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§1.1数学问题
数学教学中的问题一般分为练习型 与研究型两类。
练习型的问题具有教学性，它的结 论为数学接或教师所已知，其之所以成 为问题仅相对于教学或学生而言。
研究型问题具有学术性，它的结构 对于数学家或教师都是未知的，其中既 有数学自身理论发展的认知题，又有应 用数学理论解决实际问题的应用题。
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§1.2数学问题的解决
1）数学问题解决的涵义
数学领域中的问题解决，有三个层次： 一般性解决：即基本逻辑水平上的解决，它力求
明确解题的大体方向； 功能性解决：即基本数学方法水平上的解决，它
力求明确解题所用的基本思想方法； 特殊性解决：即具体的解决，它力求明确解题的
具体方法、技巧和程序。 （一般性和功能性是特殊性解决的基础）
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§1.1数学问题
问题是指那些对于解答者来说还没 有具备直接的解决办法，对于解答者构 成认知上的挑战这样一种局面。
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§1.1数学问题
“一个（数学）问题是一个对人具 有智力挑战特征的，没有现成的直接方 法、程序或算法的未解决的情景”。
这是1988年第一届国际数学教育大 会的一份报告中提出的。
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§1.2数学问题的解决
2）数学问题解决的方法涵义
所谓的方法，就是找到一个解决问 题的途径，且能够预见甚至能够证明， 照这个途径做下去就一定可以取得成功。
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§1.2数学问题的解决
2）数学问题解决的方法涵义
问题的一个解法应包括如下四个部分： ①对已知条件的完整认识，即给出问题的唯一初
始状态，从这一状态出发经过一系列运算可以 推导出目标； ②说明所用的运算，即公式、法则、定义、公理、 定理等理论依据； ③从初始状态到目标状态为止的按顺序排好的一 个问题状态序列，使得序列中的每一个状态都 能在对前面的状态应用适当运算以后得到； ④完整说明目标，既对问题结论的完整描述。
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§1.3.1数学解题的意义
从数学学科的教育与学习来看，也 就是说从掌握数学来看，著名的美国数 学家和教育家G.波利亚指出：“掌握数 学意味着什么？这就是说善于解一些标 准的题，而且善于解一些要求独立思考、 思路合理、见解独到和有发现创造的 题。”
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§1.3.1数学解题的意义
波利亚认为，任何学问都包括知识 和能力这两个方面。
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§1.1数学问题
数学问题可按照多种不同的标准进行分类。 本讲所说的分类仅是面对教学方面而言.如
按知识内容分类（算术题、代数题、平面几何 题、立体几何题、解析几何题和三角题等）；
按解题形式分类（常见求解题、证明题或说明 题、变换题或求作题、填空题等四类）；
按评判解答的客观性分类（客观性问题常分为 判断题、选择题、填充题和简短问答题；主观 性问题如证明题、计算题等）；
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§1.2数学问题的解决
1）数学问题解决的涵义
问题解决都是以思考为内涵，以问 题目标定向的心理活动或心理过程，即 指人们在日常生活和社会实践中，面临 新情境、新课题，发现它与主客观需要 矛盾而自己却没有现成对策时，所引起 的寻求处理办法的一种活动，这是一个 发现的过程、探索的过程、创新的过程， 具有某种程度的创造性。
对于数学，能力比起仅仅具有一些 知识来，要重要得多，那么在数学学科 中，能力指的是什么？波利亚说：“这 就是解决问题的才智——我们这里所指 的问题，不仅仅是寻常的，它们要求人 们具有某种程度的独到见解、判断力、 能动性和创造精神。”
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§1.3.1数学解题的意义
波利亚把“解题”作为培养学生的 数学才能和教会他们思考的一种手段和 途径，这种思想得到了国际数学教育界 的广泛赞同，1976年国际数学管理委员 会把解题能力列为十项基本技能的首位。
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§1.3.1数学解题的意义
通过解题可以使学习者独立地、积极地进 行认知活动，深入地理解数学概念，全面系统 地掌握数学基础知识，实际地学习数学的本质、 精神、思想，切实地掌握解数学题的方法的基 本技能和技巧，（例如善于运用某种方法、手 段改变数学问题的情况；善于构想新的解题手 段和解题思路；善于区分和积累可能有益的资 料；善于在原有题目和解法的基础上，联想构 造出新的题目和解题方法；善于自我测验以及 对解题进行讨论，等等），
数学解题学研究
广西师范大学数学科学学院 龙开奋
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§1 数学问题
什么是数学中的问题？ 波利亚在《数学的发现》中将问题
理解为：有意识地寻求某一适当的行动， 以便达到一个被清楚地意识到但又不能 立即达到的目的。 解决问题指的是寻找这种活动。
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§1.1数学问题
波利亚在《怎样解题》中说：我们 考虑的所有形式的问题都可以认为由三 类信息组成：关于已知条件的信息（已 知表达式）；关于运算的信息，这些运 算从一个或多个表达式推导出一个或多 个新的表达式；以及关于目标的信息 （目标表达式）。
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§1.3.1数学解题的意义
从而有效地培养运算能力，逻辑思 维能力和空间想象能力，以形成运用数 学知识来分析和解决社会生活、经济建 设和科学技术中的实际问题的能力，以 便适应现代化生产的多样性和变化性， 从事创造性劳动。
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§1.3.2数学解题研究观
数学解题研究的中心内容是什么 1.从科学研究的方法论来看 2.从数学解题实践来看
按思维程度分类（常分为规范程度和发展程度 等，而规范程度可分为常规与非常规题；发展 程度可分为封闭型题与开放型题）。
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§1.1数学问题
在数学解题教学中，封闭型题与开 放型题具有解题训练的互补作用，两者 均不可偏废，封闭型题一般用于巩固知 识，主要引起“同化”作用；而开放型 题则使主体容易暴露知识的缺陷，主要 引起“顺应”作用，促进解题能力的提 高。
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§1.1数学问题
无论怎么提法，都具有同样的本质：问题 反映了现有水平与客观需要的矛盾。问题就是 矛盾，对于学生而言，问题主要具有如下三个 特点： 1、可接受性：给出的问题学生具有解决它的 知识基础和能力基础，即课本习题。 2、障碍性：学生不能直接将问题解答，必须 通过思考或多次尝试，才能解决的问题。 3、探究性：学生不能按照常规的套路来解决， 必须进一步发掘、探索和研究，寻找出解决问 题的新途径。