(a0 a1z 1 an z n )Y ( z) (b1z 1 bn z n )U ( z)
传递函数
b1 z 1 bn z n Y ( z) G( z ) U ( z ) a0 a1 z 1 an z n
在MATLAB中，用tf函数可以定义Z传递函数，但是需要指定离散时 间间隔，否则定义的就是一个连续系统传递函数。
6 s 3 12 s 2 6 s 10 G (s) 4 s 2 s 3 3s 2 s 1
对于复杂的表达式
( s 1)( s 2 2 s 6 ) 2 G (s) 2 s ( s 3)( s 3 2 s 2 3 s 4 )
可由下列语句来输入 num=conv([1,1],conv([1,2,6],[1,2,6])); den=conv([1,0,0],conv([1,3],[1,2,3,4])); G=tf(num,den) Transfer function:
s ^ s 5 s ^ 4 20 s ^ 3 40 s ^ 2 60 s s ^ 6 5 s ^ 5 9 s ^ 4 13 s ^ 3 12 s ^ 2
零极点表示的传递函数的描述
( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) G (s) K ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
KCL），可以写出系统的动态模型方程为 (2-1)
d 2 u c (t ) L duc (t ) LC u c (t ) u (t ) R dt dt 2
duc (t ) u c (t ) R C dt i L (t ) 0 di (t ) L L u c (t ) u (t ) 0 dt
【例】
G=zpk(z,p,k)
G (s)
4( s 1) ( s 3)( s 4)( s 5)
k=4; z=[-1]; p=[-3,-4,-5]; G=zpk(z,p,k)
多项式和零极点的转换
[num,den]=zp2tf(z,p,k) [z,p,k]=tf2zp(num,den)
系统的输入、输出、及内部状态量是时间 的离散函数——时间序列
{u (kT )} , { y (kT )} , {x(kT )} {u (k )} , { y (k )} , {x(k )}
分类
差分方程 z传递函数 离散状态空间模型
差分方程
一般形式
a0 y(n k ) a1 y(n k 1) an y(k ) b1u(n k 1) b2u(n k 2) bn y(k )
传递函数
若系统初始条件为零，对（1）式两边取拉 氏变换整理得：
Y (s) c0 s n1 c1s n1 cn2 s cn1 G( s) U (s) a0 s n a1s n1 an1s an
零极点形式
（ 2）
G (s) K
( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
Chapter 1
连续系统仿真概论
系统的数学模型 系统数学模型的重要性
系统仿真分析必须已知数学模型 系统设计必须已知数学模型 本课程数学模型是基础
系统数学模型的获取
建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推 导的方式建立起系统的数学模型 辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型
k 0

(2-12)
零阶保持器可以定义为将 e*(t) 这样的脉冲序列变成阶梯状波形的
环节，如下图所示。
图中，(a)与(b)两个环节是等价的。
因而，零阶保持器传递函数为：
1 e sT Gh ( e(t) 采样后的序列； u*(t) —— 经过 D(z) 运算后的控制序列； u(t) —— 经保持后的连续信号（如阶梯状）；
y(n k ) (a1 y(n k 1) an y(k ))
z传递函数
a0 y(k ) a1 y(k 1) an y(k n) b1u(k 1) b2u(k 2) bn y(k n)
（ 6）
系统初始条件为0，即 y(k ) u(k ) 0,(k 0) 对（6）式两边取z变换得
离散状态空间模型
x(k 1) Fx(k ) Gu(k ) y (k ) Cx(k )
离散状态空间模型可以由连续时间状态空间模型离散化而得到
Ax Bu x y Cx Du
离散相似法
x ( k 1) G (T ) x ( k ) H (T )u ( k ) y ( k ) Cx ( k ) Du ( k )
设 采用零阶保持器，即
u (t ) e ( kT )[1(t kT ) 1(t kT T )]
k 0

(2-11)
e*(t) 是 e(t) 经过采样后生成的脉冲序列，是 离散序列，零阶保持器的作用就是将离散序
列 e*(t) 变成阶梯状连续信号 u(t)。
e * (t ) e (t ) (t kT )
[例]RLC电路。
duc (t ) u c (t ) R C dt i L (t ) 0 di (t ) L L u c (t ) u (t ) 0 dt
uc (t) 如果状态变量x(t) , 输入变量u (t) (u(t)), i L (t) 输出变量为y (t) uc (t) 1 c (t) - RC u = i L (t) - 1 L 1 0 u (t) C c + 1 u (t) i L (t) 0 L
模型特征
连续系统、离散时间系统
1.1连续系统模型描述
连续系统
系统状态变化在时间上是连续的 可用方程式描述系统模型 常微分方程、偏微分方程、差分方程
模型分类
连续时间模型(常微分、传递函数、状态空间) 离散时间模型（差分方程、z传递函数） 连续——离散混合模型（计算机控制系统）
1.1.1 连续时间模型
分类
常微分方程 传递函数 状态空间描述
输入u
系统
输出y
常微分方程
输入/输出模型
dny d n 1 y dy a0 n a1 n 1 an 1 an y dt dt dt d n 1u d n 2u c0 n 1 c1 n 1 cn 1u dt dt
使用printsys函数可以显示Z传递函数，但是需要指定参数’z’，否则 输出就是一个S传递函数。
num=[3,2,1]; den=[1,2,3,4]; sysa=tf(num,den,0.1)
printsys(num,den,'z') % 输出Z传递函数
num/den =
3 z^2 + 2 z + 1 --------------------z^3 + 2 z^2 + 3 z + 4
状态空间描述
状态空间描述
AX BU X
Y CX
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u n an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu x x1 x y c1 c2 cn 2 xn
p i ( i 1, , n ) 为系统极点(poles)
z j ( j 1, , m ) 为系统零点(zeros)
num=[bm,bm-1,…,b0]; 多项式表示的传递函数的描述
b s bm 1 s b0 Y (s) nm U ( s ) s a n 1 s n 1 a1 s a 0
D(z) —— 控制器的Z传递函数；
Gh(s) —— 保持器（如零阶）的传递函数； G(s) —— 被控对象的传递函数。
1.2 模型结构变换
模型结构变换
连续系统仿真要将这个系统的模型在计算机上 实现出来，首先要把系统的各种描述形式（外 部模型）转换成内部模型--状态空间模型。 常微分方程 传递函数
1.1.3 连续－离散混合模型(Continuous-Discrete Hybrid Model)
计算机采样控制系统
离散部分：数字计算机，离散形式的控制算法
连续部分：连续对象，用连续时间模型描述
保持器(Holder)：将离散信号恢复成连续信号的装置
零阶保持器
设计算机的运算关系为： u ( k T ) e ( k T )

状态空间描述
1.2.1 外部模型到内部模型的变换
设连续系统的模型为
dny d n 1 y dy a1 n1 an 1 an y u (t ) n dt dt dt
软换成状态空间模型的方法
（1）引进状态变量 （2）移项得
m m 1
den=[1,an-1,…,a0];
G=tf(num,den)
【例】
num=[6,12,6,10]; den=[1,2,3,1,1]; G=tf(num,den) G= 6 s^3 + 12 s^2 + 6 s + 10 ---------------------------s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s + 1
（ 1）
其中:
n
ai (i 0,1,2,, n)
c j ( j 0,1,2,, n 1)
系统的阶次 系统的结构参数 输入函数的结构参数