数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）湖南省娄底市2019年初中学业水平考试数 学（本试卷共24题，满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.2 019的相反数是（ ）A ．2019-B ．2019C ．12019D ．12019- 2.下列计算正确的是（ ）A ．328-=（）B ．236a a =（）C ．236a a a ⋅=D ．2422x x x -= 3.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形D ．正方形4.一组数据2-、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．2-、0B ．1、0C ．1、1D ．2、15.2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC 麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗97 nm 1 nm 10m -=（）手机芯片．7 nm 用科学记数法表示为（ ）A ．8710m -⨯B ．9710m -⨯C ．80.710 m -⨯D ．10 710m -⨯ 6.下列命题是假命题的是（ ）A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．n 边形3n ≥（）的内角和是180360n ︒-︒ D ．旋转不改变图形的形状和大小7.如图（1），O e 的半径为2，双曲线的解析式分别为1y x=和1y x =-，则阴影部分的面积是（ ） A ．4πB ．3πC ．2πD ．π图（1）图（2）8.如图（2），边长为ABC △的内切圆的半径为（ ）A ．1BC ．2D．9.将1y x=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图（3），则所得图象的解析式为（ ）A ．111y x =++B ．111y x =-+ C ．111y x =+-D ．111y x =--10.如图（4），直线y x b =+和2y kx =+与x 轴分别交于点()2,0A -，点3,0B （），则20x b kx +⎧⎨+⎩＞0＞解集为 （ ）图（3）图（4） 图（5）A ．2x -＜B ．3x ＞C ．2x -＜或3x ＞D ．23x -＜＜-----------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________姓名________________考生号_____________数学试卷第3页（共18页）数学试卷第4页（共18页）11.二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的是 （ ）①0abc ＜ ②240b ac -＜ ③2a b ＞ ④22a c b +（）＜A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12.如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120︒的¶AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从A （A 为坐标原点）出发，以每秒2π3米的速度沿曲线向右运动，则在第2 019秒时点P 的纵坐标为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1二、填空题（本大题6小题，每小题3分，满分18分） 13.函数3y x =-的自变量x 的取值范围是________．14.如图（7），随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，能让灯泡发光的概率是________．图（7）图（8）图（9）15.如图（8），AB CD ∥，AC BD ∥，128∠=︒，则2∠的度数为________． 16.如图（9），C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =________．17.已知方程230x bx ++=的一根为52+，则方程的另一根为________．18.已知点()00,P x y 到直线y kx b =+的距离可表示为0021kx b y d k+-=+，例如：点()0,1到直线26y x =+的距离22061512d ⨯+-==+．据此进一步可得两条平行线y x =和4y x =-之间的距离为________．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19.计算：()11 132sin6||02-⎛⎫--+--︒ ⎪⎝⎭2019 20.先化简，再求值：22211a ab b a b b a ++⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭．其中21a =-，21b =+． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21.湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如统计图表：关注程度频数 频率 A ．高度关注 m0.4 B ．一般关注 100 0.5 C ．没有关注20n（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为________，m =________，n =________．（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？22.如图，某建筑物CD 高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB 的坡度为1:1i =．为了测量山顶A 的高度，在建筑物顶端D 处测得山顶A 和坡底B 的俯角分别为α、β．已知tan 2α=，tan 4β=，求山顶A 的高度AE （C 、B 、E 在同一水平面上）．数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23.某商场用14 500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：类别 成本价（元/箱）销售价（元/箱）甲 25 35乙3548求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？24.如图，点D 在以AB 为直径的O e 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作Oe 的切线交AD 的延长线于点E ． （1）求证：直线CD 是O e 的切线． （2）求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25.如图，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA （不包括端点）上运动，且满足AE CG =，AH CF =． （1）求证：AEH CGF △≌△；（2）试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH 的周长一半与矩形ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由．26.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -，点3,0B （），与y 轴交于点C ，且过点2,3D -（）．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求POD V 面积的最大值．（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE △与ABC △相似时，求点Q 的坐标．-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________姓名______________考生号______________数学试卷第7页（共18页） 数学试卷第8页（共18页）湖南省娄底市2019年初中学业水平考试数学答案与解析一、选择题1．【答案】A【解析】2019的相反数是：2019-．故选：A ． 2．【答案】B【解析】A ．328-=-（），故选项A 不合题意； B ．236a a =（），故选项B 符合题意；C ．235a a a ⋅=，故选项C 不合题意；D ．24x 与x 不是同类项，故不能合并，所以选项D 不合题意． 故选：B ． 3．【答案】C【解析】如图，Q E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EF AC ∥且12EF AC =，同理，GH AC ∥且12GH AC =，∴EF GH ∥且EF GH =， ∴四边形EFGH 是平行四边形， Q 四边形ABCD 是菱形， ∴AC BD ⊥，又根据三角形的中位线定理，EF AC ∥，FG BD ∥，∴EF FG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形．故选：C ．4．【答案】C【解析】这组数据的众数为1，从小到大排列：2-，0，1，1，1，2，中位数是1， 故选：C ． 5．【答案】B【解析】7 nm 用科学记数法表示为9710m -⨯． 故选：B ． 6．【答案】B【解析】A 、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题； B 、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题； C 、n 边形3n ≥（）的内角和是180360n ︒-︒，正确，是真命题； D 、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题， 故选：B ． 7．【答案】C 【解析】双曲线1y x=和1y x =-的图象关于x 轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180︒，半径为2，所以：2180π22π360S ⨯==阴影．故选：C ． 8．【答案】A【解析】设ABC △的内心为O ，连接AO 、BO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，数学试卷第9页（共18页）数学试卷第10页（共18页）Q ABC △为等边三角形，∴CH 平分BCA ∠，AO 平分BAC ∠， Q ABC △为等边三角形， ∴60CAB ∠=︒，CH AB ⊥，∴30OAH ∠=︒，12AH BH AB ==在Rt AOH △中，Q tan tan30OHOAH AH︒∠==，1OH ∴=，即ABC △内切圆的半径为1．故选：A ．9．【答案】C【解析】由“左加右减”的原则可知，1y x =的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：11y x =-； 由“上加下减”的原则可知，函数1y x 1=-的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：111y x =+-．故选：C ．10．【答案】D【解析】Q 直线y x b =+和2y kx =+与x 轴分别交于点-2,0A （），点()3,0B ，∴020x b kx +⎧⎨+⎩＞＞解集为23x -＜＜，故选：D ．11．【答案】A【解析】由函数图象可知0a ＜，对称轴10x -＜＜，图象与y 轴的交点0c ＞， 函数与x 轴有两个不同的交点，∴20b a -＞，0b ＜；240b ac =-V ＞，0abc ＞；当1x =时，0y ＜，即0a b c ++＜； 当1x =-时，0y ＞，即0a b c -+＞；∴()()0a b c a b c ++-+＜，即()22a c b +＜；∴只有④是正确的； 故选：A ． 12．【答案】B【解析】点运动一个¶AB 用时为120π22π21803⨯÷=秒． 如图，作CD AB ⊥于D ，与¶AB 交于点E ．在Rt ACD △中，Q 90ADC ∠=︒，1602ACD ACB ∠=∠=︒，∴30CAD ∠=︒，∴112122CD AC ==⨯=，∴211DE CE CD =-=-=，∴第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1；第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0； 第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为1-； 第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0； 第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1； …，∴点P 的纵坐标以1，0，1-，0四个数为一个周期依次循环， Q 2 01945043÷=⋯，∴第2019秒时点P的纵坐标为是1-．故选：B．二、填空题13．【答案】3x≥【解析】根据题意得，30x-≥，解得3x≥．故答案为：3x≥．14．【答案】2 3【解析】用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：4263 P==故答案为：23．15．【答案】28︒【解析】Q AC BD∥，∴1A∠=∠，Q AB CD∥，∴2A∠=∠，∴2128∠=∠=︒，故答案为：28︒．16．【答案】1【解析】Q AB为直径，∴90ADB∠=︒，Q30B ACD∠=∠=︒，∴112122AD AB==⨯=．故答案为1．17．【解析】设方程的另一个根为c，Q3c=，∴c=18．【答案】【解析】当0x=时，0y x==，即点()0,0在直线y x=上，因为点()0,0到直线4y x=-的距离为：d===因为直线y x=和4y x=-平行，所以这两条平行线之间的距离为故答案为三、解答题19．【答案】原式122=-+12=-1=-数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）20．【答案】22211a ab b a b b a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭2()a b a ba b ab --=÷- 1a b aba b-=⋅- ab =，当1a =，1b时，原式1)1)1=⨯=． 四、解答题21．【答案】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为1000.5200÷=（人）， 2000.480m =⨯=（人）， 10.40.50.1n =--=；故答案为200，80，0.1； （2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1 5000.4600⨯=（人）， 答：高度关注新高考政策的约有600人． 22．【答案】如图，作AF CD ⊥于F ；设AE x =米．Q 斜坡AB 的坡度为1:1i =， ∴BE AE x ==米．在Rt BDC △中，Q 90C ∠=︒，96CD =米，DBC β∠=∠，∴9624tan 4CD BC β===（米）， ∴24EC EB BC x =+=+（）米， ∴24AF EC x ==+（）米． 在Rt ADF △中，Q 90AFD ∠=︒，DAF α∠=∠，∴224DF AF tan x α=⋅=+（）米， Q 96DF DC CF DC AE x =-=-=-（）米， ∴22496x x +=-（），解得16x =．故山顶A 的高度AE 为16米．五、解答题23．【答案】（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱，依题意，得：500253514 500x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：300200x y =⎧⎨=⎩．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱． （2）35253004835200 5 600-⨯+-⨯=（）（）（元）． 答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元． 24．【答案】证明：（1）连接OD ，Q AD平分BAC∠，∴CAD BAD∠=∠，Q OA OB=，∴BAD ADO∠=∠，∴CAD ADO∠=∠，∴AC OD∥，Q CD AC⊥，∴CD OD⊥，∴直线CD是Oe的切线；（2）连接BD，Q BE是Oe的切线，AB为Oe的直径，∴90ABE BDE∠=∠=︒，Q CD AC⊥，∴90C BDE∠=∠=︒，Q CAD BAE DBE∠=∠=∠，∴ACD BDE△∽△，∴CD AD DE BE=，∴CD BE AD DE⋅=⋅．六、综合题25．【答案】证明：（1）Q四边形ABCD是矩形，∴A C∠=∠．∴在AEH△与CGF△中，AE CGA CAH CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEH CGF SAS△≌△（）；（2）Q由（1）知，AEH CGF△≌△，则EH GF=，同理证得EBF GDH△≌△，则EF GH=，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：如图，连接AC，BD．Q四边形ABCD是矩形，∴AC BD=．Q E、H分别是边AB，AD的中点，∴EH是ABD△的中位线，∴12EH BD=．同理，12FG BD=，12EF HG AC==．1122EH HG GF EF AC BD AC∴+++=+=（）（）．∴四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．26．【答案】（1）函数的表达式为：()()13y a x x=+-，将点D坐标代入上式并解得：1a=，故抛物线的表达式为：223y x x=--…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点()2,23P m m m--，数学试卷第15页（共18页）数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得： 直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()()()21113223222POD D P S OG x x m m m m =⨯-=+-=-++△，Q 10-＜，故POD S △有最大值，当14m =时，其最大值为4916；（3）Q 3OB OC ==，∴45OCB OBC ∠=∠=︒，Q ABC OBE ∠=∠，故OBE △与ABC △相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，BC =，AC =过点A 作AH BC ⊥与点H ，1122ABC S AH BC AB OC =⨯⨯=⨯△，解得：AH =则sin AH ACB AC ∠==，则tan 2ACB ∠=， 则直线OQ 的表达式为：2y x =-…②，联立①②并解得：x =，故点Q-②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为：3y x =-…③，联立①③并解得：x =，故点Q ⎝⎭；综上，点-或1122⎛- ⎝⎭．。