16、全等三角形要点一：三角形的全等判定及其应用 一、选择题1.(2009·江西中考)如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定败涂地ABC ADC △≌△的是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠【解析】选C.根据SSS 可知添加A 正确，根据SAS 可知添加B 正确, 根据HL 可知添加D 正确.2.（2009·江苏中考）如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组D ．4组【解析】选C. ①②③均可.3.（2009·太原中考）如图，ACB A CB ''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）A.20°B.30°C.35°D.40°C E【解析】选B.由ACB A CB ''△≌△得A C B BCA ''∠=∠, ∴ACA '∠.30='∠='∠-''∠='∠-∠=B BC A BC B C A A BC BCA4.（2010·温州中考）如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则图中与△ABC 全等的三角形共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】选D.在矩形ABCD 中，△CDA 、△BAD 、△DCB 都和△ABC 全等，由题意不难得出四边形ＡＣＥＤ为平行四边形，得出△ＤＣＥ也和△ABC 全等．5.（2009·黄冈中考）在△ABC 和C B A '''∆中，∠C ＝C '∠，且b-a=a b '-',b+a=a b '+',则这两个三角形（ ）A.不一定全等B.不全等C.全等，根据“ASA”D. 全等，根据“SAS” 【解析】选D.由b-a=a b '-',b+a=a b '+'可得a a '=，b b '=，又∠C ＝C '∠，根据“SAS”，可得这两个三角形全等.6.（2010·凉山中考）如图所示，90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM △≌△．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】选C∵90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =,∴△ABE ≌△ACF, ∴∠EAB=∠FAC,∴FAN EAM ∠=∠∴△EAM ≌△FAN,∴EM FN =.易证△ACN ≌△ABM.AEFB CDMN7.（2007·诸暨中考）如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（ ）（A ）甲乙 （B ）甲丙 （C ）乙丙 （D ）乙 答案：选C. 二、填空题8.（2009·清远中考）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠=【解析】3040110180180=--=∠-∠-=∠B A C ,由111ABC A B C △≌△得1C ∠= 30=∠C答案： 309、（2009·怀化中考）如图，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是 （写出一个即可）．【解析】如AE=AC 或∠B ＝∠D ． 答案：AE=AC （答案不唯一）；10、（20XX 年·龙岩中考）如图，点B 、E 、F 、C 在同一直线上． 已知∠A =∠D ，∠B =∠C ，要使△ABF ≌△DCE ，需要补充的一个条件是 （写出一个即可）．A CEBD答案：AB = DC （填AF=DE 或BF=CE 或BE =CF 也对）11.（2010·兰州中考）如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD = 2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ．【解析】过点E 作EF ⊥AF 交AD 的延长线于点F ，过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ， 因此四边形ABMD 是矩形，则BM=AD=2,且∠EFD=∠DMC=90°, 根据题意可知DE=DC,∠EDC=90°,因此∠EDF+∠CDF=90°, 又因为∠CDM+∠CDF=90°,所以∠EDF=∠CDM ，从而△EDF ≌△MCD,CM=EF,因为△ADE 的面积为3，AD = 2， 所以EF=3,所以BC=BM+CM=5. 答案：512、（2008·黑河中考）如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件： ，使OC OD =（只添一个即可）．答案：C D ∠=∠或ABC BAD ∠=∠或AC BD =或OAD OBC ∠=∠ 三、解答题13.（2009·宜宾中考）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CB,AD=CD.求证：∠C=∠A.【证明】 因为AB=CB,AD=CD ， 又因为BD=BD ， 所以△ABD ≌△CBD ， 所以∠C=∠A.14、（2010·黄冈中考）如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由。

【解析】提示：由∠H ＝∠FCE ，AH ＝CE ，∠HAE ＝∠CEF 可证△HAE ≌△CEF ，从而得到AE ＝EF.15、 (2009·武汉中考)如图，已知点E C ，在线段BF 上，BE CF AB DE ACB F =∠=∠，∥，．求证：ABC DEF △≌△．【证明】AB DE B DEF ∴∠=∠∥，．BE CF BC EF =∴=，．ACB F ABC DEF ∠=∠∴，△≌△16.（2009·洛江中考）如图，点C 、E 、B 、F 在同一直线上，AC ∥DF ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，求证：AB=DE.【证明】∵AC ∥DF ，∴F C ∠=∠ 在中和DFE ACB ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC F C DF AC ⇒和DFE ACB ∆≌中和DFE ACB ∆∆，∴AB=DE. 17、（2010·潼南中考）如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. (1)证明：△ABE ≌△DAF ； （2）若∠AGB=30°，求EF 的长.【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，在△ABE 和△DAF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠3412DA AB ，∴△ABE ≌△DAF.（2）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠1+∠4=90o ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90o ∴∠AFD=90oABDEF 1423在正方形ABCD 中， AD ∥BC, ∴∠1=∠AGB=30o在Rt △ADF 中，∠AFD=90o AD=2 , ∴AF=3 , DF =1, 由(1)得△ABE ≌△ADF, ∴AE=DF=1,∴EF=AF-AE=13-.18、(2009·福州中考)如图，已知AC 平分∠BAD ，∠1=∠2，求证：AB=AD.证明：∵AC 平分∠BAD ∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ． ∵∠1=∠2∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ． 在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中,,BAC DAC ABC ADC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（ＡＡＳ）． ∴ＡＢ＝ＡＤ．19、（2009·吉林中考）如图， ,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点，，平分交于点，请你写出图中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．【解析】（1）ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、ABE ACD △≌△（写出其中的三对即可）.（2）以△ADB ≌ADC 为例证明． 证明：,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.在Rt ADB △和Rt ADC △中，,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.要点二、角平分线的性质与应用 一、选择题1、（2009·温州中考）如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A.PA PB =B.PO 平分APB ∠C.OA OB =D.AB 垂直平分OP【解析】选D.由OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，可得PA PB =，由HL 可得Rt △AOP ≌Rt △BO P ，所以可得PO 平分APB ∠，OA OB =.2、(2009·牡丹江中考)尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS【解析】选D.由作法知OC=OD,OP=OP,CP=DP, 所以OCP ODP △≌△，因此依据为SSS ；3、（2007·中山中考）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）（Ａ）三条中线的交点（Ｂ）三条高的交点 （Ｃ）三条边的垂直平分线的交点（Ｄ）三条角平分线的交点 答案：D4、（2007·义乌中考）如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ．已知PE=3，则点P 到AB 的距离是（ ）.（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【解析】选A.由角平分线的性质可得. 二、填空题5、（2009·厦门中考）如图，在ΔABC 中，∠C=90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D 到直线AB 的距离是_______厘米。