高考物理母题解读(五)万有引力和航天1
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考母题解读
高考题千变万化，但万变不离其宗。
千变万化的新颖高考题都可以看作是由母题衍生而来。
研究高考母题，掌握母题解法规律，使学生触类旁通，举一反三，可使学生从题海中跳出来，轻松备考，事半功倍。
母题1、万有引力定律 【解法归纳】
1. 万有引力定律揭示了自然界中一切物体之间普遍存在的一种相互作用，解释了重力产生的原因和天体运动的原因。
2. 在地面附近，若不考虑地球自转，地球对物体的万有引力等于物体重力，G 2Mm
R
=mg ，重力加速度g=GM/R 2。
若测得地面附近的重力加速度和地球半径R ，可得地球质量M=gR 2/G.。
.
典例：（2012·新课标理综）假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。
一矿井深度为d 。
已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。
矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 A.R d -
1 B. R d +1 C. 2)(R d R - D. 2
)(d
R R -
【针对训练题精选解析】
1.（2012·福建理综）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v 。
假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N ，已知引力常量为G,，则这颗行星的质量为
A ．mv 2/GN
B ．mv 4/GN ．
C ． Nv 2/Gm ．
D ．Nv 4/Gm .
2. （2012年开封二模）“奋进”号宇航员斯蒂法尼斯海恩•派帕在2008年11月18日进行太空行走时，丢失了一个工具包，关于工具包丢失的原因可能是
3. A. 宇航员松开了拿工具包的手，在万有引力作用下工具包“掉”了下去
4. B. 宇航员不小心碰了一下“浮”在空中的工具包，使其速度发生了变化
5. C. 工具包太重，因此宇航员一松手，工具包就“掉”了下去
6. D. 由于惯性，工具包做直线运动而离开了圆轨道
2.答案：B解析：宇航员太空行走时宇航员和工具包都处于完全失重状态，二者相对静止。
工具包丢失的原因可能是宇航员不小心碰了一下“浮”在空中的工具包，使其速度发生了变化，选项B正确。
3．（2012湖南2月联考）有密度相同的两颗行星A和B，已知A星的表面重力加速度是B星表面重力加速度的2倍（忽略行星自转的影响），则下列说法正确的是（）A．两行星A、B的质量之比为8∶1
B．两行星A、B的半径之比为2∶1
C．两行星A、B的第一宇宙速度之比为1∶2
D．两行星A、B的第一宇宙速度之比为2∶1
4．（2012年2月济南检测）如右图所示，从地面上A 点发射一枚远程弹道导弹，假设导弹仅在地球引力作用下，沿ACB 椭圆轨道飞行击中地面目标B ，C 为轨道的远地点，距地面高度为h 。
已知地球半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G 。
则下列结论正确的是A ．导弹在C 点的速度大于
)
(h R GM +
B ．导弹在
C 点的速度等于 ()3h R GM +C ．导弹在C 点的加速度等于2)(h R GM
+
D ．导弹在C 点的加速度大于
2
)(h R GM
+
地球半径 R=6400km 月球半径
r=1740km 地球表面重力加速度 g 0=9.80m/s 2 月球表面重力加速度 g ′=1.56m/s 2 月球绕地球转动的线速度
v=1km/s
A
B R
C h 地球 M
5．（2013年3月吉林二模）某同学在学习中记录了一些与
地球、月球有关的数据资料如表中
所示，利用这些数据来计算地球表
面与月球表面之间的距离s，则下列运算公式中正确的是
A．c
t
2
B．
vT
2π－
R－r
C．
v2
g′－R－r
D．
3g
R2T2
4π2
－R－r
6．（2010上海物理）如图，三个质点a、b、c质量分别为
m
1
、m2、M（M >> m1，M >> m2）.在C的万有引力作用下，a、b
在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之
比r a:r b=1:4,则它们的周期之比T a:T b=______;从图示位置开
始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次。
月球绕地球转动周期T=27.3天
光速c=2.998×105km
/s
用激光器向月球表面发射激光光束，经
过约t=2.565s接收到从月球表面反射
回来的激光信号
【解析】根据r T m r 22
24Mm G π=，得GM
r T 3
24π=
,所以T a :T b =3a r :3b r =1:8。
在b 运动一周的过程中，a 运动8周，所以a 、b 、c 共线了8次。
【答案】1:8 8
【点评】此题考查万有引力定律、匀速圆周运动和圆周运动中的追击相遇问题。
7. （2008·海南物理）一探月卫星在地月转移轨道上运行，某一时刻正好处于地心和月心的连线上，卫星在此处所受地球引力与月球引力之比为4∶1．已知地球与月球的质量之比约为81∶1，则该处到地心与到月心的距离之比约为 . 答案：9∶2
解析：由万有引力定律，F 1=G 211r m M ，F 2=G 22
2r m
M ，又F 1∶ F 2=4∶1，M 1∶M 2=81∶1．联立解得r 1∶r 2=9∶2．
8.（2012·全国理综）一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k 。
设地球的半径为R 。
假定地球的密度均匀。
已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d 。
9.（2009·全国理综2）如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。
如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。
重力加速度在原坚直方向（即PO 方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。
为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P 点附近重力加速度反常现象。
已知引力常数为G 。
（1） 设球形空腔体积为V ，球心深度为d （远小于地球半径），PQ =x ，求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常
（2） 若在水平地面上半径L 的范围内发现：重力加速度反常值在δ与k δ（k>1）之间变
化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L 的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
解析：.（21分）
（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。
因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力 g m r Mm
G
∆=2
① 来计算，式中m 是Q 点处某质点的质量，M 是填充后球形区域的质量，
M=ρV ② 而r 是球形空腔中心O 至Q 点的距离 22x d r += ③
g ∆在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小。
Q
点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向，重力加速度反常'g ∆是这一改变在竖直方向上的投影 g r
d
g ∆=
∆' ④ 联立①②③④式得 2
/322)('x d Vd
G g +=
∆ρ ⑤
9.（2012年3月福建福州质检）在福建省科技馆中，有一个模拟万有引力的装置。
在如图1所示的类似锥形漏斗固定的容器中，有两个小球在该容器表面上绕漏斗中心轴做水平圆周运动，其运行能形象地模拟了太阳系中星球围绕太阳
的运行。
图2为示意图，图3为其模拟的太阳系运行图。
图2中离中心轴的距离相当于行星离太阳的距离。
（1）在图3中，设行星A1和B2离太阳距离分别为r1和r2，求A1和B2运行速度大小之比。
（2）在图2中，若质量为m的A球速度大小为v，在距离中心轴为x1的轨道面上旋转，由于受到微小的摩擦阻力，A球绕轴旋转同时缓慢落向漏斗中心。
当其运动到距离中心轴为x2的轨道面时，两轨道面之间的高度差为H。
求此过程中A球克服摩擦阻力所做的功。