1.1.1正弦定理 学案【预习达标】在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，1.在Rt ΔABC 中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即sin a A== 。

2. 在锐角ΔABC 中，过C 做CD ⊥AB 于D ，则|CD|= = ，即sin a A= ，同理得 ，故有sin aA= 。

3. 在钝角ΔABC 中，∠B 为钝角，过C 做CD ⊥AB 交AB 的延长线D ，则|CD|= = ，即sin a A= ，故有sin aA= 。

【典例解析】一 新课导入，推导公式 （1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。

例2 如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC【达标练习】1. 已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（） : Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ 3 D 2 （2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（） A 8 B 4 C 43-3 D 83-8 -（3）正弦定理的内容是————————————（4）已知a+b=12 B=450 A=600则则则则a=------------------------，b=------------------------（5）已知在ΔABC 中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------A BCD（6）．在ΔABC 中，利用正弦定理证明==+c b a CBA sin sin sin +参考答案【预习达标】1．a,b,sin sin b c B C =. 2.bsinA asinB ,sin b B , sin a A =sin c C ,sin bB =sin cC. 3. .bsinA asinB ,sin b B , sin b B =sin cC .【典例解析】在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c=，sin bB c=，又sin 1cCc==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a bcABC==C aB(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a bAB=，C同理可得sin sin c bCB=， ba 从而sin sin abAB=sin cC=Ac B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A 作j AC ⊥， C由向量的加法可得 AB AC CB =+则 (j AB j AC CB ⋅=⋅+ A B∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ j()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a c A C同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b cB C从而 sin sin abAB=sin cC=类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=例1解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理，sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，00sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理， Aβ β得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-， 两式相除得BD ABDC AC=【双基达标】1．（1）C （2）D （3）sin a A=sin b B =sin cC.（4）36-126126-24（5）2, 2.5, 3 ，2．证明：设sin sin sin a b ck A B C===，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C === sin sin sin sin sin sin a b k A k B A Bc k C C+++∴==学校：临清二中 学科：数学 编写人：刘会志 一审：李其智 二审：马英济 §1.1.2 正弦定理【三维目标】：一、知识与技能1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

三、情感、态度与价值观1.培养学生处理解三角形问题的运算能力； 【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

【授课类型】：新授课 四教学过程一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？二、例题讲解例 1试推导在三角形中A a sin =B b sin =Ccsin =2R 其中R 是外接圆半径证明 如图所示，∠A ＝∠D∴R CD D aA a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，Cc sin R 2=∴A a sin =B b sin =Cc sin =2R例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆ ：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=aA c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c 1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴CBc b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,151200-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b五、巩固深化，反馈矫正 1试判断下列三角形解的情况：已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（）解 A 一 B 两 C 无解 2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有（）解 A 一 B 两 C 无解3.在ABC ∆中，三个内角之比3:2:1::=C B A ，那么c b a ::等于____4.在ABC ∆中，, B=1350 C=150 a=5则此三角形的最大边长为_____5在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是_____ 6.在ABC ∆中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数六、小结（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===；（2）A a sin =B b sin =C c sin 等价于A a sin =B b sin ，B b sin =C c sin ，Aasin =Ccsin ，即可得正弦定理的变形形式： 1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； 2）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===； 3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如BAb a sin sin =； 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如B baA sin sin =。

一般地，已知角A 边a 和边b 解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）．外接圆法）如图所示，∠A ＝∠Da=bsinA 有一解 a >bsinA 有两解 a>b 有一解 a>b 有一解七板书设计 略1.1.2正弦定理学案— 预习达标1 正弦定理的内容是——————————————————2 在三角形ABC 中已知c=10 A=450 C=300，则边a=---------，边b=-------，角B=------3在三角形ABC 中，已知a=20cm ，b=28cm ，A=400，则角B=-------------（可借助计算器） 二 典例解析例 1试推导在三角形中A a sin =B b sin =Ccsin =2R 其中R 是外接圆半径例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆三 达标练习1试判断下列三角形解的情况：已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（）解A 一B 两C 无解 2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有（）解A 一B 两C 无解3.在ABC ∆中，三个内角之比3:2:1::=C B A ，那么c b a ::等于____4.在ABC ∆中， B=1350 C=150 a=5 ,则此三角形的最大边长为_____5.在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是_____6.在ABC ∆中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数学案答案一预习达标1 A a sin =B b sin = Cc sin 2 102 ， 56+52 3 640 或1160二典例解析例1证明 如图所示，∠A ＝∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，C c sin R 2=∴A a sin =B b sin =C c sin =2R例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆ ：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角，0090,30==∴B C ∴222=+=c b a例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,75600000+=====∴C B c b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,151200000-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b 三达标练习1: B 2；A 3 1:3：2 4 52 5 2<x<22 6 300 或1500。