U1 (0- ) -U1 (0+ ) - C 0- ) U2 (0+ ) -U2 (0- ) (9) 2U 2 (
在 t = 0 时刻其值为无穷大 , 它的物理意义是 : 在 0 - 到 0 + 的无穷小时间内运送的电荷量为 Q , 即冲 激电流的强度是一常数 ,冲激电流具有如下性质 : ( 4) Qδ( t) = 0 + ∞ δ( t) dt = Q ( 5) ∫ - ∞ Q 由 i =c
)
t
( 2) ( 3)
Us R
e
- Rc
图 2
由上两式知 t = 0 时电流值 i ( 0 ) =
Us 为有限 R
值 , uc ( 0 + ) = uc ( 0 - ) = 0 , 即在换路时刻 ( t = 0 ) 电容电压不发生跃变 。 若在图 2 中没有电阻 R ,而是一个理想电压源 和纯电容器组成的电路 ,设 K闭合前 uc ( 0 - ) = 0 , 则 K闭合后 , uc ( 0 + ) = U s , 可见在换路时刻电容 电压发生了跃变 ,即在 t = 0 时刻 ,电容电压从零突 然跃变到 U s, 该电容电压为一阶跃电压 。根据电 容电压与电流的关系及阶跃电压的微分性质 ,电路 中电流 i ( t) = c
摘 要 : 两个带电电容器在连接前后的能量发生变化 , 论述了换路过程中 , 在理想和实际两种情况下电容电 压是否发生跃 , 并解释其能量损失原因 。 关键词 : 电容器 ; 电场能量 ; 换路 ; 能量损失 中图分类号 : 0441 文献标识码 : A 文章编号 : 1673 - 6125 ( 2009 ) 02 - 0010 - 03
Hale Waihona Puke C2 在接路过程中充电 ,获得的能量 Δ W 2 =
1 2
∫ 0-
0 +
V2 ( 0 + ) - V2 ( 0 - ) i2 ( t) dt
2 1 C2 U 2 ( 0 + ) - U 2 ( 0 - ) 2 1 Δ W′ =| Δ W1 | - Δ W2 = C1 U1 (0- ) - U1 (0+ ) 2
i1 ( t) = Q 1δ( t) = U 1 ( 0 + ) - U 1 ( 0 - ) C1δ( t)
当 i为有限值时 uc ( 0 + ) = uc ( 0 - ) 当 i = Qδ( t) 为冲激电流时由 ( 4 ) , ( 5 )两式得
Q uc ( 0 + ) = uc ( 0 - ) + C
3收稿日期 : 2009 - 03 - 20 作者简介 : 祁 翔 ( 1972 - ) , 男 ,湖北黄冈市人 ,湖北黄冈师范学院物理科学与技术学院讲师 ,主要从事物理学教学研究 。 基金项目 : 黄冈师范学院校级科研项目 ( 08CB026) 。
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3 理想情况下换路过程中电容的能量损失
将电容量分别为 C1 , C2 两电容器分别充电到 U1 ( 0 - ) , U2 ( 0 - )后并联 ,设 U1 ( 0 - ) > U2 ( 0 - ) ,如 图 1,则 C1 向 C2 充电 , 换路过程中回路瞬间产生 冲激电流 ,电容电压发生跃变 。换路前电容器储存 的能量为 : 1 1 2 2 W 1 (0- ) = C1 U1 (0- ) ,W 2 (0- ) = C2 U2 (0- ) 2 2 换路结束瞬间电容储存的能量为 : 1 1 2 2 W 1 (0+ ) = C1 U1 (0+ ) ,W 2 (0+ ) = C2 U2 (0+ ) 2 2 换路过程中能量损失为: Δ W = W1 (0- ) +W2 (0- ) W1 (0+ ) +W2 (0+ )
C1 C2 ( U 1 - U 2 ) 2 ( C1 + C2 )
2
图 1
并联后损 失的 能量 为 : Δ W = W前 - W后 =
( 1)
从式 ( 1 ) 可看出 , 两电容器并联后能量损失 了 ,似乎不符合能量守恒定律 , 在大多数物理教材 中解释为在导线中转化为焦耳热而损失了能量 ,而 我们从式 ( 1 )可知损失的能量 Δ W 与电阻 R 无关 , 即当电路在理想和实际两种情况下能量的损失总 是存在的 。能量损失的原因究竟是什么 ? 损失的
∫ 0-
0 +
U1 ( 0 - ) - U1 ( 0 + ) i1 ( t) dt = 1 C1 U 1 ( 0 - ) - U 1 ( 0 + ) 2
2
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U1 ( 0- ) - U2 ( 0- )
边后两项则正好体现了两个电容器在换路过程中 由于电压跃变引起静电场本身变化而导致能量的 [4] 改变 。由于以上分析是在理想情况下电路中没 有电阻的存在而得出的能量损失 , Δ W 是不会转变 为热能的 ,能量到底以什么形式损失掉呢 ? 由于回 路中产生了冲激电流 ,而电路最高频率对应的波长 远大于电路自身尺寸 ,我们只有用电磁场理论才能 解释能量的损失 。对于图 1,可认为回路导线这一 1 匝线圈组成电感 L. 因 L 很小 , 由 ω0 = 可知
2
-
2 1 C2 U2 (0+ ) - U2 (0- ) 2 Δ W′ 为式 ( 9 )右边前两项 , 它表示出在换路过 程中电场力移送电荷做功而消耗的能量 , 式 ( 9 ) 右
同理 U2 ( ∞) = U2 ( 0 - ) +
U2 ( 0- ) + C1 C1 + C2
1 ∞ ∫ i ( t) dt = C2 0
=
当电路达到稳定状态时 1 ∞ U1 ( ∞) = U1 ( 0 - ) ∫ 0 i ( t) dt = U1 ( 0 - ) C1 1 1 ∞ U1 ( 0 - ) - U2 ( 0 - ) - τ t ∫ e dt 0 C1 R
= U1 ( 0- ) C2 C1 + C2 U 1 ( 0- ) - U2 ( 0- )
并联后两电容器上储存的总能量为 :
1 问题的提出
如图 1,两电容器 C1 和 C2 分别充电至 U1 和
U2 (U1 >U2 )后并联 ,在开关 K闭合前 ,两电容器上 储存的总能量为 : 1 1 2 2 W前 = C1 U 1 + C2 U 2 2 2 当开关 K闭合后 , 两电容器并联 , 总电容 C = C1 + C2 ,两电容器上的电压相同 , 根据连接前后电 荷守恒有 :
( t) dt
duc 1 δ 积分有 uc ( t) = uc ( t0 ) + ∫ tQ c t0 dt
而在换路过程中由 ( 6 )式知 : 1 0+ U1 ( 0 + ) = U1 ( 0 - ) + ∫ 0 - Q1δ ( t) dt = C1 Q1 U1 ( 0 - ) + C1 则 Q 1 = U 1 ( 0 + ) - U 1 ( 0 - ) C1
能量到哪里去了 ? 对于这些疑惑 ,我们可以电器原 理和电磁场理论来分析两电容器在换路过程中能 量损失的原因 。
2 换路过程中电容电压的跃变
在图 2 所示的 RC 电路中 , 当开关 K 闭合后 , 电路中有电流 i通过电容器 C, 由基尔霍夫定律并 求解一阶微分方程 ,得电容电压和电路中电流的表 [ 1, 2 ] 达式为 :
2
e τ dt
2
-
2
t
ω0 极大 ,根据天线原理 , 此电路结构是开放性的 , 可看作是发射电磁波的天线 , 因此在换路过程中 , 损失的能量应转换成电磁波的能量向空间辐射出 去。
4 实际情况下换路过程中电容能量的损失
在实际电路中始终是有电阻存在的 ,如图 3 在 换路过程中 ,充放电过程将在 0 → ∞时间内完成 , 回路中 电 流 不 再 是 冲 激 电 流 , 由 换 路 定 理 知 U ( 0 + ) =U ( 0 - ) ,式 ( 9 ) 中 Δ W = 0 , 即换路结束瞬 间能量没有损失 ,而在换路结束瞬间到电路达到稳 定状态这个暂态过程中 ,能量才会以焦耳热的形式 RC1 C2 损失 ,我们知道在 RC 电路中 τ = RC = C1 + C2 (此时 C1 , C2 与 R 为串联关系 )
电容器是现代电工技术和电子技术中的重要元 件 ,在各种物理教材中都阐述了电容器的充放电过 程。我们知道两带电电容器在连接前后 ,电容器上的 电压、 电量和能量都发生了变化 ,而电容器连接过程 中能量守恒问题容易被忽视了 ,大多数物体教材中也 很少讨论电容器连接前后的能量损失问题。
Q = C1 U 1 + C2 U 2 = CU = ( C1 + C2 ) U
( 6) ( 7) ( 8)
同理 i2 ( t) = Q2δ( t) = U2 (0+ ) - U2 (0- ) C2δ( t)
C1 在换路过程中放电 ,减少的能量 Δ W 1 = 1 2
Q 即 uc ( 0 + ) - uc ( 0 - ) = ≠ 0这意味着电容电 C
压在 t = 0 - 到 t = 0 + 之间发生了跃变 ,根据 ( 8 )式 知 Q = C uc ( 0 + ) - uc ( 0 - ) ] 。
LC