图 2 蚂蚁的轨迹图
收稿日期 : 2007 - 11 - 08 基金项目 :四川省教育厅青年基金项目 (072B042) 作者简介 :石勇国 (1978 - ) ,男 ,湖北云梦人 ,讲师 ,硕士 ,主要从事函数方程与动力系统研究 。
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宜宾学院学报 2008年 6期
做出相应的 y轴 ,选取足够小的 Δt进行采样 ;
2) 在每一时刻 t,计算每只蚂蚁在下一时刻 t +Δt时的坐标. 不
妨设甲的追逐对象是乙 ,在时间 t时 ,甲的坐标为 A ( x1 , y1 ) ,乙的坐 标为 B ( x2 , y2 ). 甲在 t +Δt时在 A ′点 (如图 1所示 ) , 其坐标为
其中 r是曲线上的点到原点的距离 ,θ是从极轴到该点的角
度 , a、b为任意的常数. 这样的曲线称为等角螺线 (也称为对数螺
线 ,生长螺线或者 B ernoulli螺线〔9, 12〕).
性质 1 (不变量 ) 等角螺线上的任意点 ( r,θ) 的切线与过
此点的向径的夹角 <为定值 (如图 4所示 ).
2 追击问题的微分方程模型 通过采样进行离散化 ,虽然容易得到追击的曲线 , 但不能够
得到轨迹曲线的解析表达式. 本节将利用建立的微分方程模型 , 得到 n只蚂蚁的相撞时间 ,每只蚂蚁所走的路程以及曲线方程.
定理 1 对于前面所叙述的 n只蚂蚁追击问题 , n只蚂蚁相 撞时间 ,每只蚂蚁所走的路程以及轨迹的曲线方程分别为 :
and S urfaces w ith M athem a tica〔M 〕. 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press.
关键词 :追击曲线 ;等角螺线 ;数学模型 ;自相似 中图分类号 : O123. 5 文献标识码 : A 文章编号 : 1671 - 5365 (2008) 06 - 0023 - 03
0 引言
本文介绍的追击问题是 : n只蚂蚁分别在一个正 n边形的顶
点上 ,在某一时刻 , 它们同时以匀速度 v沿逆时针方向追逐下一
文献〔10, 11〕. 最后我们给出和证明等角螺线的不变量 、自相似
等特有性质. 1 追击问题的离散模型 以时间间隔 Δt进行采样 , 在每一时刻 t, 计算每只蚂蚁在下
一时刻 t +Δt时的坐标. 通过离散打点画出蚂蚁的轨迹曲线.
算法
图 1 在采样时间内相连蚂蚁追击图
根据上面的算法编写 MATLAB 程序 , 得到每只蚂蚁的轨迹 (如图 2所示 ).
( x1 + vΔtco sθ, y1 + vΔtsinθ) ,
其中 cosθ = x2 - x1 , sinθ = y2 - y1 , d =
d
d
( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2.
同理 ,依次计算下一只蚂蚁在 t +Δt时的坐标. 通过间隔 Δt进行
采样 ,得到新一轮各只蚂蚁在一个新的正多边形上的位置坐标 ;
Tn
= v(1 -
s co s
2π
, Dn
)
= 1-
s co s
2π ,
n
n
rn =
π s
e . θcot
( n - 2)π 2n
2 sin
n
证明 首先 ,我们将求蚂蚁相撞的时间和相撞时每只蚂蚁
走过的路程.
图 3 相连蚂蚁追击图
如图 3所示 :设起始时刻 t = 0, 设两只蚂蚁此时在 A, B 两 点. AB为正 n边形的边长 , AB = s, O为正 n边形中心 ,设 OB = R, H为 AB 的中点. 从 ΔAOH,得到
第 6期 NO. 6 宜宾学院学报 Journal of Yibin University June. 2008
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蚂蚁追击问题与等角螺线
石勇国
(内江师范学院 数学系 ,四川 内江 641112)
摘要 :通过研究蚂蚁追击问题 ,建立离散模型和微分方程模型 ,得到问题的解析解 ,推广了前人的结论 ,同时给出其追击曲线 ———等角螺线的特有性 质.
try〔M 〕. London: Penguin, 1991: 201 - 202. 〔6〕ZW IKKER C. The A dvanced Geom etry of P lane Curves and Their A p2
plica tions〔M 〕. New York: Dover, 2005. 〔7〕GRAY A. Logarithm ic Sp irals. M odern D ifferen tial Geom etry of Cu rves
r
n
r
2n
θ( t = 0) = 0.
解此微分方程得
rn =
π s
e . θco t ( n - 2)π 2n
(3)
2 sin
n
这样得到了蚂蚁的轨迹曲线方程 ,它是弧度为
(n
- 2)π (正 2n
多边形内角的一半 ) 的等角螺线. 证毕.
3 等角螺线的特有性质
曲线的极坐标形式为 :
r = f (θ) = aebθ1
-
rsin (θ) rco s (θ)
= cot(θ +π / n).
(1)
根据直角坐标和极坐标的关系 ,得到
dx = cosθd r - rsinθdθ, dy = sinθd r + rcosθdθ,
(2)
将 ( 2) 式代入 ( 1) 式得到
dr
dr
dθ = - tan π ,或者 dθ = - cot ( n - 2)π , r( t = 0) = R,
=
v(1
-
s co s
2π
. )
n
于是 ,到相撞时 ,每只蚂蚁走过的路程为
Dn
= vTn
=
(1 -
s co s
2π
. )
n
当 n = 4, 2α = 2π /4 =π /2,因此 D4 = s,说明四只蚂蚁的相
互追击时 ,每只蚂蚁走的路程为正方形的边长.
下面建立关于其中一只蚂蚁的微分方程模型. 以正多边形
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证明 首先证明如下结论 :对于等角螺线 , 伸缩变换等价
于旋转变换. 设有一伸缩变换 θr′′==λθr, λ ≠ 0.
则原函数变为
r′=λaebθ′ = aeb (θ′+lnλb ) . 说明 r缩放为原来的 λ倍 ,相当 θ顺时针旋转 lnλ弧度. 同理
b
可得 ,θ顺时针旋转κ弧度 ,相当于 r缩放为原来的 ebκ倍. 特别地 , 当 r放大为原来的 e2bπ 倍时 ,与原来的图形一样.
s 2
= R sinα
其中 α
=
π
, 蚂蚁的速度在
OA 上的投影
n
为 AD,即
AD = vco s(π /2 - α) = vsinα.
从旋转者的角度看 ,蚂蚁以速度 | v | sin (α) 沿着直线运动
的 ,蚂蚁相撞于 O 点 ,所需要的时间
Tn
=
R
vsinα
=
s
2vsin2α
3) 重复 2) 步 ,直到 d充分小为止 ;
4) 连接每只蚂蚁在各时刻的位置 ,就得到所求的轨迹.
Tn
= v(1 -
s co s
2π
, Dn
)
= 1-
s co s
2π ,
n
n
rn =
π s
e . θco t ( n - 2)π 2n
2 sin
n
证明了蚂蚁所走的曲线也是等角螺线. 关于螺线的性质介绍见
只 ,并且在任意时刻他们始终保持追逐的方向是对准追逐目标 ,
例如 , A追逐 B,任意时刻 A始终向着 B追. 如果此多边形的边长
为 s,问 :
1) 这些蚂蚁过多久可以相撞 ?
2) 到相撞时 ,每只蚂蚁走过多长的路程 ?
3) 画出蚂蚁所走的曲线.
这个问题有很多不同的版本. 如 :三只 (或者四个 、五条等 )
图 4
用微分几何术语表示为
a
rcco s
∫ r(θ) , r′(θ) ‖r(θ) ‖‖r′(θ)
‖
=
a rc tan
1 b
= <.
在蚂蚁追击问题中 ,角度 < = ( n - 2)π为正 n边形内角的 2n
一半 ;系数 a控制螺线的旋转角度 ;导数 r′(θ) 与 b成反比. 换句
话说 ,它控制螺线盘旋得多紧. 它的极端的情形如下 : 性质 2 (极限性质 ) 若 b = 0 ( < =π /2) ,等角螺线变成一
tions of U n icycles〔J〕. Automata, 2005, 41 ( 12) : 1 - 10. 〔4〕BEMHART A. Polygons of Pursu it〔J 〕. Scrip ta Math. , 1959 ( 24 ) :
23 - 50. 〔5〕W ELLS D. The Pengu in D ictionary of Cu rious and In teresting Geom e2
蚂蚁直角坐标为 ( x, y) = ( rcosθ, rsinθ) , 第 2 号的直角坐标为
( x′, y′) = ( rco s(θ + 2π / n) , rsin (θ + 2π / n) ). 则有
dy dx
=
y′x′-
y x
=
rsin (θ + 2π / n) rcos(θ + 2π / n)
1877 ( 3) : 175 - 176. 〔2〕GOOD I J. Pu rsu it Cu rves and M a them atica l A rt〔J 〕. M ath. Gaz. ,