直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用
过定点（x，y0 ）的直线系方程：A(x x0) B( y y0) 0（A,B 不同时为0）.
例 1 求过点P( 1，4) 圆(x 2)2 ( y 3)2 1的切线的方程．
分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.
解析：设所求直线的方程为A(x 1) B(y 4) 0（其中A，B不全为零），
则整理有Ax By A 4B 0，
∵直线l 与圆相切，∴圆心 C (2，3) 到直线l 的距离等于半径1，故2A 3B A 4B
2 2
A B
1
，
整理，得A(4 A 3B) 0，即A 0 （这时 B 0 ），或
3
A B 0．
4
故所求直线l 的方程为y 4 或3x 4y13 0 ．
点评：对求过定点（x，y0 ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: A(x x0) B(y y0) 0，0
注意的此方程表示的是过点P(x，y ) 的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素
0 0
的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．
练习：过点P( 1，4) 作圆 2 2
(x 2) (y 3) 1的切线l ，求切线l 的方程．
解：设所求直线l 的方程为A(x 1) B(y 4) 0 （其中A，B不全为零），
则整理有Ax By A 4B 0，
∵直线l 与圆相切，∴圆心 C (2，3) 到直线l 的距离等于半径1，故2A 3B A 4B
2 2
A B
1，
整理，得A(4 A 3B) 0，即A 0 （这时 B 0 ），或 3 0
A B ．
4
故所求直线l 的方程为y 4 或3x 4y13 0 ．
2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用
过直线l ：A1x B1 y C1 0（A1, B1 不同时为0）与m：A2 x B2 y C2 0（A2, B2 不同时为0）交点的直线
系方程为：A x B y C A x B y C （R ，为参数）.
1 1 1 (
2 2 2 ) 0
例2 求过直线：x 2y 1 0与直线：2x y 1 0 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.
解析：设所求直线方程为：x 2y 1 (2 x y 1) 0 ，
当直线过原点时，则 1 =0，则=－1，
所：
x 2y 0 ；
当所x 令 y =0，解得 x = 1
2
1
，
由题意得，
1
2
=
1 2
1
，所
： 5x 5y 4 0 . 综上所述，所： x 2y 0或 5x 5y 4 0 . 3、系题 例明m x y m 1 0( 是参数且 m ∈
定点并求出定. 分析题，可用恒等和特法 . 解析：（恒等式法方: (x 1)m y 1 0 , ∵ m ∈R, ∴ x y 1 0 1 0 ，解得， x 1， y 1， m x y m 1 0( m 是参数
且 m ∈定点（ 1,1）. （特法）取 m =0， m =1 得， y 1，
x y 2 0
立解得， x 1， y 1， 将（ 1,1）代入
m x y m 1足方程， m x y m 1 0( m 是参数且 m ∈定点（ 1,1）. 证题，常用方法有恒等式法和特法，恒等式法就是方关于参数的 恒等式形式，利用参数属于 恒等式个0，列出关于 x , y
的解，求出
定;特殊直 线法，去两个特殊，得到两条特接着两条特的交，并代入系验，即得 定点 . 一系方程有如下几种： 1、以 (a,b)为圆心的同心圆系方程： 2 y 2 x ＋ D x ＋ E 2、过直线A x ＋ By ＋Ｃ＝０与圆x 2 y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为： x 2
y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋Ｆ＋ （ Ax
＋ By ＋Ｃ）＝０（ Ｒ）
3、过两圆C : 1
2 y
2
x ＋ D 1
x E 1
y F 1 ＝ 0
， C 2 : 2
y
2
x
＋
D 2 x
E 2
y
D 1 x
E y
2
y
2
x ＋D2 x E2 y F2 ）＝0（≠- １，此圆系不含C2 : F ＋（
1
1
０）
特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．
注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C，可等价转化为过圆C1 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方
2
程: 2 2
x y D1x E1 y F1 [( D1 D2) x (E1 E2 )y (F1 F2)] 0
二、圆系方程在解题中的应用：
1、利用圆系方程求圆的方程：
2 2 2 2
例求经过两圆x +y +6x-4=0 和x +y +6y-28=0 的交点，并且圆心在直线x- y-4=0 上的圆的方程。
例１、求经过两圆 2 y
2
x ＋3 x －y －2＝０和
2 3 2
3x y ＋2 x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．
解：方法3：由题可设所求圆的方程为：
（ 2 y 2
x ＋3 x －y －2）＋（
2 3 2
3x y ＋2 x ＋y ＋１）＝０
∵（0，0）在所求的圆上，∴有－2＋＝０．从而＝２
2 y2 x y x2 y2 x y 故所求的圆的
方程为：(x 3 2) 2(3 3 2 1) 0
即 2 7
2
7x y ＋7 x ＋y ＝０。
2+y2+6x 4=0 和x2+y 2+6y 28=0 的交点,并且圆心在直线x y 4=0 上的圆的方程.
练习：求经过两圆x
2 2 2 2
1 解: 构造方程x +y +6x 4+λ(x +y +6y 28)=0
2+(1+ λ)y2+6x+6 λy (4+28λ)=0
即(1+λ)x
3 3
此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)
( ,
1 1
3 3
当该圆心在直线x y 4=0 上时,即 4 0,7.
得
1 1
2 2
∴所求圆方程为x
+y x+7y 32=0
2 2 切于且过的圆的方程
练习x y x y 20 A B
:求与圆 4 2 0 ( 1,3), ( 2,0)
.
解：过A( 1,3) 3x 4y 15 0。
与已知圆构造圆系
的圆的切线为
2 x
2
y 4x 2y 20 (3x 4y 15) 0，
代入( 2,0)
得8
7
,所以所求圆方程为
7 2 x 7 2 y 4x 18y 20 0.
2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：
例2（1）：求过两圆 2 2 5
x y 和
2 2
( x 1) ( y 1) 16的交点且面积最小的圆的方程。
分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。
自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。
为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。
则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
解：圆 2 2 5
x y 和
2 2
(x 1) ( y 1) 16的公共弦方程为2x 2y11 0。