第一节集合考纲下载1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示2.集合间的基本关系BAB 3.集合的基本运算4.集合的运算性质(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；(4)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .1．集合A ＝{x |x 2＝0}，B ＝{x |y ＝x 2}，C ＝{y |y ＝x 2}，D ＝{(x ，y )|y ＝x 2}相同吗？它们的元素分别是什么？提示：这4个集合互不相同，A 是以方程x 2＝0的解为元素的集合，即A ＝{0}；B 是函数y ＝x 2的定义域，即B ＝R ；C 是函数y ＝x 2的值域，即C ＝{y |y ≥0}；D 是抛物线y ＝x 2上的点组成的集合．2．集合∅，{0}，{∅}中有元素吗？∅与{0}是同一个集合吗？提示：∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅与{0}不是同一个集合．3．对于集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A，B有什么关系？提示：A＝B.假设A≠B，则A∩B A∪B，与A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B.4．A∩B＝∅的充要条件是A＝B＝∅吗？提示：不是．A＝B＝∅⇒A∩B＝∅；A∩B＝∅⇒/ A＝B＝∅.5．若A中含有n个元素，则A有多少个子集？多少个真子集？提示：有2n个子集，2n－1个真子集．1．(A.广东高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( ) A．{0,1} B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2} D．{－1,0,1}解析：选C M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．2．(A.北京高考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}解析：选C ∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，∴A∩B＝{0,2}，故选C.3．(教材习题改编)设A＝{－1,1,5}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{5}，则实数a的值为( )A．3 B．1C．±1 D．1或3解析：选D 因为A∩B＝5，所以a＋2＝5或a2＋4＝5.当a＋2＝5时，a＝3；当a2＋4＝5时，a＝±1，又a＝－1时，B＝{1,5}，而此时A∩B＝{1,5}≠{5}，故a＝1或3.4．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.答案：75．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为__________．解析：阴影部分是A∩∁R B.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁R B＝{x|x≥1}，所以B＝{x|1≤x＜2}．A∩∁R答案：{x|1≤x＜2}[例1] (1)(A.杭州模拟)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y ∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3C．5 D．9(2)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a构成的集合B 的元素个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[自主解答] (1)①当x＝0时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为1,0，－1；③当x＝2时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为2,1,0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1,0,1,2，共5个．(2)①当a＋2＝1时，a＝－1，此时A＝{1,0,1}，不合题意，故a≠－1；②当(a＋1)2＝1时，a＝0或a＝－2.若a＝0，则A＝{2,1,3}，符合题意；若a＝－2，则A＝{0,1,1}，不符合题意；③当a2＋3a＋3＝1时，(a＋1)(a＋2)＝0，即a＝－1或a＝－2.由①②知，不符合题意．综上可知a＝0，即实数a构成的集合B只有1个元素．[答案] (1)C (2)B若将本例(1)中的集合B更换为B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有多少个元素？解：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2. 故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．解决集合的概念问题应关注两点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．如本例(1)中集合B 中的元素为实数x －y ，在“互动探究”中，集合B 中的元素为点(x ，y )．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．1．(A.宁波模拟)已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2015＝________.解析：因为M ＝N ，所以⎩⎨⎧n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎨⎧n ＝m ，log 2n ＝1，即⎩⎨⎧n ＝1，m ＝0或⎩⎨⎧n ＝2，m ＝2.故(m －n )2 015＝－1或0.答案：－1或02．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a ＜0，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为2∈A ，所以2a －12－a ＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A ，则3a －13－a ＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，所以3∉A 时，13≤a ≤3.②由①②可知，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2,3]．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2,3][例2] (1)(A.温州模拟)已知M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0或1或－1(2)已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．[自主解答] (1)因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M .当a ＝0时，N ＝∅，M ＝{0}，满足M ∩N ＝N ；当a ≠0时，M ＝{a }，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a ，所以1a ＝a ，即a ＝±1.故实数a 的值为0，±1.图1(2)当B ＝∅时，只需2a ＞a ＋3，即a ＞3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎨⎧a ＋3≥2a ，a ＋3＜－1图2或⎩⎨⎧a ＋3≥2a ，2a ＞4，解得a ＜－4或2＜a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)． [答案] (1)D (2)(－∞，－4)∪(2，＋∞)根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.1．(A.台州模拟)A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是( )A．{a|a≥2} B．{a|a＞2}C．{a|a≥1} D．{a|a≤1}解析：选A 借助数轴可知a≥2，故选A.2．若集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，集合B＝{1,2}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：①若A＝∅，则Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2；②若1∈A，则12＋a＋1＝0，解得a＝－2，此时A＝{1}，符合题意；③若2∈A，则22＋2a＋1＝0，解得a＝－52，此时A＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2，12，不合题意．综上所述，实数a的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)1．有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题．2．高考对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：(1)离散型数集间的交、并、补运算；(2)连续型数集间的交、并、补运算；(3)已知集合的运算结果求集合；(4)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)．[例3] (1)(A.浙江高考)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( )A．∅ B．{2} C．{5} D．{2,5}(2)(B.浙江高考)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝( )A．(－2,1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)(3)(A.山东高考)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A ∩B＝( )A．[0,2] B．(1,3) C．[1,3) D．(1,4)(4)(A.重庆高考)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B＝________.[自主解答] (1)由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥5}，所以∁U A ＝{x∈N|2≤x＜5}＝{2}．故选B.(2)∁R S＝{x|x≤－2}，又T＝{x|－4≤x≤1}，故(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．(3)|x－1|<2⇔－2<x－1<2，故－1<x<3，即集合A＝(－1,3)．根据指数函数的性质，可得集合B＝[1,4]．所以A∩B＝[1,3)．(4)依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A＝{4,6,7,9,10}，(∁U A)∩B＝{7,9}．[答案] (1)B (2)C (3)C (4){7,9}集合运算问题的常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算．常借助Venn图求解．(2)连续型数集的运算．常借助数轴求解．(3)已知集合的运算结果求集合．借助数轴或Venn图求解．(4)根据集合运算求参数．先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．1．(A.丽水模拟)已知集合M ＝{－1，0,1}，N ＝{0,1,2}，则如图所示的Venn 图中的阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{－1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选C 由图可知，阴影部分为{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }，又M ∪N ＝{－1,0,1,2}，M ∩N ＝{0,1}，所以{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }＝{－1,2}．2．(A.杭州模拟)已知集合A ＝{1,2,3}，B ∩A ＝{3}，B ∪A ＝{1,2,3,4,5}，则集合B 的子集的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 由题意知B ＝{3,4,5}，集合B 含有3个元素，则其子集个数为23＝8.3．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞) 解析：选B A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎨⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43. [课堂归纳——通法领悟]1组转化——集合运算与集合关系的转化在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅，在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程．2种技巧——集合的运算技巧(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．(2)两个有限集合相等，可以从两个集合中的元素相同求解，如果是两个无限集合相等，从两个集合中元素相同求解就不方便，这时就根据两个集合相等的定义求解，即如果A⊆B，B⊆A，则A ＝B.3个注意点——解决集合问题应注意的问题(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．(3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．前沿热点(一)以集合为载体的创新型问题1．以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．2．解决此类问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，将其转化为熟知的基本运算求解．[典例] (B.广东高考)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是( )A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S[解题指导] 先要理解新定义集合S中元素的性质：(1)x，y，z∈X；(2)x ＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立，然后根据已知集合中的两个元素(x，y，z)和(z，w，x)，分别讨论x，y，z，w之间的大小关系，进而检验元素(y，z，w)和(x，y，w)是否满足集合S的性质特征．[解析] 法一(直接法)：由(x，y，z)∈S，则有x＜y＜z，①y＜z＜x，②z＜x＜y，③三个式子中恰有一个成立；由(z，w，x)∈S，则有z＜w＜x，④w＜x＜z，⑤x＜z＜w，⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种，①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第二种，①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第三种，②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第四种，③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.综上所述，可得(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.法二(特殊值法)：不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S.[答案] B[名师点评] 解决本题的关键有以下两点：(1)准确理解集合S的性质：x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立，把已知集合的两个元素和要判断的两个元素中的四个数的大小关系进行分类讨论．(2)紧扣新定义集合的性质，结合不等式的性质，通过分类讨论或特殊值法，把问题转化为熟悉的知识进行求解．有限集合的元素可以一一数出来，无限集合的元素虽然不能数尽，但是可以比较两个集合元素个数的多少．例如，对于集合A＝{1,2,3，…，n，…}与B＝{2,4,6，…，2n ，…}，我们可以设计一种方法得出A 与B 的元素个数一样多的结论．类似地，给出下列4组集合：①A ＝{1,2,3，…，n ，…}与B ＝{31,32,33，…，3n ，…}；②A ＝(0,2]与B ＝[－3，＋∞)；③A ＝[0,1]与B ＝[0,3]；④A ＝{x |－1≤x ≤3}与B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}．其中，元素个数一样多的有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解析：选D 可利用函数的概念将问题转化为判断是否能构造出一个函数，使得其定义域与值域分别是条件中所给的两个集合．①y ＝3x (x ∈N *)；②y ＝1x －72(0＜x ≤2)；③y ＝3x (0≤x ≤1)；④y ＝⎩⎨⎧ －8，x ＝－1，x ＋1，－1＜x ≤0，x 2＋1，0＜x ≤3.综上，元素个数一样多的有4组．[全盘巩固]1．(A.新课标全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}．2．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3}，B ＝{2,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{2,6}D ．{1,6}解析：选D 图中阴影部分表示的集合为∁U (A ∪B )．因为A ∪B ＝{2,3,4,5}，U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{1,6}．3．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，则A ∪B ＝( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，1，2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，－1 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，1，－1 解析：选D 由A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，得2a ＝12，解得a ＝－1，从而b ＝12.所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，12，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，12，则A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，1，－1. 4．(A.舟山模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}．则A ∩∁R B ＝( )A ．[－3,2]B ．[－2,0)∪(0,3]C ．[－3,0]D ．[－3,0)解析：选D 集合A ＝[－3,2]，集合B ＝[0,2]，∁R B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以A ∩∁R B ＝[－3,0)．5．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32 C ．(－∞，－1] D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 解析：选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .(1)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32； (2)当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎨⎧ －a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由(1)(2)可知，a 的取值范围为(－∞，－1]． 6．(A.丽水模拟)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则集合C 中所含元素的个数为( )A ．5B ．6C ．12D ．13解析：选D 当x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.7．若1∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a －3，9a 2－1，a 2＋1，－1，则实数a 的值为________．解析：若a －3＝1，则a ＝4，此时9a 2－1＝a 2＋1＝17，不符合集合中元素的互异性；若9a 2－1＝1，则a ＝49，符合条件；若a 2＋1＝1，则a ＝0，此时9a 2－1＝－1，不符合集合中元素的互异性．综上可知a ＝49. 答案：498．设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是________．解析：由题意知，集合S 中至少含有4,5,6中的一个，故集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.答案：569．设A 、B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝________________.解析：由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}．所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：[0,1]∪(2，＋∞)10．(A.绍兴模拟)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a,9}，分别求出适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9.∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3.经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}；当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．综上知a ＝－3.11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2.(2)由(1)知：∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3.因此实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m ＜－3}．12．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)由(1)知A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎨⎧ a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥3}．[冲击名校]1．(A.台州模拟)用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎨⎧ C A C B C A C B C B C A C A C B 若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ，则C (S )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 由A ＝{1,2}，得C (A )＝2，由A *B ＝1，得C (B )＝1或C (B )＝3.由(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0，得x 2＋ax ＝0或x 2＋ax ＋2＝0.当C (B )＝1时，方程(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0只有实根x ＝0，这时a ＝0.当C (B )＝3时，必有a ≠0，这时x 2＋ax ＝0有两个不相等的实根x 1＝0，x 2＝－a ，方程x 2＋ax ＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x 1＝0，x 2＝－a ，由Δ＝a 2－8＝0，得a ＝±22，可验证均满足题意，故S ＝{－22，0,22}，C (S )＝3.2．(A.金华模拟)已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }；②{(x ，y )|2x 2＋y 2＜1}；③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}；④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}．其中具有性质P 的点集的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2＜1}，则点{x ，y }在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0＜k ＜1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2＜1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝54，点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12在此圆上，但点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－14不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，故④是具有性质P 的点集．综上，具有性质P 的点集的个数为。