电子科技大学二零零 七 至二零零 八 学年第 1 学期期 末 考试
量子力学 课程考试题 A 卷 （ 120 分钟） 考试形式： 闭卷 考试日期 200 8年 月 日
课程成绩构成：平时 20 分， 期中 10 分， 实验 0 分， 期末 70 分
一、填空（每空2分，共30分） 1、德布罗意关系为：
k
p E
==ω。
（没有写为矢量也算正确）
2、量子力学的状态由 波函数 描述，在体系空间r 点处小体积元d τ内粒子出现的几率与 波函数模的平方 （|Ψ|2） 成正比。
3、非简并状态加上微扰后，能级会发生 移动 ；而简并状态加上微扰后，能级会发生 分裂 。
4、任意两个力学量A 和B 有共同的本征函数，则]ˆ,ˆ[B A
= 0 ，表明A ˆ和B ˆ 对易 。
5、力学量F 的算符是 厄密 算符，其本征函数系组成 正交归一完备系 。
6、费米子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换反对称 ，玻色子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换对称 。
7、泡利不相容原理指 任何两个全同费米子不能处于完全相同的状态 。
8、一维线性谐振子的量子数取n 的波函数为ψn (x)，其定态薛定谔方程为
)()()2
2(2222x E x x k dx d m n n n ψψ=+- ，与ψn (x)相对应的能量为ω )2/1(+n 。
9、粒子处于三维无限深势阱中，能量为)(22
322212
2
2n n n ma E ++=
π，能量最低的三个能态的简并度分别
为 1，3，3 。
（答对1或2个给1分，3个全对给2分） 二、简答题（每小题5分，共20分） 1、写出至少五个力学量的算符。
∇-=====
i p r r z z y y x x ,,,, （任意5个，正确一个1分）
2、简述测不准原理及其意义。
（答对1或2个给1分，3
个全对给2分）
测不准原理：粒子的坐标和动量不可能同时准确测量。
2/ ≥∆⋅∆x p x （3分) （更一般意义上，对于力学量A 和B ，若A 和B 不可对易，且C i B A
=],[，
则存在测不准关系： 2/C B A ≥∆⋅∆ ）
意义：波粒二象性的反映；反映了把经典概念用于微观世界所受到的限制。
（2分） 3、什么是斯塔克（Stark ）效应？试用微扰理论解释斯塔克效应。
斯塔克（Stark ）效应是指：原子在外电场作用下，它所发射的光谱谱线
会发生分裂。
（2分）
解释：不考虑自旋时，氢原子n ＝2的能级4度简并，电子从E 2能级跃
迁到E 1能级只产生一条谱线。
当受到外加电场作用后，4度简并的E 2能级发生分裂形成3个能级，从而形成3条光谱谱线。
（3分）
4、计算对易子],
[dx
d x 。
假设ψ为任意一个波函数，（2分）
ψψψψ-=-=)(],
[x dx
d
dx d x dx d x （2分） 所以 1],[-=dx d
x （1分）
三、计算题（1，2，3题每题15分，4题5分，共50分）
1、氢原子处于状态),()(3),()(),,(1,1210,020ϕθϕθϕθψ-+=Y r R Y r R r ，试求： （1）能量算符H
，角动量平方算符2
L 和角动量z 分量算符z L
的可能取值； （2）上述三个力学量取各可能值的几率； （3）上述三个力学量的平均值。
该波函数未归一化，首先归一化。
假设归一化波函数为)],()(3),()([),,(1,1210,020ϕθϕθϕθψ-+=Y r R Y r R A r 则有：A 2（1＋3）＝1，所以 A ＝1/2 归一化波函数为)],()(2
3),()(21),,(1,1210,020ϕθϕθϕθψ-+=
Y r R Y r R r （2分） （1） 能量算符的可能取值：E 2 （1分）
角动量平方算符的可能取值：0，2
2 （2分，每个1分） 角动量z 分量算符的可能取值：0， - （2分，每个1分）
E 1
E 2
（2） 能量算符取E 2的几率：1 （1分）
角动量平方算符取0的几率： 1/4 （1分） 取22 的几率：3/4 （1分）
角动量z 分量算符取0的几率：1/4 （1分） 取 -的几率： 3/4 （1分）
（3） 能量平均值： E 2 （1分）
角动量平方平均值： 2
23 （1分） 角动量z 分量平均值： 4
3
- （1分）
2、粒子在势能为
⎝⎛>≤≤<=)
()0(0)0()(00
a x V
a x x V x V 的势阱中运动，粒子的能量E<V 0
，写出以上三个区域的定态
薛定谔方程和波函数的通解。
对于图中的三个区域，各个区域的定态薛定谔方程分别为：
①区间： 11012
2
22ψψψE V dx d m =+-
（2分） ②区间： 222
2
22ψψE dx d m =- （2分） ③区间： 33032
2
22ψψψE V dx
d m =+- （2分） 分别求解各个区间的定态薛定谔方程，可以得到：
x k x k e A e A 1
1
211+=-ψ x ik x ik e B e B 22212+=-ψ x k x k e C e C 11213+=-ψ （每个2分）
其中，
2
021/)(2 E V m k -=
222/2 mE k =
根据波函数有限的条件可以得到各个区间波函数的通解：
x k e A 1
21=ψ x ik x ik e B e B 22212+=-ψ x k e C 113-=ψ
（每个1分）
3、运动的粒子处于⎩
⎨
⎧<≥-=000
)exp(x x x Ax λψ所描述的状态，其中λ>0。
求：
（1）归一化常数A ；
（2）在何处发现粒子的几率最大； （3）动量的平均值。
0 a
V 0
① ② ③
谢谢您的观赏
（1
!
+∞
-=
⎰
m ax
m a
m dx e
x ） （1）归一化：
10
222
=⎰∞
-dx e x A
x λ （3分） 2/32λ=A （2分）
（2）粒子在空间出现的几率密度为：x
e
x x W λλψ22
3
2
4||)(-== （2分）
0)(=x W dx d 解得 λ
1
,,0321=∞==x x x （2分） 根据物理意义，粒子出现几率最大位置：λ
1
3=x （1分）
（3）动量的平均值：
]3
)2(!
2)2(1[][][)(),(2
20
2222
=--=--=--=
-=⎰⎰∞
+--∞
+---λλλλλψψλλλλλA i dx e x xe A i dx
xe e A i Axe
dx
d i p x x x x x
（中间过程，2分）
（答案1分）
4、粒子处于状态：)cos()(kx A x =ψ，求粒子的平均动量和平均动能。
)(22
)
21
21(22)2()cos()(//k k kx i kx i ikx ikx A e e A e e A kx A x ---+=+=+==φφππππψ
其中，k φ和k -φ是动量的本征函数
归一化：1)11()22
(2=+ πA
所以 π/1=A )(22)(k k x -+=φφψ （3分） 动量平均值：0)(2
1
21=-+=k k p （1分）
动能平均值：m
k m k m k T 2212)(212)(2
222 =⋅-+⋅= （1分）
（2分）。