第十二章 全等三角形
一、知识要点
1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的判定和性质
3、证题的思路：
(A S A )(A A S )⎧⎧⎪⎪
⎨⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎧⎪⎪
⎧⎪⎪
⎨⎨⎪
⎨⎪⎪
⎪⎪⎪⎩⎩⎪
⎪⎧⎨⎪
⎩⎪
⎪⎩
找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS)
(HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 4、应注意的问题
（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；
（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； （4）要正确区分判定三角形全等的结论的不同含义；
（5）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等．
5、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 6、全等三角形问题中常见的辅助线的作法 （1）连接法（连接公共边构造三角形全等）； （2）延长法（延长至相交、倍长中线）
（3）截长补短法（适合于证明线段的和、差等问题）
（4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 二、考点解密
（1）常见全等的判定和性质考察
1、已知△ABD ≌△CDB ，AB 与CD 是对应边，那么AD= ，∠A= ；
2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE=2cm ，BE=1.5cm ，∠A=25°∠B=48°；那么DE= cm ，EC= cm ，∠C= 度；∠D= 度；
C
B
A
F
E D
C B A
第2小题 第3小题 第4小题
3、如图，△ABC ≌△DBC ，∠A=800，∠ABC=300
，则∠DCB= 度； 4、如图，已知，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为 ；（3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ；
5．已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm 则AB =____________，BC =____________，AC =____________．
6．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y =__________．
7．下列命题中正确的是（ ）
①全等三角形对应边相等； ②三个角对应相等的两个三角形全等； ③三边对应相等的两三角形全等；④有两边对应相等的两三角形全等。
A ．4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个
8．对于下列各组条件，不能判定△ABC ≌△C B A '''的一组是 （ ） (A)∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，AB=A ′B ′ (B)∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，AC=A ′C ′ (C)∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，BC=B ′C ′(D)AB=A ′B ′，AC=A ′C ′，BC=B ′C ′
9.尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于1
2
CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得
OCP ODP △≌△的根据是（ ）
A ．SAS
B ．ASA
C ．AAS
D ．
SSS
10.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC BE ⊥
（2）与角平分线有关的题型
1.已知△ABC 中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为
2.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处
第2小题 第3小题 第4小题
3.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点0，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为_______cm 。
4.如图，ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为O ，则=∆∆∆CAO BCO ABO S S S ::
3．如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB ．
图1
图2
（第10题）
E
D
F
C
B
A
C
D
C
B A
（3）常见辅助线
1．如图AB ∥CD ，∠A=∠C ，求证：AD=BC
2.已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.
3.如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.
4.如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠
DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD。