1.1.1正弦定理 学案【预习达标】在ΔABC 中,角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ,1.在Rt ΔABC 中,∠C=900, csinA= ,csinB= ,即sin a A== 。
2. 在锐角ΔABC 中,过C 做CD ⊥AB 于D ,则|CD|= = ,即sin a A= ,同理得 ,故有sin aA= 。
3. 在钝角ΔABC 中,∠B 为钝角,过C 做CD ⊥AB 交AB 的延长线D ,则|CD|= = ,即sin a A= ,故有sin aA= 。
【典例解析】一 新课导入,推导公式 (1)直角三角形中(2)斜三角形中正弦定理是例1.在∆ABC 中,已知032.0=A ,081.8=B ,42.9=a cm ,解三角形。
例2 如图,在ΔABC 中,∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ,求证:BD ABDC AC【达标练习】1. 已知ΔABC 已知A=600,B=300,a=3;求边b=() : A 3 B 2 C 3 D 2 (2)已知ΔABC 已知A=450,B=750,b=8;求边a=() A 8 B 4 C 43-3 D 83-8 -(3)正弦定理的内容是————————————(4)已知a+b=12 B=450 A=600则则则则a=------------------------,b=------------------------(5)已知在ΔABC 中,三内角的正弦比为4:5:6,有三角形的周长为7.5,则其三边长分别为--------------------------A BCD(6).在ΔABC 中,利用正弦定理证明==+c b a CBA sin sin sin +参考答案【预习达标】1.a,b,sin sin b c B C =. 2.bsinA asinB ,sin b B , sin a A =sin c C ,sin bB =sin cC. 3. .bsinA asinB ,sin b B , sin b B =sin cC .【典例解析】在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。
如图1.1-2,在Rt ∆ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有sin a A c=,sin bB c=,又sin 1cCc==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a bcABC==C aB(图1.1-2)思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如图1.1-3,当∆ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a bAB=,C同理可得sin sin c bCB=, ba 从而sin sin abAB=sin cC=Ac B(图1.1-3)思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。
(证法二):过点A 作j AC ⊥, C由向量的加法可得 AB AC CB =+则 (j AB j AC CB ⋅=⋅+ A B∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ j()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ,即sin sin =a c A C同理,过点C 作⊥j BC ,可得 sin sin =b cB C从而 sin sin abAB=sin cC=类似可推出,当∆ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。
(由学生课后自己推导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sin sin abAB=sin cC=例1解:根据三角形内角和定理,0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+066.2=;根据正弦定理,sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ; 根据正弦定理,00sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2证明:如图在ΔABD 和ΔCAD 中,由正弦定理, Aβ β得sin sin BD AB βα=,0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-, 两式相除得BD ABDC AC=【双基达标】1.(1)C (2)D (3)sin a A=sin b B =sin cC.(4)36-126126-24(5)2, 2.5, 3 ,2.证明:设sin sin sin a b ck A B C===,则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C === sin sin sin sin sin sin a b k A k B A Bc k C C+++∴==学校:临清二中 学科:数学 编写人:刘会志 一审:李其智 二审:马英济 §1.1.2 正弦定理【三维目标】:一、知识与技能1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感、态度与价值观1.培养学生处理解三角形问题的运算能力; 【教学重点与难点】:重点:正弦定理的探索及其基本应用。
难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【授课类型】:新授课 四教学过程一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么?二、例题讲解例 1试推导在三角形中A a sin =B b sin =Ccsin =2R 其中R 是外接圆半径证明 如图所示,∠A =∠D∴R CD D aA a 2sin sin === 同理B b sin R 2=,Cc sin R 2=∴A a sin =B b sin =Cc sin =2R例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中,===∆ :∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b ,C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角, 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中,===∆解23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=aA c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c 1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴CBc b B C 时,当, 1360sin 15sin 6sin sin ,151200-=====∴C B c b B C 时,当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b五、巩固深化,反馈矫正 1试判断下列三角形解的情况:已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有()解 A 一 B 两 C 无解 2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有()解 A 一 B 两 C 无解3.在ABC ∆中,三个内角之比3:2:1::=C B A ,那么c b a ::等于____4.在ABC ∆中,, B=1350 C=150 a=5则此三角形的最大边长为_____5在ABC ∆中,已知045,2,===B cm b xcm a ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则x 的取值范围是_____ 6.在ABC ∆中,已知B c b sin 2=,求C ∠的度数六、小结(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===;(2)A a sin =B b sin =C c sin 等价于A a sin =B b sin ,B b sin =C c sin ,Aasin =Ccsin ,即可得正弦定理的变形形式: 1)2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===; 2)sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===; 3)利用正弦定理和三角形内角和定理,可解决以下两类斜三角形问题:1)两角和任意一边,求其它两边和一角;如BAb a sin sin =; 2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.如B baA sin sin =。
一般地,已知角A 边a 和边b 解斜三角形,有两解或一解或无解(见图示).外接圆法)如图所示,∠A =∠Da=bsinA 有一解 a >bsinA 有两解 a>b 有一解 a>b 有一解七板书设计 略1.1.2正弦定理学案— 预习达标1 正弦定理的内容是——————————————————2 在三角形ABC 中已知c=10 A=450 C=300,则边a=---------,边b=-------,角B=------3在三角形ABC 中,已知a=20cm ,b=28cm ,A=400,则角B=-------------(可借助计算器) 二 典例解析例 1试推导在三角形中A a sin =B b sin =Ccsin =2R 其中R 是外接圆半径例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中,===∆例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中,===∆三 达标练习1试判断下列三角形解的情况:已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有()解A 一B 两C 无解 2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有()解A 一B 两C 无解3.在ABC ∆中,三个内角之比3:2:1::=C B A ,那么c b a ::等于____4.在ABC ∆中, B=1350 C=150 a=5 ,则此三角形的最大边长为_____5.在ABC ∆中,已知045,2,===B cm b xcm a ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则x 的取值范围是_____6.在ABC ∆中,已知B c b sin 2=,求C ∠的度数学案答案一预习达标1 A a sin =B b sin = Cc sin 2 102 , 56+52 3 640 或1160二典例解析例1证明 如图所示,∠A =∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=,C c sin R 2=∴A a sin =B b sin =C c sin =2R例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中,===∆ :∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b ,C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角,0090,30==∴B C ∴222=+=c b a例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中,===∆解23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,75600000+=====∴C B c b B C 时,当, 1360sin 15sin 6sin sin ,151200000-=====∴C B c b B C 时,当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b 三达标练习1: B 2;A 3 1:3:2 4 52 5 2<x<22 6 300 或1500。