2.函数 f (x 1, x 2 ) = x 12 + x 22 - 4x 1x 2 + 5 在 X 0 = ⎢ ⎥ 点处的梯度为 ⎢ ⎥ ，海赛矩阵为 ⎢⎦机械优化设计期末复习题一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 、约束条件。

⎡2⎤ ⎡-12⎤ ⎣4⎦⎣ 0 ⎦⎡ 2 ⎣-4-4⎤ 2 ⎥3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。

4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简洁。

5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一 种方法。

6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。

7.最速下降法以负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较 慢。

8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是 ∇f (X 0 ) = 0 , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。

10 改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11 坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优 化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束。

13．目标函数是 n 维变量的函数，它的函数图像只能在 n+1,空间中描2 X (2) = [ , ]T为述出来，为了在 n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。

14.数学规划法的迭代公式是 X k +1 = X k + αk d k，其核心是 建立搜索方向， 和计算最佳步长 。

15 协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。

16.机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。

二、选择题 1、下面 方法需要求海赛矩阵。

A 、最速下降法B 、共轭梯度法C 、牛顿型法D 、DFP 法2、对于约束问题min f (X ) = x 1+ x 2 - 4x 2 + 4 g 1 (X ) = x 1 - x 2 -1 ≥ 0 g 2 (X ) = 3 - x 1 ≥ 0 g 3 (X ) = x 2 ≥ 0根据目标函数等值线和约束曲线，判断 X (1) = [1,1]T 为 ，5 1 2 2。

A ．内点；内点B. 外点；外点C. 内点；外点D. 外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解__________优化问题。

A 无约束优化问题B只含有不等式约束的优化问题C只含有等式的优化问题D含有不等式和等式约束的优化问题4、拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的一种经典方法，它是一种___________。

A、降维法B、消元法C、数学规划法D、升维法5、对于一维搜索，搜索区间为[a，b]，中间插入两个点a1、b1，a1<b1，计算出f(a1)<f(b1)，则缩短后的搜索区间为___________。

A[a1，b1]B[b1，b]C[a1，b]D[a，b1]6、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。

A设计变量B约束条件C目标函数D最佳步长7、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽f(x k)，下列不属于H k必须满足的条件的是________。

A.H k之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C.与海塞矩阵正交D.对称正定8、函数f(X)在某点的梯度方向为函数在该点的。

A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向9、下面四种无约束优化方法中，__________在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。

A梯度法B牛顿法C变尺度法D坐标轮换法10、设f(X)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f(X)在R 上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处。

A正定B半正定C负定D半负定11、通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是A牛顿法B梯度法C共轭梯度法D变尺度法12、一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速度。

A、慢B、快C、一样D、不确定13、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是，假设要求在区间[a，b]插入两点α1、α2，且α1<α2。

A、其缩短率为0.618B、α1=b-λ（b-a）C、α1=a+λ（b-a）D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。

14、与梯度成锐角的方向为函数值方向，与负梯度成锐角的方向为函数值方向，与梯度成直角的方向为函数值方向。

A、上升B、下降C、不变D、为零15、二维目标函数的无约束极小点就是。

A、等值线族的一个共同中心B、梯度为0的点C、全局最优解D、海塞矩阵正定的点16、最速下降法相邻两搜索方向d k和d k+1必为向量。

A相切B正交C成锐角D共轭17、下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是。

A需要求海赛矩阵B除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度C共轭梯度法具有二次收敛性D第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度18、下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是。

A可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。

B惩罚因子是不断递减的正值C初始点应选择一个离约束边界较远的点。

D初始点必须在可行域内三、问答题1．什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？1）内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。

内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。

内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于0的数列。

相邻两次迭代的惩罚因子的关系为r k=cr k-1(k=1,2,⋅⋅⋅)c为惩罚因子的缩减系数，其为小于1的正数，通常取值范围在0.1~0.72）外点惩罚函数法简称外点法，这种方法新目标函数定义在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。

外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。

外点惩罚函数法的惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列。

惩罚因子按下式递增r k=cr k-1(k=1,2,⋅⋅⋅)，式中c为惩罚因子的递增系数，通常取c=5~10( ). . 1 0s t g x x= - ≤⎪⎩( )min f X = ()1 21x x ++ 2 2 22．为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？.答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。

共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。

其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。

所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。

四、计算题1、用外点法求解此数学模型⎧⎪min F (X ) = x ⎨2 将 f (x ) = 2x 1 + 6x 2 + 2x 1x 2 + 2x 1 + 3x 2 +3 写成标准二次函数矩阵的形式。

min f (X ) = x 1 + x 23 用外点法求解此数学模型 ： s .t .g 1 (X ) = x 1 - x 2 ≤ 0g 2 (X ) = -x 1 ≤ 04 求出 f (x ) = 2x 1 - 6x 1 + 2x 2 - 4x 2 + 20 的极值及极值点。

1 335 用外点法求解此数学模型 ： s .t .g 1 (X ) = -x 1 +1 ≤ 0 g 2 (X ) = x 2 ≥ 0（提示：可构造惩罚函数φ (x , r ) = f (x ) - r ∑ ln [g u (x )]，然后用解析法求解。

T T TT 0 T 0 T6．用内点法求下列问题的最优解：min f (x ) = x 12 + x 2 - 2x 1 + 1 s ⋅ tg 1 = 3 - x 2 ≤ 02u =1）。

7.设已知在二维空间中的点 x = [x 1 x 2 ] ，并已知该点的适时约束的梯度∇g = [- 1 - 1] ，目标函数的梯度 ∇f = [- 0.5 1] ，试用简化方法确定一个适用的可行方向。

8. 用梯度法求下列无约束优化问题：Min F(X)=x 12+4x 22，设初始点取为X (0)=[2 2]T ，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为 5。

9. 对边长为 3m 的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？建立该问题的优化设计的数学模型。

10. 已知约束优化问题：min f (x ) = 4x 1 - x 2 - 12s ⋅ tg 1(x ) = x 12 + x 2 - 25 ≤ 0 g 2 (x ) = -x 1 ≤ 0 g 3 (x ) = -x 2 ≤ 0试以 x 10 = [2 1] , x 2 = [4 1] , x 3 = [3 3] 为复合形的初始顶点，用复合形法进行一次迭代计算。

11.使用黄金分割法确定函数 f (x ) = 3x 3 - 4x + 2 的极值点。

初始点( ) ( ) 21 2min 2f Xx x = - + 2 2x 0 = 0, h = 1,ε = 0.8 。

（使用进退法先确定初始区间）12. 用阻尼牛顿法求函数 f (X ) = x 1 + 25x 2 的极小点。

13. 利用库恩-塔克条件判断 X * = [1, 0]点是不是下列优化设计数学模型的极值点？2s .t . g 1 (X ) = x1 + x2 -1 ≤ 0 g 2 (X ) = -x 1 ≤ 0 g3 (X ) = -x 2 ≤ 0四、解答题1、试用梯度法求目标函数 f(X)=1.5x 12+0.5x 22- x 1x 2-2x 1 的最优解，设初始点 x (0)=[-2，4]T ,选代精度 ε=0.02（迭代一步）。

2、试用牛顿法求 f( X)=(x 1-2)2+(x 1-2x 2)2 的最优解，设初始点 x (0)=[2,1]T 。

3、设有函数 f(X)=x 12+2x 22-2x 1x 2-4x 1，试利用极值条件求其极值点和极值。

4、求目标函数 f( X )=x 12+x 1x 2+2x 22 +4x 1+6x 2+10 的极值和极值点。

5、试证明函数 f( X )=2x 12+5x 22 +x 32+2x 3x 2+2x 3x 1-6x 2+3 在点[1，1，-2]T处具有极小值。

6、给定约束优化问题min f(X)=(x 1-3)2+(x 2-2)2] 8、用共轭梯度法求函数 f (x 1, x 2 ) = x 12 + x 22 - x 1x 2 - 2x 1 的极小点。