第九章波动光学9.1 在双缝干实验中，波长λ =500nm 的单色光入射在缝间距d=2×10-4 m的双缝上，屏到双缝的距离为2m，求：（1）每条明纹宽度；（2）中央明纹两侧的两条第10 级明纹中心的间距；（3）若用一厚度为e=6.6 × 10 m的云母片覆盖其中一缝后，零级明纹移到原来的第7 级明纹处；则云母片的折射率是多少？9解：（1）Δχ=D = 2 500 140 m=5×10-3m d 2 10 4（2）中央明纹两侧的两条第10 级明纹间距为20Δχ =0.1m（3）由于e（n-1）=7 λ , 所以有n=1+7 =1.53e9.2 某单色光照在缝间距为d=2.2 ×10-4的杨氏双缝上，屏到双缝的距离为D=1.8m，测出屏上20 条明纹之间的距离为9.84 ×10-2m，则该单色光的波长是多少？解：因为x Dyd2x 20 x 9.84 10 m2.2 10 4 9.84 10 2 20 1.8所以601.3nm9.3 白光垂直照射到空气中一厚度e=380nm的肥皂膜（n=1.33）上，在可见光的范围内400～760nm），哪些波长的光在反射中增强？r 2 r 1 k 干涉加强。

所以λ = 4ne2k 1在可见光范围内， k=2 时，λ =673.9nm k=3 时 , λ =404.3nm9.4 如题图 9.4 所示，在双缝实验中入射光的波长为 550nm ， 用一厚度为 e=2.85 ×10-4cm 的透明薄片盖住 S 1缝，发现中央明纹解：当用透明薄片盖住 S 1 缝，以单色光照射时，经 S 1缝的光程，在相同的几何路程下增加了，于是原光程差的中央明纹位置从 O点向上移动，其他条纹随之平动，但条纹宽度不变。

依题意，图 中 O ' 为中央明纹的位置，加透明薄片后，①光路的光程为 r 1 e ne r 1 (n 1)e ；②光路的光程为 r 2 。

因为点是中央明条纹的 位置，其光程差为零，所以有 r 2 [r 1(n 1)e] 0 ，即r 2 r 1 (n 1)e⑴在不加透明薄片时，出现中央明条纹的条件为解：由于光垂直入射，光程上有半波损失，即2ne+ 2=k λ时，。

试求：透明薄片的折射率。

⑵由⑴式和式⑵可得( n 1)e k 所以介质的折射率为k n1 e依题意，代入已知条件和的数值得此介质薄片是云母片9.5 如题图 9.5 所示，在杨氏双缝干涉实验中，已知入射光的波长为 550nm ，缝距为 d=0.33cm ，缝与屏间距为 D=3m ，试求： ⑴条纹间距；⑵若在缝 S 2 前盖住 e=0.01mm 的平行平面玻璃， 试确定条纹的位移方向和计算位移的公式，又假设已知条纹⑵设在 S 2 缝前盖住玻璃片前后， 第 k 级明条纹分别出现在离屏幕3 550 102.85 10 1.58折射率。

D x d3 550 10 9 0.33 10 2 m 3 0.5 10 3 m 0.5mm中心O为x 和x'处，则与前后两明纹相对应的光程差分别为xkD' x k' d k (n 1) e kk因此该级明纹位移为'Dx k x k (1 n)ed因n>1，故x k' x k 0，即该级明纹向下移动。

若x'k x k 4.73mm ，则玻璃折射率为' 2 3n 1 d x k' x k 1 0.33 10 2 ( 4.73) 10 31.52n 1 1 3 1.52D e 3 0.01 10 3 讨论：因杨氏双缝干涉条纹宽度为x D，故上述条纹位移公式d又可写成x k'x k(1 n)e x ，由上式可见，附加光程差(n-1)e 每增加(或减少)一个波长，条纹就向下(或向上)移动一个条纹的距离，换句话说，第k 级条纹移到了原来第k-1 级(或第k+1 级)的位置。

就某一固定位置而言，光程差每增加一个波长，该处干涉条纹的级别就升了一级，或者说，原来第k 级条纹的位置将被原来第k+1 级所取代。

因此，上述结论具有普遍的意义。

9.6 折射率为的两块标准平板玻璃之间形成一个劈尖(劈尖角很小)用波长为的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹。

假如在劈尖内充满的液体时，相邻明纹间距比空气劈尖时的间距缩小，试求：劈尖角。

解：设空气劈尖时相邻明纹间距为，液体劈尖时相邻明纹间距为。

由明纹间距公式，和分别为则两种劈尖相邻明纹间距之差为所以劈尖角为9.7 白光从空气垂直照射到肥皂膜上。

在可见光的处有一个干涉极大，而在处有一个干涉极小。

设肥皂膜厚度是均匀的，其折射率。

试求：肥皂膜的最小厚度。

解：根据薄膜干涉的条件，计算膜厚关键是确定干涉条纹级数，依题意，仅根据干涉极大极小的条件是不能确定它们的干涉级数和的，还应考虑干涉条纹级数和必须是整数这个条件。

依题意，根据干涉极大和干涉极小的条件分别有由式和式可得即对上式两边同除以105 可得于是有因为和必须是整数，可设是整数即当时时将和的可能取值代入明纹或暗纹公式，即可求出相应的厚度。

从干涉理论分析，只要与此厚度相应的光程差不大于相干长度，则可取一系列数值，其中最小值与相对应，由式可得9.8 若用波长不同的光观察牛顿环，，结果观察到用时，第个暗环与用时第个暗环重合，已知透镜的曲率半径为，试求：用观察时，第级暗环的半径是多少如果用波长为的光做实验，发现它的第个明环与的第个明环重合，则波长是多少解：依题意故有所以根据暗环半径公式，已知，故有即其中故有即9.9 如题9.9 图所示在一块玻璃基片上交替镀上不同材料的多层介质膜，组成一个反射式滤波片，使他能对波长为的红光的反射率达以上，已知高折射率介质为，折射率为，低折射率介质为，折射率为。

试求：每层膜的最小厚度（设光线垂直照射）。

解：反射式滤色片是让反射光在膜的上表面干涉加强。

第一层为膜，厚度为，第二层为膜，厚度为，第三层为膜，厚度为，第四层为膜，厚度为，膜的层数愈多，总反射率愈高，但由于光的吸收，实际上层数不能过多，一般最佳值为15 层或17 层。

入射光在第一层膜上下表面反射形成的两束相干光，考虑到存在半波损失和垂直入射的条件，所以光程差为根据干涉加强条件依题意，要求镀的膜厚度最小，即故有所以同理，入射光在第二层膜上下表面反射形成的两束相干光，其光程差为所以依此类推，各层膜的厚度，即为上面所求之值。

9.11 波长为600nm平行光垂直照射到12cm 长的两块玻璃上，两块玻璃片一端相互接触，另一端加着一直径为d的金属丝, 若测得这12cm内有141条明纹, 则金属丝的直径为多少?9.12 一牛顿环, 凸透镜曲率半径为3000mm用, 波长的平行光垂直照射, 求第20 个暗环的半径.9.13 波长为的平单色光垂直的照射到缝宽为a= m的单缝上, 屏与缝相距D=1m,求中央明纹的宽度.9．14 用波长为0.63um激光束垂直照射到单逢上, 若测得两个第五级暗纹之间的距离为6.3nm, 屏与缝间的距离为5m,求单缝宽.解: 有单缝衍射公式:9.15 平行单色光照射到缝宽为a= 的单缝上, 缝后放有焦距为f=400mm凸透镜，其焦平面上放一屏幕，若在屏幕上测得第三级暗纹之间相距8mm,则入射光的波长为多少?解: 由单缝衍射得方程9.16 在夫琅单缝衍射实验中用单色光垂直照射缝面 , 已知入射光的波长为 500nm,第一级暗纹的衍射角为 30o , 试求:(1) 逢宽是多少 ?(2) 逢面所能分成的半波带数 .解 : 由单缝衍射得方程 :９．１７ 已知单缝的宽度为 0.6mm,会聚透镜的焦距等于 40cm,让光线垂直射入单缝平面，在屏幕上 x=1.4mm 处看到明条纹极大，如题 9。

17 图所示。

试求：(２)缝面所能分成的半 波带数。

解：(１)根据单缝衍射明 纹公式，有 依题意，有题图９。

１７可得所以入射光线的波长为在可见光范围内４０００ nm< <7600nm, 把一系列 k 的许可值代 (2) 根据题意，此时的成的半波带数为 2 个为半个波长的 2 倍，所以缝面分 １)入射光的波长及衍射级数；入上式中，求出符合题意的解。

令k=1, 求得，为红外光，不符合题意；令，求得，为红外光，不符合题意；令，求得，符合题意；令，求得，符合题意；，求得，为紫外光，符合题意所以本题有两个解：波长为的第３级衍射和波长为的第４级衍射。

（２）单缝波面在波长为６００nm时，可以分割成个半波带；在波长为时，单缝波面可以分割成个半波带。

９．１８一直径为２nm的氦氖激光器的激光束投射于月球表面，已知激光波长，月球和地面的距离为。

试求：（１）在月球上得到的光斑的直径有多大；（２）如果这激光束经扩展成直径为和时，试问月球表面的光斑将各为多大。

解：（１）激光经激光器出射孔时，将发生圆孔衍射，由于月球离地面足够远，可视为夫琅费圆孔衍射，月球上得到的光斑就是圆孔衍射的艾里斑。

由圆孔夫琅费衍射艾里斑的半角公式：可得光斑直径d 为式中Ｌ为月球到地球的距离代入数据，得（２）如果激光被扩成的倍，则光斑直径缩小到原来的倍，故此时的光斑直径为同理，当激光束直径扩成时，光直径，即光束直径扩展到原来斑直径为9.19 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距。

试求：在离车多远处的人恰能分辨这两盏灯，设夜间人的瞳孔直径，入射光波长为，车与人眼的距离为s. 解：假设所求距离s 只取决于眼睛瞳孔的衍射效应。

两灯对人眼的张角为由于眼睛的最小分辨角为故有即代入数据，得这就是恰能分辨两盏灯时，车与人眼的距离。

9．20 用一个每毫米500 条缝的衍射光栅观察钠光谱线，波长为589。

0nm,试求：（1）当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次；（2）当光线以30 度角斜入射时，能看到的光谱线的最高级次是多少。

解：（1）依题意，光栅常数为入射光垂直入射时，设能看到的最高级次为，根据光栅公式，有因为，即代入数据，得因为应取整数，所以9．21 衍射光栅有根刻线，它们均匀排列在的宽度上，此光栅为垂直入射的钠灯中的黄光所照射，此光系由波长为与的两根靠得很近的光谱线（钠双线）组成。

试求：（1）对于这两种波长中的第一种波长来说，其第一级极大出现在什么角位置上；（2）这两种谱线的第一级极大之间的角距离为多大。

解：（1）依题意，光栅常数为根据光栅公式依题意，，代入上式可得（2）由于，故可用微分方法直接计算两谱线的第一级极大之间的角距离。

由光栅公式，有两边微分，得由于，故可用实际波长差代替，就成为题目所要求的角距离，即代入数据，得589.59 589.00 1092.4 10解: 光栅衍射公式为 (a+b)sin k此即光栅上相邻两缝的间距(2) 当光栅衍射明条纹第四级缺级时 , 有 (a+b)=sin 4由单缝暗纹公式 asin k ' (k=1,2, ......... )由此得a b 4a k '因a b a从而1,故k ' 只能取 1,2,3. a b 44,2, a3但由缺级条件 (a b)sin kasin k '可知 , 若(a+b)/a=2, 则第二级明纹必定缺级 , 所以 ,(a+b)/a 只能 取 4 或4/3, 即a+b/a=4 或 a+b/a=4/3 由此得狭缝的宽度为 1a= (a+b)=1.5 10 6m4A= 3 (a+b)=4.5 10 6 m4(3) 在 0< <90. 的范围内 , 因光栅公式为 (a+b)sin =k (k=0,1,2 )K<a b 10因 k 为整数 , 所以 k=0,1,2, ...... ,9. 由此可知 , 无论 a 取何值 , 在-90< <90的范围内 , 可能出现的明条纹级次为 k=0, a b) sin 凡是,依题意 , k 2时，sin0.20,故 (a b)2 sin2 600 10m 6 10 3 mm0.202由缺级条件可知 , 在单缝衍射第 k '级暗纹处缺级时 , 有a b ka k '若取 a1(a b), 则4 a b ' ' 'k k ' 4k '(k ' 1, 2, )a因此 , 当k 4, 8时出现缺级 . 故在屏幕上呈现的全部级次只能是30, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9.若取 a (a b) , 则4a b k ' 4k ' a3因 k 和k '均为整数 , 故k 4, 8时缺级 . 故在屏幕上呈现的全部级 次与 a 41(a b)时相同 , 但两者的光强分布不相同 .9.23 用可见光 (400 --760nm) 照射光栅 , 一级光谱和二级光谱是 否重叠 ?二级和三级又如何 ?解:(1) 两级相邻光栅光谱要发生重叠现象， 则要求第 k 级光谱的 红光端( 760nm)所对应的衍射角大于第( k+1) 级光谱的紫光端 (400nm )所对应的衍射角。