,
f
( x)]
=
?
解：
[
pˆ x
,
f
( x)]
=
−i=
∂f (x) ∂x
，
[ pˆ x2
,
f
( x)]
=
−= 2
∂2 f (x) ∂x 2
−
2i=
∂f (x) ∂x
px
。
− 1α2 x2
4. 质量为 m 的粒子处于能量为 E 的本征态，波函数为ψ (x) = Axe 2 ，问粒子在什么样的位势中运
动？
x → ∞ , V (x) → 0 ）；
( b ) 该势与轨道角动量为 l 的氢原子态的径向势有何异同?
=2 解:( a ) E = − 2mx02
V (x)
=
=2 2m
⎡ n (n −1)
⎢ ⎣
x2
−
2n ⎤
x0
x
⎥ ⎦
( b ) 氢原子有效径向势为
6
量子力学复习题答案（安徽大学）
V (r) = − e2 + = 2 l (l + 1) ， r 2m r 2
ψ (x,t) =
k =0
8
30 l
⋅
(2k
1 + 1)3π
3
sin
(2k
+ l
1)π
x ⋅ e −i (2k +1)2π 2= t
2ml2
9. 考虑如下一维波函数
ψ
(x)
=
A ⎜⎜⎝⎛
x x0
⎟⎟⎠⎞
n
e −x / x0
其中 A、n、x0 为已知常数。
( a ) 利 用 S.eq 求 位 势 V (x) 和 能 量 E 。 对 于 它 们 ， 该 波 函 数 为 一 本 征 函 数 （ 已 知 当
V (x)
=
−
n= 2 mx0 x
+
=2 2m
n (n −1) x2
10. 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 在 势 V (x) 作 用 下 作 一 维 运 动 。 假 定 它 处 在 E = =2α 2 的 能 量 本 征 态 2m
ψ
(
x)
=
⎛ ⎜ ⎝
α2 π
⎞1/ ⎟
4
e−γ
2x2
⎠
2，
（ a ）求粒子的平均位置； （ b ）求粒子的平均动量；
解：相互不对易的力学量可以有共同的本征态。例如： Lx , Ly , Lz 相互不对易，但ψ = Y00 (θ ,ϕ ) =
1 4π
就是它们的共同本征态，本征值皆为 0。
二、计算证明题
1. 计算下列对易式：
⎡ (1) ⎢ x ,
⎣
d⎤
d
x
⎥ ⎦
=
?
解：(1)-1 （2） 2x 。
（2）
⎡ ⎢
⎣
d dx
解：（ S 2 , S z ）的归一化本征态记为 χ SMS ，则
自旋单态为
χ00 =
1 [α(1)β (2) − β (1)α(2)]
2
自旋三重态为
⎧χ11 = α (1)α (2)
⎪⎪ ⎨
χ10
=
⎪
1 [α(1)β (2) + β (1)α (2)]
2
⎪⎩χ1−1 = β (1)β (2)
19. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
2
量子力学复习题答案（安徽大学）
( ) 解： L2 , L z 的共同本征函数是球谐函数Ylm (θ ,ϕ) 。
L2Ylm (θ ,ϕ) = l(l + 1)= 2Ylm (θ ,ϕ ) , LzYlm (θ ,ϕ ) = m=Ylm (θ ,ϕ)
15. 写出电子自旋 s z 的二本征态和本征值。
3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ψ (r,θ ,ϕ ) ，写出粒子在立体角 dΩ 中被测到的几率。
∞
解： P = dΩ∫ ψ (r,θ ,ϕ ) 2 r 2dr 0
4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ψ (r,θ ,ϕ ) ，写出粒子在球壳 ( r , r + dr ) 中被测到的几率。
π
2π
解： P = r 2dr∫ sinθdθ ∫ ψ (r,θ ,ϕ ) 2dϕ
=
⎜⎜⎝⎛
0 1
1 0
⎟⎟⎠⎞
,
σy
=
⎜⎜⎝⎛
0 i
−i 0
⎟⎟⎠⎞
,
σ z = ⎜⎜⎝⎛10 −01⎟⎟⎠⎞
12. 电子自旋假设的两个要点。
解：（1）电子具有自旋角动量
K s
，它在空间任意方向的投影只有两个取值：
±
=
2；
K （2）电子具有自旋磁矩 M ，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的 2 倍，即
解：
ψ
′(0 +
)
−ψ
′(0 −
)
=
−
2mγ =2
ψ
(0)
10. 何谓几率流密度？写出几率流密度 Kj（rK , t） 的表达式。
解：单位时间内通过与粒子前进方向垂直的单位面积的几率称为几率流密度。
( ) K
j(r ,
t)
=
−
i=
ψ *∇ψ −ψ∇ψ *
2m
11.
写出在 σ
表象中的泡利矩阵。
z
解：σ x
gs
内禀磁矩 = 自旋
= e = 2 ⎜⎛取 e 为单位⎟⎞
mc ⎝ 2mc
⎠
gl
=
轨道磁矩 轨道角动量
= e =1 2mc
13. 量子力学中，一个力学量 Q 守恒的条件是什么？用式子表示。 解：有两个条件： ∂Q = 0 , [Q , H ] = 0 。
∂t 14.（L2 , L z）的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？
ψ
nxnynz
(x,
y,
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩0
8 abc ,
sin
nxπx a
sin
nyπ b
y
sin
nzπ c
z
, 0 < x < a,0 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
n = 1, 2,3,""
9. 粒子在一维 δ 势阱
V (x) = −γ δ (x) (γ > 0)
中运动，波函数为ψ (x) ，写出ψ ′(x) 的跃变条件。
3
量子力学复习题答案（安徽大学）
或 a+ 、a 表示的式子； N （亦即 H ）的归一化本征态。
解：
[a , a+ ] = 1, N = a+a , n = 1 (a+ )n 0
n!
H = ⎜⎛ a + a + 1 ⎟⎞ = ⎜⎛ N + 1 ⎟⎞
⎝
2⎠ ⎝ 2⎠
21. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？两种 表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？
解：
E111
=
π 2=2 2m
⋅
3 a2
= 1.8 ×10−8 J 。
6．设粒子处于一维无限深势阱
V
(x)
=
⎧ ⎨ ⎩
0, ∞,
0< x<a x<0 或 x>a
中，求处于定态ψ n (x) 中的粒子位置 x 的平均值。
5
量子力学复习题答案（安徽大学）
解： x = a 。 2
7. 一 个 谐 振 子 处 于 基 态 ： ψ (x,t) =
22. 使用定态微扰论时，对哈密顿量 H 有什么样的要求？
23. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。 24. 何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？ 25. 给出光学定理的表达式。光学定理的意义何在？ 26. 散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？ 解：高能粒子散射宜采用玻恩近似方法处理；低能粒子散射宜采用分波法处理。 27. 对于阶梯形方势场
,
x2
⎤ ⎥
=
?
⎦
2. 一维运动中，哈密顿量 H = p 2 + V (x) ，求 [x , H ] = ? [p , H ] = ?
2m
解： [x , H ] = = 2 d ，
m dx
[p , H ] = −i= d V (x) 。
dx
3. 计算：[ pˆ x , f (x)] = ?
[
pˆ
2 x
∑ ψ (x) = cnψ n (x) ， n
写出展开式系数 cn 的表达式。
解：
∫ cn = (ψ n (x) ,ψ (x)) =
ψ
* n
(
x)ψ
(
x)
dx
。
29.
一个电子运动的旋量波函数为
ψ
(
K r
,
sz
)
=
⎜⎜⎝⎛ψψ
( (
K r
,
=
K r
,
−
2)
=2
)⎟⎟⎠⎞
，写出表示电子自旋向上、位置在
K r
( ) 解： V (x) = E + =2 ⋅ψ ′′(x)
=2 =E+
α 4 x 2 − 3α 2
2m ψ (x)
2m
5. 一电子局限在 10-14米的区域中运动。已知电子质量 m = 9.11 × 10-31千克，试计算该电子的基态能量（提