德州市实验中学12月份月考试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1．已知}1|{+==x y y M 、},1|),{(22=+=y x y x N 则集合N M 中元素的个数是A ．0B ．1C ．2D ．多个 2．设,,是非零向量，下列命题正确的是（ ）A ．)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅B ．222||||||2|||b +-=- C ．若与则|,|||||+==的夹角为60°D ．若b a b a b a 与则|,|||||-==的夹角为60°3．某小组有8名同学，从中选出2名男生、1名女生，分别参加数理化单科竞赛，每人参加一种共有90种不同的参赛方案，则男女生的个数应是（ ）（A ）男6女2 （B ）男5女3 （C ）男3女5 （D ）男2女64.过定点P (2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O 为原点）的面积最小，则l 的方程为 ( )（A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝05. 已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的半焦距,则a c b +的取值范围是 ( )A (1, +∞)B ),2(∞+C )2,1( D ]2,1(6.若某停车场能把12辆车排成一列停放，有8个车位停放车，而4个空位连在一起，这种事件发生的概率是( )A 、127CB 、8128C C 、129CD 、1210C7. 定义n n n n ni i n C C C C +++=∑= (100), 则101()nkn n k C ==∑∑的值为( )（A ）.1022 （B ）.1023 （C ）.2046 （D ）.20478. 已知椭圆)0,0(1)0(122222222>>=->>=+n m n y m x b a b y a x 与双曲线有相同的焦点（－c ，0）和（c ，0），若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心是 ( )（A ）．33（B ）．22（C ）．41（D ）．219.若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是( )（A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜110.一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是 ( )（A ）8568 （B ）2142 （C ）2139 （D ）113411. 如果直线04122=-++++=my kx y x kx y 与圆交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx ，表示的平面区域的面积是 ( )（A ）．41（B ）．21 （C ）．1 （D ）．212.已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，()0,g x ≠(1)(1)5()(),,(1)(1)2x f f f x a g x g g -=⋅+=- 在有穷数列)10,,2,1}()()({=n n g n f 中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1615的概率是（ ）A ．51B ．52 C ．53 D ．54德州市实验中学12月份月考试题 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．若函数f （x ＋2）＝⎩⎨⎧-)lg(tan x x ),0(),0(<≥x x 则f （4π＋2）· f （－98）的值为________14．过双曲线x 2－y 2＝4上任一点M(x 0,y 0)作它的一条渐近线的垂线段，垂足为N ，O 为坐标原点，则△MON 的面积是 .15．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘的序号16.令)()1()(1*+∈+=N n x x f a n n n 为的展开式中nx 项的系数，则数列}{n a 的前n 项和为 .三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，17．（本小题满分12分）若＝)sin ,cos 3(x x ωω，＝)0,(sin x ω,其中ω>0,记函数f （x ）=（＋）·＋k ．（1）若f （x ）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围． （2）若f （x ）的最小正周期为π，且当x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππ时，f （x ）的最大值是21，求f （x ）的解析式，18. （本题满分12分）已知函数)1(log )()()1(>==+a x f x g y x a 与的图象关于原点对称.（1）写出)(x g y =的解析式；（2）若函数m x g x f x F ++=)()()(为奇函数，试确定实数m 的值；19. （本题满分12分） 甲、乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的。

（Ⅰ）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；（Ⅱ）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率。

20. （本题满分12分）已知抛物线y 2 = 2px （ p >0）的焦点为F ，直线l 过定点A （1，0）且与抛物线交于P 、Q 两点.（1）若以弦PQ 为直径的圆恒过原点O ，求P 的值； （2）在（1）的条件下，若 FP + = FR ，求动点R 的轨迹方程.21. （本题满分12分）对于数列{a n }，定义{△a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中*)(1N n a a a n n n ∈-=∆+ ⑴若数列{a n }的通项公式}{*),(213252n n a N n n n a ∆∈-=求的通项公式； ⑵若数列{a n }的首项是1，且满足n n n a a 2=-∆， ①证明数列}2{n na 为等差为数列； ②求{a n }的前n 项和S n22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆),0(235:222>=+m m y x C 经过椭圆C 的右焦点F 且斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的中心，射线OM 交椭圆于N 点。

（Ⅰ）是否存在k ，使对任意m =+>总有,0成立？若存在，求出所有k 的值；（Ⅱ）若),4(213m m +-=⋅求实数k 的取值范围。

德州市实验中学12月份月考试题1．A 2．D 3．C 4. D5. D 6. C 7.C 8.D 9. A 10. B 11.A 12.C13.2 14．1 15．（1） 16. 2)3(+n n17.解∵=,sin )x x ωω ＝)0,(sin x ω∴＋=)sin ,sin cos 3(x x x ωωω+故f （x ）=（＋）＋k2sin xcow x x k ωωω++ ＝k x x k x x ++-=+-+212cos 212sin 2322cos 12sin 23ωωωω ＝21)62sin(++-k x πω …………………………4分 （1）由题意可知222T ππω=≥，∴1ω≤ 又ω>1，∴0≤ω≤1 ……………………………6分（2）∵T ＝πωπ=，∴ω＝1 ∴f （x ）=sin （2x －6π）＋k ＋21∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,262,6,6πππππx ………………8分从而当2x －6π＝6π即x=6π时f max （x ）=f （6π）=sin 6π＋k ＋21=k ＋1=21∴k =－21 故f （x ）=sin （2x －6π）…………………12分18．解：（1）设M （x ，y ）是函数)(x g y =图象上任意一点， 则M （x ，y ）关于原点的对称点为N （－x ，－y ） N 在函数)1(log )(+=x x f a 的图象上，)1(log +-=-∴x y a)1(log x y a --=∴…………………………………………………………6分（2）m x F x ax a +-=-+)1()1(log log )( 为奇函数.mm x F x F x ax ax ax a -+-=+-∴-=-∴-++-)1()1()1()1(log log log log )()(00log log log 211111=∴==+=∴+--+m m a xx a xx a……………………12分19. （Ⅰ）设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则.240,240<≤<≤y x且.44-<->-x y x y 或………………2分作出区域⎪⎩⎪⎨⎧-<->-<≤<≤.4,4,240,240x y x y y x 或……4分设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则.362524242020212)(=⨯⨯⨯⨯=A P ……6分（Ⅱ）当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足;4>-x y当乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出， 则满足.2>-y x ……………………8分设上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域。

⎪⎩⎪⎨⎧>->-<≤<≤.2,4,240,240y x x y y x 或………………………………10分 .2882215764422424222221202021)(==⨯⨯⨯+⨯⨯=B P ……12分20. 解：（1）①若直线为x = 1，将x = 1代入y 2 = 2px 得y 2 = 2p 以弦PQ 为直径的圆恒过原点 O ，所以有2p = 1∴ P = 1/2 ②若直线l 不是 x = 1时，设直线方程为： y = kx – k将y = kx – k 代入y 2 = 2px 得 k 2 x 2 - （2p + 2k 2）x + k 2 = 0① 设P （x 1，y 1） Q （x 2，y 2）则由韦达定理得： x 1 + x 2 = （2p + 2k 2）/ k 2x 1 x 2 =1 故 y 1y 2 = - 2p 又以弦PQ 为直径的圆恒过原点O ， ∴ x 1 x 2+ y 1y 2 =0= 1- 2p ， ∴ P = 1/2又 此时∆ = 4p 2 + 8pk 2 > 0综合①②得 P = 1/2.（2）设动点R 的坐标为（x ，y ），∵ ∴．∴ （-1/4，0） + （x 1，y 1） + （x 2，y 2）= （x ，y ）． ∴ x= x 1 + x 2 - 1/4，且 y =y 1 +y 2 ，①l 方程为 x= 1时，x= x 1 + x 2 - 1/4= 7/4 ，y =y 1 +y 2= 0；②当 l 方程不是 x= 1时，x=（2p +2k 2）/k 2– 1/4 y= k （x 1 + x 2） - 2k = 1/k 即得 ：x= 2p y 2 + 7/4 = y 2 + 7/4 所以 y 2 = x –7/4．又因为 点（7/4，0）在y 2= x –7/4上， ∴ 由①②得R 点的轨迹方程为：y 2= x –7/421．1）依题意n n n a a a -=∆+1，∴ 22513513[((1)(1)][]542222n a n n n n n ∆=+-+--=- （2）①由n n n n n n n n n n a a a a a a a 22,2211+==--=-∆++即得∴111222n n n n a a ++=+，即111222n n n n a a ++-= 1111,22a a == ，∴{}2n na 是以21为首项，21为公差的等差数列（6分）②由①得12222)1(21212-⋅=⋅=∴=-+=n nn nn n n a n n a （8分） ∴0111212222n n n s a a a n -=++⋅⋅⋅+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ① ∴12212222n n s n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ② ①－②得 n nnn n n n S 221212222112⋅---=⋅-++++=--∴221(1)21n n n n s n n =⋅-+=-+（12分）22.解：（I ）椭圆C ：)0,(,,2325,1232522222222m F m c m m m c my m x ∴==-==+……1分） 直线AB:y =k (x －m )，……………………………………………………2分⎪⎩⎪⎨⎧>=+-=).0(235),(222m m y x m x k y (10k 2+6)x 2－20k 2mx +10k 2m 2－15m 2=0.…………………………3分设A(x 1,y 1)、B(x 2，y 2)，则 610202221+=+k mk x x 6101510222221+-=k m m k x x ………………………………………………4分 则.6106)(,61010222221+-=-=+=+=k kmm x k y k k x x x m m m ……5分 若存在k ，使=+，M 为AB 的中点，∴M 为ON 的中点，)61012,61020()2,2(2222+-+==+∴=+∴k km k m k y x OM m m即N 点坐标为)61012,61020(222+-+k kmk m k .………………………………6分 由N 点在椭圆上，则,2)61012(31)61020(51222222m k km k m k =+-⨯++⨯……………………7分 即5k 4－2k 2－3=0.∴k 2=1或k 2=－53（舍）.故存在k=±使=+.…………………8分（Ⅱ）2121y y x x +=2221221221221)()1())((m k x x m k x x k m x m x k x x ++-+=--+= )4(21610)15(10610)15(610206101510)1(32222222222222222m m k m k k m k m k k m k m k k m m k k +-=+-+-=++⋅-+-⋅+=由分分且即分得14.07777.71,12201512.2)4(216101522222 ≠≤≤-∴≤--≤--≤+-=+-k k k k k m m k k。