2 1 2 2 T
144 4 x1 4 4 x 2
令 x1 12x1
11
x2 2x2
机械优化设计
1 f x x x x1 x2 x1 3
2 1 2 2
x2
T
可将Hession矩阵的主对角线元素全部化为1.
1 x1* x1 *， 12 1 x2 * x2 * 2
③ 提高运行的稳定性； 的准确性。 原则：不能改变约束的性质。
6
④ 提高运行解
机械优化设计
1. 设计变量应取相同的数量级 设计变量常存在量级差异: 模数:1-10毫米; 齿轮齿数:12-100多;杆长:几百—几 千毫米. 这在一维方法中选取初始进退距产生了困难. 改进办法: 将设计变量全部无量纲化和规格化. （1）用初始点的各分量进行标度
gu ( X ) 0
ku gu ( X ) 0
0 [ ]
ku 为正整数
（2）将约束条件规格化 例1 例2
[ ] g ( X ) 1
g ( X ) 0,1
a xi a xi b(b 0) 1 b b
xi a g2 ( X ) 0 b b
( 0) ˆ x xi xi ,i 1,2,...,n i
（2） 通过设计变量的变化范围进行标度 当有 xid xi xig ,i 1, 2,..., n xi xid ˆi g , 作变换 x n d i 1, 2,..., xi xi
ˆ i 的值在(0--1)变化. 这样可使 x 其反变换公式为
可自动满足.
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机械优化设计
4. 目标函数的尺度变换 对于二次函数, 若Hession矩阵的主对角线元素的大 小很悬殊, 则其等值线是一族扁平的椭圆. 利用梯度法和 共轭方向法求解时有困难—稍有计算误差,搜索方向便有 较大的偏离. 办法:通过变换,使Hession矩阵的主对角线元素变 为相同值.
例： f x 144 x 4 x 8 x1 x2 x1 , x2
3
③
机械优化设计
2、确定约束的注意点： 排除相关约束、重复约束等冗余约束、无效约束；
不应该出现矛盾约束；
尽可能改善约束函数的性态（以简单约束代替，或进 行尺度变换）；
采取措施减少约束数。
以提高效率、提高运行的稳定性，减少死机或得不到运行 解的可能性。
4
机械优化设计
3、减少约束数的措施： ① 变量代换： 例：min .
f x X x1 , x2 , x3
T
X R3
s.t . 0 x1 x2 x3 min . f ( y) Y y1 , y2 , y3
T
令 x1 y12 , x2 y12 y22 , x3 y12 y22 y32 ， 代入原模型： Y R3
(0) (0) ... xn 若初始点 X ( 0) x1( 0) x2 为优化问 ( 0) ˆ x x / x 题的近似解, 可改用 i i i ,i 1, 2,..., n 作设 计变量. T
7
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ˆ (0) 1 1 ... 1T 新问题的初始点应为: X
求出最优解后再转换成原设计变量:
xi g1 ( X ) 1 0 b
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机械优化设计
3. 尽量降低维数和减少约束条件
1. 尽可能消去等式约束 2. 去掉消极约束 3. 通过变换减少约束 如
a x b, (a, b 0)
作代换
x a (b a) sin 2 y
可消去上述两约束. 因为
当x a时, sin 2 y 0 当x b时, sin 2 y 1
② 对设计指标、设计质量有显著影响 —— 作用明显；
③ 能直接控制的独立参数
1
—— 无相关性。
机械优化设计
3、降低维数的措施： ① 作常数处理： 将一些不太重要的、对设计质量影响不太大、本身 变化不太大的参数，作为常数赋值。 ② 变量联结： 根据设计规范或经验公式，得出各变量之间的关 系，可作为因变量的参数，以函数形式表达，实现变 量联结。 例如，齿轮设计。m, Z 为基本变量，其它变量均 可用这两个变量来表达，D = mZ, b= a1m, c= a2m, d0= a3m ……其中a1, a2, a3……是根据经验、工艺、结构 强度等选择的常数。 这种方法可减少不少变量，但需要注意：不可牵 强，造成设计不合理，或设计空间过小。
（无约束）
② 约束的暂时消除： 在迭代的过程中，对于一些当前无效的约束， 暂时性消除，只留下有效约束。
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机械优化设计
三、目标函数： 子目标函数不是越多越好，可先少后加； 目标函数也不是越复杂越好，可先简化后接近实际。 函数过于复杂，则非线性程度高，出现病态、非凸 性、H(x) 矩阵奇异等，影响优化过程的稳定性和运算 结果的准确性，甚至会出现不收敛现象。 四、数学模型的尺度变换 目的：① 改善函数的性态； ② 加速收敛；
ˆi ( xig xid ) xid ,i 1, 2,..., xi x n
* 也可通过调整单位来达到目的.
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机械优化设计
2. 各约束函数值应取相同的数量级 (使约束条件的灵敏度变化均衡) 利用罚函数法解题时,灵敏度高的先满足, 灵敏 度低的则很难满足. （1）利用系数来调整约束的数量级
机械优化设计
7.1 数学模型的改进处理
一、设计变量 1、设计变量的数目 数学模型的规模有关。
设计变量数 n 增加时，维数增加，维数太高，影响运 算速度和效率，函数的凸性等不容易判断。
当设计变量数 n 减少时，设计空间变小，设计的自由 度减小，维数太少时，影响优化设计的质量。
2、设计变量的选择原则： ① 本身可在较大范围内变化 —— 有变化性；
1 1
* 因要用到二阶导数, 较麻烦.
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2
机械优化设计
采用相对变量： 例如，四杆机构的设计中，以曲柄 l1的长度为单位长 度，其它各杆的长度均以相对长度表示，l2 / l1， l3 / l1，l4 / l1。 这种方法不仅可减少变量数，而且转化成无量纲的设 计变量后，改善了目标函数、约束函数的性态。 二、约束函数： 1、约束的数量： 约束数量过多，数学模型的规模偏大，同时使得可行 域偏小，限制了优化设计的范围，影响了优化质量。 约束数量过少，可能使可行域不封闭、包含不了所有 的设计变量。