计算 xi(k1) 时,
x(k 1) j
(
j
i)的值已经算出
所以迭代公式可以修改成：
X (k1) D1LX(k1) D1UX (k) D1b
或写成分量形式
i1
n
x(k1) i
(bi
aij
x
( j
k 1)
aij x(jk) ) / aii
j 1
j i 1
7
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为 (D – L)X = ＵＸ＋b ， 从而有： Ｘ = (D – L)-1 UX + (D – L)-1b
2
4.1、雅可比（Jacobi）迭代法
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为
DX = (Ｌ＋Ｕ)Ｘ＋b ，
若 det(D)0, 则有：
Ｘ = D-1(L + U)X + D-1b
得到雅可比迭代矩阵：
BJ = D-1(L + U)，b’= D-1b 从而，得到雅可比迭代公式：
注意：这里的对角 矩阵的D-1是非常 容易计算的。
（精度要求）
得到满足要求的近似解。
例子：p.55(p.52)例8 ，10-3的精度，迭代10 次。
3x1x12xx22
5 5
x( 1
k
1)
x(k) 2 3
5 3
x2( k
1)
x(k) 1
2
5 2
x(0 1
x2(0
) )
0 0
6
4.2、高斯-赛德尔迭代法 雅可比方法中
X (k1) D1(L U) X (k) D1b
|| B || 0.62875, || B ||1 0.648065375,
|| B ||2 0.52151, (B) 0.1285
收敛，迭代次数 7。
(B0) 0.36 (BGS ) 0.13
23
p.65(p.62)例11：
4 2 4
2 17 10
4 10 X 9
10
X(k+1)= (D-L)-1[(1- )D+U]X(k) + (D-L)-1b 迭代矩阵 B= (D-L)-1[(1- )D+U]
18
其中 是松弛因子，当 >1 时为超松弛，当 <1 时为低松弛，当 =1 时即为高斯-赛德尔迭代法。
SOR方法的分量形式： 由G-S迭代有
i 1
n
x(k1) i
举例：
8 4
x1 x1
3x2 2x3 11x2 x3
20 33
6 x1 3 x2 12x3 36
精确解
3 2 1
13
（1）简单迭代法
8 3 2 7 3 2 B I A I 4 11 1 4 10 1
6 3 12 6 3 11 20 b' 33 36
5 3
x2( k
1)
x(k 1) 1
2
5 2
x(0 1
x2(0
) )
0 0
8
➢ 雅可比方法与高斯-赛德尔方法的比较 • 收敛与否？ • 收敛快慢？
当 A 的主对角线元素全为正，其它元素都≤0时， G-S方法与J方法同收敛或否，且G-S收敛快。
当 A 的元素全为正时，G-S方法优于J方法。
可以试验一下一般情况下两种算法的比较，参见 GSvsJ.m和JvsGS.m两个程序。
(bi
a x( k1) ij j
aij
x
(k j
)
)
/
aii
j 1
j i 1
i 1
n
x(k) i
(bi
a x( k1) ij j
aij
x
( j
k
)
)
/
aii
j 1
ji
x~i(k )
19
计算新的近似值，得到SOR方法：
x( k1) i
x~i(k )
(1 ) xi(k )
i 1
n
x(k) i
(bi
a x( k1) ij j
aij
x
( j
k
)
)
/
aii
j 1
ji
不同的 的值会影响SOR迭代的收敛性、收敛 速度。
20
例（7）SOR迭代法
8 3 2 A 4 11 1
6 3 12
取 =1.5，则迭代矩阵：
1 / 2 9 / 16
3 / 8
B 3 /11 71/ 88 15 / 44
§4、迭代法 解 AX = b 等价形式： X = BX + b’ 得到迭代公式： X(k+1)=B X(k)＋b’ 从而由某个初值 X(0)开始逐次计算得到序列 {X(k)}。 B 称为迭代矩阵。 例如，简单迭代法：
X = X-AX+b = (I-A)X + b = BX + b 得到迭代矩阵 B = I-A , b’= b 。
（4）Gauss-Seidel迭代法
0 B 0
0
3/8 3 / 22 27 / 176
1/ 4 2 / 11
7
/
88
2.5
b'
2.0909
1.22727
|| B || 0.625, || B ||1 0.66, || B ||2 0.53, (B) 0.13
收敛，迭代次数8。
3 / 11 21/ 176 61/ 176
15 / 4
b'
27 /11
135 / 176
|| B || 23 / 16 1.4375, || B ||1 131/ 88 1.49,
|| B ||2 1.23, (B) 0.71
收敛，迭代次数45。
21
取
2
1.03453 ，则迭代矩阵：
定理8 Bk 0, k 的充要条件是：
(B) 1
且 (B) 越小，收敛越快。
10
定理5 若迭代公式 X(k+1) = BX(k)＋b’ 的迭代矩阵 B 的某个算子范数 || B || = q < 1，则： （1）对任意的初始向量 X(0), 该迭代收敛于原方 程的唯一解 X*；
（2）
||
X*
4x1 2x2 8x3 24 9x3 24 4x1 2x2 x3
15
1 3 / 4 2 / 4
B
4
/
9
2 / 9
1/ 9
4 / 9 2 / 9 1 / 9
5
b
'
33
/
9
24 / 9
|| B || 2.25, || B ||1 1.89, || B ||2 1.37 , (B) 0.85
17
4.4 逐次超松弛迭代法
AX = b AX = b 记A=D–L–U
(D – L – U)X = b DX - LX = UX + b DX - LX = (1- )DX + UX + b (D - L)X = [(1- )D + U]X + b X= (D - L)-1[(1- )D+U]X+ (D - L)-1b 得到逐次超松弛迭代（SOR）公式：
什么时候收敛？收敛速度如何？
1
如果收敛，设：
lim X (k) X * lim || X (k) X * || 0
k
k
则： X * BX * b ' 就是原方程组的解。
X (k1) X * BX (k) BX *
B(X (k) X * ) B X (k) X *
所以，当 B q 1 时，迭代收敛。且有： || X (k ) X * || 1 || X (k1) X (k ) || 1 q
25
作业： （5）第三章p.73(p.69)第10题；
上机作业： （4）p.182(p.154)第7题。
26
|| B ||2 0.5560, (B) 0.153
收敛，迭代次数 8。
(B0 ) 0.36 (BGS ) 0.13
22
取 0.99 ，则迭代矩阵：
0.01 B 0.0036
0.37125 0.12365
0.2475 0.1791
0.004059 0.153165375 0.8818525
SOR迭 代( 1.3545)， 17次 ， (B) 0.452847
BSOR (D L)1[(1 )D U ] I (D L)1 A
定理9： 若系数矩阵的主对角元素全不为0，则 0<<2 是松弛法收敛的必要条件。
定理10：若A对称正定， 0<<2 ，则对任意初 值，SOR方法收敛。
或
n
| ajj | | aij | j 1,2, , n
i1 i j
则雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法都收敛到原 方程的唯一解 X*。
12
定理7 若方程组 AX=b 的系数矩阵 A 对称正定， 则高斯-赛德尔迭代法收敛。
证明提要：A = D – L – U U = LT
迭代矩阵 B = (D – L)-1U 只要证明 (B)<1
X (k 1) BJ X (k ) b '
其中：
当||BJ||<1时，雅可 比迭代收敛。
3
计算时用到的Jacobi迭代矩阵：
0
a12 a11
a1(n1) a11
BJ
a21
a22
0
a2(n1)
a22
0
an1
ann
an2 ann
an(n1) ann