第一章随机事件与随机事件的概率本章考核内容小结(一)了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式打胞含的基本事件数)H (基本事件总数)-计算简单的古典概型的概率(不返回抽样、返回抽样)(二)知道事件的四种关系(1)包含：力匸万表示事件A发生则事件B必发生(2)相等：A= B BKB Z> A(3)互不相容：朋= 与B互不相容(4)对立：A-UB 对立o AB=(D,且A+B=Q(三)知道事件的四种运算(1)事件的和(并)A+B表示A与B屮至少有一个发生性质：(1)若卫二乃，则A+B=A (2) A+Bz>A^A+B^B(2)事件积(交)AB表示A与B都发生性质：(1)若力二万，则AB=B, A+B=A ・・・QB=B且' 丿(2)AB(3)事件的差：A・B表示A发生且B不发生,\A-B=AB f R A-B=A-AB(4)刁表示A不发牛件质Q f AA=中(四)运算关系的规律(1)A+B=B+A, AB=BA 叫交换律(2)(A+B) +OA+ (B+C) (AB) C=A (BC)叫结合律(3) A (B+C) =AB+AC (A+B) (A+C) =A+BC 叫分配律(4)N+恥屈倉叫对偶律(五)掌握概率的计算公式(1)P (A+B) =P (A) +P (B)・P (AB)特别情形①A与B互斥时：P (A+B) =P (A) +P (B)②A 与 B 独立时：P (A+B) =P (A) +P (B)・P (A) P (B)③Pg亠羽推广P (A+B+C) =P (A) +P (B) +P (C)・P (AB)・P (AC)・P (BC) +P (ABC)P㈣"(旳P(E|Z)= P(B)P[A\B),M⑵y\A)推•厂P[ABC}^ P[^P[B\A}P{C\AB)P(ABCD)= P[A)P(B\A)P(C\AB')P(D\ABC)当事件独立时，P (AB) =P (A) P (B) P (ABC) =P (A) P (B) P (C)P (ABCD) =P (A) P (B) P (C) P (D)性质若A与B独立=入与B, A与茅，刁与歹均独立(六)熟记全概率公式的条件和结论+ (举)+ P(彰)+ P (的若A”A2，A提a的划分，则有"⑷P即)+P⑷中⑷+P⑷嘶)P(B)= P[AB+AB']= P(AB)+P[AB']简单情形"⑷p帥)+屮)屮R熟记贝叶斯公式若砒4已知,则戶阳喘(七)熟记贝努利重复试验概型的计算公式F小C：b (1-日厂「讥1,2,・・*P = “第二章随机变量及其变量分布(一)知道随机变量的概念，会用分布函数求概率(1)若X是离散型随机变量，则P (a<x<b) =F (b)・F (a)(2)若X是连续型随机变量，则P (a<x<b) =F (b)・F (a)P (a<x<b) =F (b)・F (a) P (a<x<b) =F (b)・F (a) P (a<x<b) =F (b)・F (a) (二3亦道离散型随机变量的分命律X X1 ....冷P P1P2P3……Pn0,x <兀；去1，石兰X <兀2；”(兀)=£円+7/2兰X〈西；乃+去2+乃，§兰X <可；(三)掌握三种常用的离散型随机变量的分布律乂「0 1(1)x〜(0,1)=> P W P(四)知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。

X〜B (n,p) =P (x=k) "一勿(2)(3) X〜P (X) =P (x=k) =k-* (2)连续型若X 〜fx (x) ,y=g (x)单调，有反函数x=h (y)且y 的取值范围为(a,P ),则随机变卫，其它%-邮十时，则有川恥“刖讪简单情形，若Y=ax+b 则有Y 〜fy (y) = ° 冏 在简单情形下会用公式法求Y = ax+b 的概率密度。

(3) 重要结论(i) 若 X —N (g,o 2),则有 Y = ax+b 时 Y 〜N (a|i+b,a 2o 2) (ii) 若X 〜N (儿疋)，则有Y=貯a 叫X 的标准化随机变量。

第三章多维随机变量及概率分布(一) 知道二维随机变量的分布函数的概念和性质。

(1) (2) (3) 概率密度f (x)的性质①f (x) >0分布函数和概率密度的关系 /(X )=月G )分布两数的性质①F (X )右连续②F (—8)=0, F (+00)=1③F (X )是不减函数。

[f(x)dx概率计算公式：①P (a<x<b) =F (b) -F (a) ②P (a<X<b) =Jfl (4)(五)掌握连续型随机变量的三种分布0, x <a(1)(a,b) =* X 〜f (x)=0,其它 x-a , ------ f a<x<b b-al,b<x X 〜F (X )=0,x <0 l-^,x>00,x <0②X 〜F (x)=①(x) =「丿=/九 ②X 〜 。

如(X)二①X 〜f (X )=(0,1)=①X 〜 5P (a<x<b)二①(b)—①(a)1 -护")=—W 2 /軌(4) X 〜N 3q2)二①X 〜 bg ②p (a<x<b )二 CF(六)会用公式法求随机变量X 的函数Y=g (x)的分布函数(1)离散型(2)(3)性质:①(-X )=1-0)(x)上3二) CFX Xix 2 …冷 pPl P2 .....血Y唸1)宓)...曲空PPlP2 ••…Pn(X2),…g (X n )不相同时,有/yO)=量X 的函数Y=g (x)的概率密度为f{x)dx=\(1)(X, Y)〜F (X,Y) =P (X<X,Y<Y) =P (-o><X<X,-oo<Y<Y)(2) F (X,Y)的性质(i ) F (+cc, +co) =1 ( ii ) F (-oo, Y) =0, F (X, -oo) =0 F (-oo, -oo) =0（3）X〜Fx（X） =F （X,+ oo）（二）离散型二维随机变量（1）（X, Y）的分布律Y〜F Y (Y) =F (+oo,Y) V 7172X1Pn P12■- Pin兀2■P21■■P22•…. •■■•阳加■ •…P MX性质御戶XX1恵 ・• • 心PP1]+P12 - ^P1K P21+P22-^-■ ■ +P2K •• ■■- +P 棚K71 72 … * PPl]+P21 ■■-+Pml P21+P22+ • • • +P K 2 …Pbi +P2x +■■-证 P ・l=Pll+P21+.・.Pml ，P2=P21+P22+…Pm2，…P ・N=戸1十卩2时・・ +Pmn（4） X, Y 独立的充要条件是：X, Y 独立QP （X=x i5Y=yj ） =P （X=xJ P （Y=y" （i=l,2,...,M ； j=l,2,...,N ） 判断离散性随机变量X, Y 是否独立。

（5）会求Z=X+Y 的分布律 （三）二维连续型随机变量 古 （1）若（兌 H Fcy ）O （X, Y ） ~ F{x,y ） = 口：/（以,v ）如》 已知f （X,Y ）时,会用上式求F （X,Y ） r-RD r -HO性质」」/（以）如21 (2) (3) f （x, y ） = --- F （x,尹） 已知F （X,Y ）时，会用上式求f （X,Y ） p{（x,Y ）cD} = JJ/（2）<My会用公式D.求（X, Y ）在区域D 上取值的概率。

r -HO r-Ho会用公式i 加乳心妙J 加恥L 乳2）必分别求％, 丫的概（4）率密度（边缘密度）（5） 会根据X, Y 独立O 氏判断连续型随机变量X, Y 的独立性。

（6） 知道两个重要的二维连续随机变量 ① （X, Y ）在D 上服从均匀分布② （X,Y ）~ "（如他恻 x, Y 独立0~ = 9（7）若X, Y 独立，且*~"（如处），丫〜”（角,於） =>a Y X + a 2Y ~ 曲 + 勺冷,勺叭 +a 2a 2）S 是D 的面积第四章 随机变量的数字特征（2） X 的边缘分证明 P1 ・=P 11+P 12+ …P1N ，P2・=P21+P22+ …P2N ，…Pm =Pm 1 +卩血+ …Pmn (3) Y 的分布律总 9 宓=另伐-磁)Pi・・・X 是离散型随机变量时 弓、x 是连续型随机变罐时DX=C^ - SX ^ 皿 (2) 计算公^DX=E(X 2)-(EX)2(3) 性质 ®DC=0@D (KX )=K 2DX ®D (X±Y) =DX+DY±2E[(X ・EX)(Y ・EY)]=DX+DY±2Cov(X,Y) AX,Y 独立^X,Y 不相关时O D(X 士Y)=DX+DY Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)J计算公式 Cov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY)cov(xr)相关系数顾顾定理X, Y 独立=X, Y 不相关(Q=° )第五章 大数定律及中心极限定理(一) 知道切比雪夫不等式r\vr )vP (\X-EX\ >s)<—P(\X-EX\ <s)>l- —£或 £__ 并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|>£或|X-EX|<s 的概率。

(二) 知道贝努利大数定律_ mlim P{ — -p <s) = 1 n 亠其中n 是试验次数，m 是A 发生次数，p 是A 的概率，它说明试验次数很多时，频率 近似于概率。

(三) 知道切比雪夫不等式大数定律lim<£)= 1思T9M 4■吋_ 1 « X — _ V 1 x ・它说明在大量试验中，随机变量刃沁'取值稳定在期望附近。

本章的考核内容是(一)知道随机变量的期望的定义和计算公式，性质。

EV =乞x® =兀乃+ x 2p 2 +…离散型： 丄连续聲 SX = \_y^)dx.Eg(x)=乞 g(x i )p i = g(x 1)p 1 + 凶勺)去 2 + …£g(x)=厂 g(x)f x (x)dx.• J —<x«(1) (2) 一.9 (3)(4) (软)〜工(2)•HD f -KDSg(X f Y)= J J g{x,y)f{x,y)dxdy.期望的性质：卞卞 (1) (2) (3) (4) EC=CE (kX) =kEXE (X±Y) =EX±EY X,Y 独立时，E (XY) = (EX) (EY)J '*H0 f-K0 J—<o J —co r+co f-HoEY=J J yfagcfy J —co _■YD .--CD 』一CD■Ho r -Ko (二)知道方差的概念和计算公式以及方差的性质 (1)DX=E (X-EX )2I(四)知道独立同分布中心极限定理lim^(x) = J' 产dt =①(或记Yn 〜Fn (X ),则有i7冗无论n 个独立同分布的X b X 2,...X n 服从何种分布，n 很大时,X 1+X 2+...X n 却近似正态N (np,no 2).(五) 知道棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理若乙表示n 次独立重复事件发生次数，叫乙〜B (n,p)，则冇lim 戸(<x)=['亠厂 dt =①(或 宀咖(1-刃 「>/2F即乙近似正态N (np,np (1-p) 2)o 并会用中心极限定理计算简单应用问题。