八年级数学全等三角形中考真题专项练习一、填空题1.如图1，和是分别沿着边翻折形成的，若ABE △ACD △ABC △AB AC ，180 ，则150BAC ∠= θ∠答案： 60度二、解答题：1、如图，要测量河两岸相对的两点A 和B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，再作BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 三点在同一直线上。
（1）若CD = BC ，这时测得DE 的长就是AB 的距离，为什么？（2）若CD ≠ BC ，量得BC=10米、CD=20米、DE=30米，你能求出A 、B 间的距离吗？解：（1）证明：△ABC ≌△EDC （4分）（2）证明△ABC ∽△EDC ，（2分）（2分）10,152030AB AB ==2、如图，在□ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE=CF ．求证：BE=DF ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形-----------------------∴AB//=CD------------------------------2分∴∠BAE=∠DCF ----------------------------------------4分又∵AE=CF-----------------------------------------------∴⊿ABE ≌⊿DCF （SAS ）----------------------------6分∴BE=DF --------------------------------------------------8分C第1题图3. 如图，已知△ABC ，∠ACB=90º，AC=BC ，点E 、F 在AB 上，∠ECF=45º， （1）求证：△ACF ∽△BEC （5分） （2）设△ABC 的面积为S ，求证：AF·BE=2S （3）答案：证明：(1) ∵ AC=BC ，∴ ∠A = ∠B ∵ ∠ACB=90º， ∴ ∠A = ∠B = 45 0， ∵ ∠ECF= 45º， ∴ ∠ECF = ∠B = 45º， ∴ ∠ECF ＋∠1 = ∠B ＋∠1 ∵ ∠BCE = ∠ECF ＋∠1，∠2 = ∠B ＋∠1； ∴ ∠BCE = ∠2， ∵ ∠A = ∠B ，AC=BC ， ∴ △ACF ∽△BEC 。
(2)∵△ACF ∽△BEC ∴ AC = BE ，BC = AF ， ∴△ABC 的面积：S =AC·BC = BE·AF 2121∴AF·BE=2S. 4、如图，以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1），直线x=1交x 轴于点B 。
P 为线段AB 上一动点，作直线PC ⊥PO ，交直线x=1于点C 。
过P 点作直线MN 平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线x=1于点N 。
（1）当点C 在第一象限时，求证：△OPM ≌△PCN ； （2）当点C 在第一象限时，设AP 长为m ，四边形POBC 的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x=1上移动，△PBC 是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰直角三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由。
答案：（1）∵OM ∥BN ，MN ∥OB ，∠AOB=900， ∴四边形OBNM 为矩形。
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900 ∵，AO=BO=1，AM PMAO BO ∴AM=PM 。
∴OM=OA-AM=1-AM ，PN=MN-PM=1-PM ， ∴OM=PN ， ∵∠OPC=900， ∴∠OPM+CPN=900， 又∵∠OPM+∠POM=900 ∴∠CPN=∠POM ，∴△OPM ≌△PCN. （2）∵AM=PM=APsin450， ∴，∴； ∴=1 （3）△PBC 可能为等腰三角形。
①当P 与A 重合时，PC=BC=1，此时P （0，1） ②当点C 在第四象限，且PB=CB 时， 有BN=PN=1， ∴-m ，∴NC=BN+BC=1-m ， 7分 由⑵知：， ∴1， ∴m=1. 8分 ∴，BN=1=1， ∴P ,1）.∴使△PBC 为等腰三角形的的点P 的坐标为（0，1,1） 10分5.如图2点在同一直线上，,C E B F ，，，AC DF ∥，.求证：．AC DF =BC EF =AB DE =答案：易证: △ABC ≌△DEF(SAS),得AB=DE.AFBECD6.△ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上. Ⅰ.证明：△BDG ≌△CEF ；Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa 和Ⅱb 的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa 的解答记分.Ⅱa . 小聪想：要画出正方形DEFG ，只要能计算出正方形的边长就能求出BD 和CE 的长，从而确定D 点和E 点，再画正方形DEFG 就容易了.设△ABC 的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，) .Ⅱb . 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：①在AB 边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；ABCDEFG图3ABCD EFG②连结BF’并延长交AC 于F ；③作FE ∥F’E’交BC 于E ，FG ∥F ′G ′交AB 于G ，GD ∥G’D’交BC 于D ，则四边形DEFG 即为所求.你认为小明的作法正确吗？说明理由.答案:Ⅰ.证明：∵DEFG 为正方形，∴GD =FE ，∠GDB =∠FEC =90°∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 ∴△BDG ≌△CEF (AAS ) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分Ⅱa .解法一：设正方形的边长为x ，作△ABC 的高AH ，求得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分3=AH由△AGF ∽△ABC 得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分332x x -=解之得：(或) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分3232+=x 634-=x 解法二：设正方形的边长为x ，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分22xBD -= 在Rt △BDG 中，tan ∠B =，BDGD∴∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分322=-x x解之得：(或) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分3232+=x 634-=x 解法三：设正方形的边长为x ，BD EE ′D ′BDEH则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分x GB xBD -=-=2,22 由勾股定理得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分22222()2(x x x -+=-解之得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分634-=x 7.如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，∠ED ⊥AB 于F ，（1）判断△DCE 的形状；（2）设⊙O 的半径为1，且OF =，213-求证△DCE ≌△OCB ．答案:（1）△CDE 为等腰三角形；（2）CE =AE -AC ==BC ，又∠OCB =∠ACB -∠3ACO =90°-60°=30°=∠ABC ，故△CDE ≌△COB ．8.如图△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF ∥AB （1）求证：四边形EFCD 是菱形；（2）设CD ＝4，求D 、F 两点间的距离．答案:（1） 证AB//CD ，DE //CF ，又∵EF //AB ，∴EF //CD ，∴四边形EFCD 是菱形；（2）DF =．349.两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt AOB △和Rt CED △，按如图一所示的位BD置放置，点O 与E重合．（1）Rt AOB △固定不动，Rt CED △沿x 轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点E 运动到与点B 重合时停止，设运动x 秒后，Rt AOB △和Rt CED △的重叠部分面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）当Rt CED △以（1）中的速度和方向运动，运动时间2x =秒时， Rt CED △运动到如图二所示的位置，若抛物线214y x bx c =++过点A G ，，求抛物线的解析式；（3）现有一动点P 在（2）中的抛物线上运动，试问点P 在运动过程中是否存在点P 到x 轴或y 轴的距离为2的情况，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案:解：（1）由题意知重叠部分是等腰直角三角形，作GH OE ⊥．2OE x ∴=，GH x =，211222y OE GH x x x === （03x ≤≤）（2）(66)A ，）当2x =时，224OE =⨯=．22OH GH ∴==，，(22)G ∴，．16366412424b c b c⎧=++⎪⎪∴⎨⎪=++⎪⎩ ， 13b c =-⎧∴⎨=⎩，2134y x x ∴=-+．（3）设()P m n ，．当点P 到y 轴的距离为2时，有||2m =，∴2m =±．当2m =时，得2n =，当2m =-时，得6n =．当点P 到x 轴的距离为2时，有||2n =．2134y x x =-+ 21(2)204x =-+>2n ∴=．当n 2=时，得2m =．综上所述，符合条件的点P 有两个，分别是1(22)(26)P P -，，，．10.如图，A 、E 、B 、D 在同一直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB=DE ，AC=DF ，AC ∥DF 。