数学分析（4）复习提纲第一部分 实数理论§1 实数的完备性公理一、实数的定义在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。

（1）域公理： （2）全序公理：（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='⋃3°x x A x A x '<⇒'∈'∀∈∀,则或A 中有最大元而A '中无最小元，或A 中无最大元而A '中有最小元。

评注 域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。

二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。

主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理：有限覆盖定理：（Heine-Borel ）聚点定理：(Weierstrass)致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。

习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。

习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。

评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间n R ？如何叙述？§2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理§3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义 评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。

（P173） 习题7 证明上面三种定义的等价性。

第二部分 级数理论§1 数项级数前言 级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。

上（下）极限是研究级数的一个有力工具。

对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题。

级数的收敛性与无穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。

一、Cauchy 收敛准则Λ++=∑∞=211u u un n几个概念 部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？ 收敛的必要条件∑∞=1n nu收敛⇒0→n u评注 此结论由1--=n n n S S u 两边取极限即得证，也可由下面的Cauchy 收敛准则得到。

要注意此性质与无穷积分有较大差别。

对于收敛的无穷积分⎰+∞adx x f )(即使0)(>x f 也不能推出)(0)(+∞→→x x f （参见反常积分）Cauchy 收敛准则∑∞=1n nu收敛⇔,,,,0p N n N ∀>∀∃>∀ε有ε<+++=-++++p n n n n p n u u u S S Λ21思考 正面叙述级数发散的Cauchy 准则。

加括号 对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。

也就是说收敛的级数满足结合律。

评注 只要认识到加括号后级数的部分和是原级数部分和的子列即可得到这一结论。

我们常常利用这一点证明一个级数的发散性，即先证明加括号的发散，从而推出原级数（去括号的）也发散。

二、正项级数正项级数的特点是部分和数列是单调递增的，由此得： 基本结论 正项级数收敛⇔其部分和有上界。

比较判别法：比较判别法的极限形式：评注 对于比较判别法，主要考虑n 充分大以后（0n n >）n u 与n v 的大小关系，因此极限形式更方便。

如果)0(lim+∞<<=l l v u nn，要认识到，当n 充分大时，n u 与n v 是“等价”的，即大小“差不多”，确切地说当0n n >时，存在正常数1c 和2c 使n n n v c u v c 21≤≤，由此n n n u c v u c 21'≤≤'。

如果0=l 或∞+，它们的“大小”关系如何？ 根式判别法 设l u nn =lim ，当1<l 时，∑nu收敛；当1>l 时，∑nu发散。

比式判别法 1lim1<=+q u u nn ，则∑n u 收敛； 1lim1>=+q u u nn ，则∑n u 发散。

习题1 证明上面根式判别法 习题2 证明nn n n n n n n u uu u u u 11lim lim lim lim++≤≤≤（0>n u ） 推论：l u l u u n n nn =⇒=+lim lim1评注 由习题2知，用比式判别法能判别的，用根式判别法一定能判别，但反之不然。

也就是说根式判别法比比式判别法更有效。

换言之，凡根式法无能为力时，比式法一定也无能为力。

但是，它们在判别发散时，却没有谁比谁有优势可言，都是用一般项不趋于零来推断的。

这一点要特别注意，我们在讨论幂级数的收敛半径时就要用到此结论。

习题3 考虑级数Λ++++++3322312131213121，说明根式法比比式法更有效。

评注 无论是比式判别法还是根式判别法，其实质都与等比级数∑ncq比较的，对于-p 级数∑p n 1必然失效。

（这种级数的通项比等比级数的通项收敛于零的速度要慢）。

如果与-p 级数比较还可以得到更细致的一些判别法，拉贝判别法就是其中之一。

积分判别法：拉贝判别法的极限形式：习题4 [P17，11（1）]用拉贝法判别级数∑+⋅-121!)!2(!)!12(n n n 的收敛性，并说明比式法与根式法都无效。

三、一般项级数评注 对一般项级数∑nu（有无穷多个正项，且有无穷多个负项），一般首先要考虑绝对收敛性（即∑nu是否收敛），如果是绝对收敛，当然原级也收敛，如果是用根式或比式判别法得到∑nu发散，则∑nu必发散（这在前面的评注中已经说过了）。

Leibniz 判别法：Able 引理：k k v u ,，n k ,,2,1Λ=是两数组，k u 单调，k k v v ++=Λ1σ，则)2(11n nk kk u u A vu +≤∑=，其中A k ≤σ对于形如∑nn ba 的级数，设{}n a 单调，把Able 引理用于∑++=pn n k kk ba 1)2(21p n n a a M +++≤其中M 满足：M S S bM bS b nb p n pn n k kn k kb n2)()(11)(≤-=⇒≤=+++==∑∑ 再结合Cauchy 准则，附加适当的条件使)2(21p n n a a M +++能充分小，便可得到Able 和Dirichlet 判别法D 判别法：（1）{}n a 单调；（2）0→n a ；（3）∑nb有界，则∑nn ba 收敛。

A 判别法：（1）{}n a 单调；（2）{}n a 有界；（3）∑nb收敛，则∑nn ba 收敛。

评注 记住A 和D 判别法的关键是记住Able 引理。

这两个判别法在函数项级数以及反常积分中还有不同的表现。

习题5 用D 判别法直接证明Leibniz 判别法和Able 判别法。

习题6 讨论级数Λ+-+-+-ααα61514131211（R ∈α）的收敛性。

提示：分0≤α，10<α<，1=α，1>α情况讨论。

答案：1=α时，收敛，其它发散。

习题7 利用级数收敛性，证明数列n nx n ln 1211-+++=Λ的极限存在。

（注：此极限称为Euler 常数Λ577216.0=）提示：把n x 看成某数列的部分和。

即11x a =，),3,2(1Λ=-=-n x x a n n n ，等价地要证明∑n a 收敛，)1(21)]1(211[1)11ln(12222no n n o n n n n n a n +-=+--+=-+=四、绝对收敛与条件收敛级数的性质重排定理：设∑nu绝对收敛，其和为S ，则任意重排后得到的新级数也绝对收敛且其和不变。

Riemann 定理：设∑nu条件收敛，又+∞≤≤≤∞-βα，则一定存在∑nu的重排级数∑'nu ，使其部分和nS '满足：α='nS lim ，β='nS lim 。

也就是说一个条件收敛的级数，适当重排后可收敛到任意指定的数，也可按任意指定的方式发散。

柯西定理：设∑nu和∑nv都绝对收敛，A un=∑，B v n =∑，则对所有乘积项j i v u 按任意顺序排列得到的新级数也绝对收敛且其和等于AB 。

评注 两个级数的乘积最常用的是对角线排列，即0110v u v u v u c n n n n +++=-Λ∑nc也称∑nu和∑nv的柯西乘积。

§2 函数项级数前言 函数列是数列的推广，由函数列的收敛又可定义函数项级数的收敛。

数列的极限（或数项级数的和）定义了一个数，而函数列的极限函数（或函数项级数的和函数）就定义了一个函数，这样定义的函数往往不是初等函数。

我们关心的是极限函数（或和函数）的分析性质（连续性、可微性、可积性）能否保留下来，实质是运算次序是否可交换的问题。

一、函数列（函数项级数）的一致收敛几个概念 对于函数列：逐点收敛（也称点态收敛）？收敛域？极限函数？一致收敛？对于函数项级数如何叙述以上概念？评注 逐点收敛是局部性质，完全就是数列的收敛问题。

而一致收敛是整体性质，是我们研究的重点。

思考 正面叙述不一致收敛。

用范数定义一致收敛 记)(sup x f f Dx ∈∞=（称为f 的一致范数或无穷大范数），如果)0(0)()(sup →→-=-∈∞n x f x f ff n Dx n ，则称)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f 。

评注 ∞-gf 就是两个函数的距离。

定义的等价性是显然的（见P29，Th13.2）。

这个定义往往使用起来更方便（参见P30，例3）。

二、函数项级数一致收敛的判别法Cauchy 准则： 必要条件：∑)(x un一致收敛⇒0)(→x u n （一致）M 判别法（控制收敛判别法）： Able 与Dirichlet 判别法：习题8 设),2,1(],,[)(Λ=∈n b a C x u n ，∑)(x un在),(b a 上一致收敛，证明：（1）∑∑)(),(b u a u n n收敛 （2）∑)(x un在],[b a 上一致收敛。