循环冗余校验码( CRC)的基本原理是：在K 位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N 位，因此，这种编码又叫( N，K)码。

对于一个给定的(N，K)码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x) 。

根据G(x) 可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。

校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x) 左移R位，则可表示成C(x)*2 的R次方，这样C(x) 的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。

通过C(x)*2 的R次方除以生成多项式G(x) 得到的余数就是校验码。

编辑本段几个基本概念1、多项式与二进制数码多项式和二进制数有直接对应关系：x 的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。

可以看出：x 的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。

多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x) 。

如生成多项式为G(x)=x^4+x^3+x+1 ，可转换为二进制数码11011。

而发送信息位1111 ，可转换为数据多项式为C(x)=x^3+x^2+x+1 。

2、生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。

在发送方，利用生成多项式对信息多项式做模2 除生成校验码。

在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2 除检测和确定错误位置。

应满足以下条件：a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。

b、当被传送信息( CRC码)任何一位发生错误时，被生成多项式做除后应该使余数不为0。

c、不同位发生错误时，应该使余数不同。

d、对余数继续做除，应使余数循环。

3 CRC码的生成步骤1、将x 的最高次幂为R的生成多项式G(x) 转换成对应的R+1位二进制数。

2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2 的R次方。

3、用生成多项式(二进制数)对信息码做除，得到R 位的余数。

4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。

例】假设使用的生成多项式是G(x)=x^3+x+1 。

4 位的原始报文为1010，求编码后的报文。

解：1、将生成多项式G(x)=x^3+x+1 转换成对应的二进制除数1011。

2、此题生成多项式有4 位( R+1)，要把原始报文C(x) 左移3(R)位变成10100003、用生成多项式对应的二进制数对左移3 位后的原始报文进行模2 除，相当于按位异或：1010000101110001011011得到的余位011，所以最终编码为：1010011编辑本段生成CRC码的基本原理任意一个由二进制位串组成的代码都可以和一个系数仅为‘0'和‘ 1'取值的多项式一一对应。

例如：代码1010111 对应的多项式为x6+x4+x2+x+1，而多项式为x5+x3+x2+x+1 对应的代码101111。

编辑本段CRC码集选择的原则若设码字长度为N，信息字段为K 位，校验字段为R位(N=K+R)，则对于CRC 码集中的任一码字，存在且仅存在一个R 次多项式g(x) ，使得V(x)=A(x)g(x)=xRm(x)+r(x);其中: m(x) 为K次原始的信息多项式，r(x) 为R-1 次校验多项式(即CRC 校验和)，g(x) 称为生成多项式：g(x)=g0+g1x1+ g2x2+...+g(R-1)x(R-1)+gRxR发送方通过指定的g(x) 产生CRC码字，接收方则通过该g(x) 来验证收到的CRC码字。

编辑本段CRC校验码软件生成方法：借助于多项式除法，其余数为校验字段。

例如：信息字段代码为: 1011001 ；对应m(x)=x6+x4+x3+1 假设生成多项式为：g(x)=x4+x3+1 ；则对应g(x) 的代码为: 11001 x4m(x)=x10+x8+x7+x4 对应的代码记为：；采用多项式除法: 得余数为: 1010 ( 即校验字段为：1010) 发送方：发出的传输字段为: 1 0 1 1 0 0 1 1010 信息字段校验字段接收方：使用相同的生成码进行校验: 接收到的字段/生成码(二进制除法) 如果能够除尽，则正确，给出余数( 1010)的计算步骤：除法没有数学上的含义，而是采用计算机的模二除法，即，除数和被除数做异或运算。

进行异或运算时除数和被除数最高位对齐，按位异或。

^1100100000^1100100^1100100111000111000^ 11001001010则四位CRC监督码就为：1010。

利用CRC进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传送的k 位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r 位监督码(CRC码) ，附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共k+r 位，然后发送出去。

在接收端，根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以确定传送中是否出错。

这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式” 。

编辑本段代数学的一般性算法在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。

例如1100101 表示为1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0· x+1，即x6+x5+x2+1 。

设编码前的原始信息多项式为P(x) ，P(x) 的最高幂次加1 等于k；生成多项式为G(x) ，G(x)的最高幂次等于r ；CRC多项式为R(x) ；编码后的带CRC的信息多项式为T(x) 。

发送方编码方法：将P(x) 乘以xr( 即对应的二进制码序列左移r 位) ，再除以G(x) ，所得余式即为R(x) 。

用公式表示为T(x)=xrP(x)+R(x)接收方解码方法：将T(x) 除以G(x) ，得到一个数，如果这个余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。

举例来说，设信息编码为1100，生成多项式为1011，即P(x)=x3+x2 ，G(x)=x3+x+1 ，计算CRC的过程为xrP(x) =x3(x3+x2) = x6+x5 G(x)= x3+x+1 即R(x)=x 。

注意到G(x) 最高幂次r=3，得出CRC为010。

如果用竖式除法( 计算机的模二，计算过程为1110 ---- 1011 /1100000 (1100 左移3 位) 1011 1110 10111010 1011 0010 0000 010 因此，T(x)=(x6+x5)+(x)=x6+x5+x, 即1100000+010=1100010如果传输无误，T(x)= (x6+x5+x)/G(x) = x3+x2+x, G(x)= x3+x+1 无余式。

回头看一下上面的竖式除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1 时，就能除尽。

上述推算过程，有助于我们理解CRC的概念。

但直接编程来实现上面的算法，不仅繁琐，效率也不高。

实际上在工程中不会直接这样去计算和验证CRC。

下表中列出了一些见于标准的CRC资料：名称生成多项式简记式* 应用举例CRC-4 x4+x+1 3 ITUCRC-12 x12+x11+x3+x+1CRC-16 x16+x15+x2+1 8005 IBM SDLCCRC-ITU** x16+x12+x5+1 1021 ISO HDLC, ITU , , PPP-FCSCRC-32 x32+x26+x23+...+x2+x+1 04C11DB7 ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCSCRC-32c x32+x28+x27+...+x8+x6+1 1EDC6F41 SCTP* 生成多项式的最高幂次项系数是固定的1 ，故在简记式中，将最高的1 统一去掉了，如04C11DB7实际上是104C11DB。

7 ** 前称CRC-CCITT。

ITU 的前身是CCITT。

备注：(1)生成多项式是标准规定的 (2)CRC校验码是基于将位串看作是系数为0或1的多项式，一个k 位的数据流可以看作是关于x的从k-1 阶到0 阶的k-1 次多项式的系数序列。

采用此编码，发送方和接收方必须事先商定一个生成多项式G(x) ，其高位和低位必须是1。

要计算m位的帧M(x) 的校验和，基本思想是将校验和加在帧的末尾，使这个带校验和的帧的多项式能被G(x) 除尽。

当接收方收到加有校验和的帧时，用G(x) 去除它，如果有余数，则CRC校验错误，只有没有余数的校验才是正确的。

(3) 名称生成多项式简记式* 标准引用CRC-4 x4+x+1 3 ITU CRC-8 x8+x5+x4+1 0x31 CRC-8 x8+x2+x1+1 0x07 CRC-8 x8+x6+x4+x3+x2+x1 0x5E CRC-12 x12+x11+x3+x+1 80F CRC-16 x16+x15+x2+1 8005 IBM SDLCC RC16-CCITTx 16+x12+x5+1 1021 ISO HDLC,ITU ,, PPP-FCS CRC-32x32+x26+x23+...+x2+x+1 04C11DB7 ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS CRC-32c x32+x28+x27+...+x8+x6+1 1EDC6F41 SCTP。