初中数学思想之整体思想
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．
一．数与式中的整体思想
【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( )
A ．18
B ．12
C ．9
D ．7
【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab
---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.
125 D.27-
【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．
二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想
【例4】已知24122x y k x y k +=+⎧⎨
+=+⎩
，且03x y <+<，则k 的取值范围是 【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56
x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，
y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩
的解为为 【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+
三．函数与图象中的整体思想
【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式
四．几何与图形中的整体思想
【例8】．如图， 123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=
【例9】．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4，
P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合）
，且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则
图中阴影部分的面积为 ．
【例10】．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的
中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小
关系，并说明理由．
【巩固练习】：
1．当代数式a -b 的值为3时，代数式2a -2b+1的值是 ( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2．用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x 2+x)－1=0，若设y=x 2+x ，则原方程可变形为 ( )
A ．y 2+2y+1=0
B ．y 2－2y+1=0
C ．y 2+2y －1=0
D ．y 2－2y －1=0
3．当x=1时，代数式a x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式a x 3+bx+7的值为
( )
A ．7
B ．10
C ．11
D ．12
4．若方程组31,33x y k x y +=+⎧⎨+=⎩
的解x ，y 满足0<x+y<1，则k 的取值范围是 ( ) A ．－4<k<0 B ．－1<k<0 C ．0<k<8 D ．k>－4
5．(08芜湖)已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y
----的值为_________．
6．已知x2－2x－1=0，且x<0，则
1
x
x
-=__________
．
7．如果(a2+b2) 2－2(a2+b2)－3=0，那么a2+b2=_________．
8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．
9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．10．(07泰州)先化简，再求值：2
22
412
4422
a
a a a a a
⎛⎫
-
-÷
⎪
-+--
⎝⎭
，其中a是方程x2+3x+1=0的根．
11.(08苏州)解方程：
()2
2
211
60
x x
x x
++
+-=
．。