高一数学辅导资料内容：圆与方程
本章考试要求
考试内容
要求层次A B
C 圆与方程
圆的标准方程与一般方程√
直线与圆的位置关系√
两圆的位置关系
√
用直线和圆的方程解决简单的问题
√
空间直角坐标
系
空间直角坐标系
√空间两点间的距离公式
√
一、圆的方程【知识要点】
1.圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)
0()
()(2
2
2r
r b y a x 0b a 时，圆心在原点的圆的方程为：2
22r y x .
2.圆的一般方程02
2
F
Ey Dx y
x ，圆心为点,
2
2
D E ，半径2
2
42
D
E F
r
，
其中042
2
F
E
D .
3.圆系方程：过圆1
C ：22
1110x y
D x
E y
F 与圆2
C ：2
2
2220
x y D x E y F 交点的圆系方程是222
2
111222
0x y D x E y F x
y
D x
E y
F （不含圆2C ）,
当
1时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.
【互动探究】
考点一求圆的方程
问题1．求满足下列各条件圆的方程：
1以两点(3,1)A ，(5,5)B 为直径端点的圆的方程是2求经过)2,5(A ，)2,
3(B 两点，圆心在直线32y
x
上的圆的方程；
3过点4,1A 的圆C 与直线10x y 相切于点2,1B ，则圆C 的方程是?
考点二圆的标准方程与一般方程
问题2．方程222
221
0x y ax ay a
a 表示圆，则a 的取值范围是
考点三轨迹问题
问题3.点4,2P 与圆2
2
4x
y
上任一点连线的中点轨迹方程是
问题4．设两点3,0A ，3,0B ，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为2，求P 点的轨迹.
二、直线和圆、圆与圆的位置关系
【知识要点】
1.直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆的半径为r ，圆心C 到直线l 的距离为d ,则直线与
圆的位置关系满足以下关系：2.直线截圆所得弦长的计算方法：利用垂径定理和勾股定理：
2
2
2AB
r
d （其中r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离）.
3.圆与圆的位置关系：①设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足关系：位置关系外离外切相交内切内含
几何特征d R r
d R r R r d R r d R r 0d R r 代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解②设两圆0:1
112
2
1F y E x D y
x C ，0:2222
2
2F y E x D y
x
C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程
是
4.相切问题的解法：
①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解
②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为1（或一条直线存在斜率，另一条不存在）③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0来求解.
特殊地,已知切点),(00y x P ,圆2
22r y x 的切线方程为 . 圆2
2
2
)
()
(r b y a x
的切线方程为
【互动探究】
考点一直线与圆的位置关系
问题1:1已知圆22
:40C x y x
，l 过点(3,0)P 的直线，则
.A l 与C 相交.B l 与C 相切
.C l 与C 相离.D 以上三个选项均有可能
2直线l ：1mx
y m 与圆C ：2
2
1
1x y 的位置关系是
.A 相离
.B 相切.C 相交
.D 无法确定，与m 的取值有关.
3过点1,3P 引圆2
2
44100x
y
x y 的弦，则所作的弦中最短的弦长为
.A 22.B 4
.C 8.D 42
4求圆心为1,2且与直线51270x y 相切的圆 .
考点二
直线与圆相切的有关问题问题2．1
圆042
2
x y
x
在点)3,1(P 处的切线方程为2过点2,3P 的圆2
2
4x
y
的切线方程是
位置关系相切相交相离几何特征d r d r d r 代数特征
0△0△0
△
3过直线22
0x
y 上点P 作圆2
2
1x
y
的两条切线，若两条切线的夹角是60，
则点P 的坐标是考点三
直线与圆相交时的弦长问题
问题3．已知圆C 方程为：42
2
y
x .直线l 过点1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若23AB
，
求直线l 的方程.
问题4．已知直线l ：283
0mx y m 和圆2
2
:612200C x y
x y ；
1m
R 时，证明l 与C 总相交；2m 取何值时，l 被C 截得弦长最短，求此弦长.
考点四圆与圆的位置关系
问题5．1）圆4)
2(2
2
y
x 与圆9)
1()
2(2
2
y x
的位置关系为
.A 内切
.B 相交.C 外切
.D 相离
2（2013重庆）已知圆2
2
1:23
1C x y ，圆2
2
2:3
4
9C x y ，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴
上的动点，则PM PN 的最小值为.A 52
4
.B 17
1.C 622
.D 17
问题6．已知圆1C ⊙：2
2
228
0x y
x
y 与2C ⊙：2
2
210240
x
y
x y 相交于,A B 两点，
1求公共弦AB 所在的直线方程；2求圆心在直线y x 上，且经过,A B 两点的圆的方程；
【巩固训练】1.圆2
2
46110x
y
x y 的圆心和半径分别是2.已知圆2
2
244
0x y
x
y
关于直线2y
x
b 成轴对称，则b
3.圆5)2(2
2
y x 关于原点0,0对称的圆的方程为4.圆2
2
269
0x
y
x
y
关于直线25
0x y 对称的圆的方程是5.两个圆1C ：2
2
222
0x y x
y 与2C 2
2
4210x
y
x y 的公切线有且仅有
6.圆0
10
442
2
y x y
x
上的点到直线014y x 的最大距离与最小距离的差是
7.若)1,2(P 为圆25)
1(2
2
y
x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是8.由直线1y x 上的一点向圆2
2
(3)
1x y
引切线，则切线长的最小值为
9.直线y x 被圆2
2
2
4x
y
截得的弦长为
10.圆2
2
243
0x
y
x y 上到直线10x y 的距离为
2的点共有
个
11.由点0,1P 引圆2
2
4x
y
的割线l ，交圆于,A B 两点，使AOB △的面积为
2
7（O 为原点），求直线l 的方程.
12.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C ：x 2＋y 2
－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB
的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积．。