= TM + a ， 使 变 换 后 的 数 据 (2) 正 则 化 变 换 M i 为 M i i 有零均值和单位方差。 M i
然后计算
M i(0j ) = M i −
( j −1)T ˆ ( j ) ∗ ˆ( j) zci θ C M Di(0j −1)θ ( j )T ∗ ( j − 1) ( j ) ˆ C ˆ θ θ i
⎡x di 0 = ⎢ i 0 ⎣0 yi 0 xi 0 0⎤ ；参 数 矢量 θ = [ a11 yi 0 ⎥ ⎦
a12
a22 b1 b2 ] ，
T
b1 ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ 它对应于椭圆参数 B = ⎡ 。 ⎢b ⎥ 和非奇异阵 A = ⎢ a a ⎥ ⎣ 2⎦
⎣
12 22
⎦
式 (1)可改写为
数值性能， 应对输入数据进行规范化处理， 即正则化变换 M i 成 M 。上述回归过程是对变换后的数据 M 而言的，因此，
i
i
(6)
ˆ ( j ) 是 已 知 矩 阵 对 ( Z ( j −1) , L( j −1) ) 的 最 小 广 义 奇 异 值 其中， θ c
必须对回归过程得到的模型参数和校正后的数据进行相应的 后处理。 2.7 算法步骤 步骤 1 数据变换 (1)根据涉及的问题，由数据 mi 得到相应 M i 。
(7)
由 M i(0j ) 计算相应的 Di(0j ) ，并计算
∗ ˆ ( j )T C ∗( j )θ ˆ( j) Ci∗( j ) = Di(0j )TC M Di(0j ) , Wi ( j ) = θ i
(
)
−1
步骤 2 初始估计
(8)
(0) ∗(0) (1) 取 M i(0) ，进而计算 C ∗ , 0 = M i ，由它计算 Di 0 和 C i
—283—
优 化 过 程 。 为 了 从 数 据 矢 量 观 测 集 合 估 计 EIV 模 型 参 数
件计算。 几何约束的施加 本文算法在参数回归中使用的约束包括式 (3) 和其他特 定几何约束。因为在椭圆拟合中，约束二次项系数满足 2.4
2 a12 − a11a22 = -1，所以在迭代收敛后，可修改 EIV 模型参数估
Ellipse Fitting Algorithm Based on Heteroscedastic Theory
CAO Fang, YANG Zhong-gen
(College of Information Engineering, Shanghai Maritime University, Shanghai 200135) 【Abstract】This paper analyzes the usual algorithms with less anti-jamming ability which are sensitive to the effect of noise in the application of ellipse fitting, and proposes a more robust ellipse fitting algorithm. It utilizes the heteroscedastic regression technique to create the Errors-In-Variables (EIV) model. According to the observation of data vector, the optimal algorithm is found to obtain the optimal estimations of EIV model parameters and the truth-value of the observed data vector. Experimental results show that the algorithm is more accurate and can converge steadily and rapidly, when original data is far from exact value. 【Key words】computer vision; ellipse fitting; heteroscedastic
ˆ ( ∞ ) 为回归参数的最优估计， { M(∞) i = 1,2,", N} ˆ (∞ ) , θ (6) α i0
=L
( j )T
( j)
(11) (12)
(
)
用数值计算上鲁棒性更强的广义奇异值分解 (GEVD)， 即
ˆ = σ Lθ ˆ Zc θ min
得到最优解。 通过上述算法完成一次迭代过程，迭代收敛后计算截距 ˆ (∞ ) ˆ = −z ( ∞ )T θ α (13) 2.3 迭代初始条件的计算 ∗ (0) D i(00 ) 和 C i∗(0) = Di(0)T 取 M i(0) 0 = Mi ， 由 它 计 算 0 C M Di 0 ,
曹 芳，杨忠根
(上海海事大学信息工程学院，上海 200135) 摘 要：分析椭圆拟合应用中常用算法对噪声过于敏感、抗干扰能力差的缺点，提出一种鲁棒性较强的椭圆拟合算法。采用各点异性回归 技术，建立误差与变量有关的(EIV)模型，根据数据矢量观测集合最优地估计线性 EIV 模型参数和数据矢量真值集合。实验结果表明，该 算法精确度高，当初始值与真实值差距较大时，仍然可以快速、稳定地收敛。 关键词：计算机视觉；椭圆拟合；各点异性
对正定阵
ˆ ( j ) = ∑ ⎡W ( j ) z ( j )Tθ ˆ ( j ) ⎤ C ∗( j ) Q( j) = Q θ ⎣ i ci ⎦ i
i =1
( )
L
N
2
(10)
容差 Th 。
进行 Choleskey 分解，得
Q
( j)
ˆ ( ∞ ) 计算截距的最优估计。 ˆ = −z ( ∞ )T θ (5)用 α
(9)
ˆ( j) 。 (2)计算矩阵对 ( Z c( j −1) , L( j −1) ) 形成的 GSVD 问题解 θ
步骤 3 各点异性回归 (1)开始迭代，令 j = 1 。
(3)计算式 (7)～式 (11)得 ( Z c( j ) , L( j ) ) ，令 j = j + 1 。
( j) (4)重复步骤 3 中 (2)和 (3)，直至 σ min − 1 小于一个预定的
一般对称分布， σ 2 为噪声功率。式 (1)、式 (3) 和式 (4)表示一 个有截距的误差与变量有关的非线性 EIV 模型。根据数据矢 量观测集合，可以估计 EIV 模型参数 (α , θ ) 是一个非线性最
基金项目：上海高校选拔培养优秀青年教师科研专项基金资助项 目(032747) 作者简介：曹 芳(1980－)，女，讲师、硕士，主研方向：通信与信 E-mail：fangcao@ 息技术；杨忠根，教授、硕士 收稿日期：2007-10-30
1
在三维计算机视觉应用中，椭圆拟合是曲线基元提取的 核心技术。精确提取椭圆的鲁棒在图像识别与计算机视觉中 具有重要意义 [1]。在椭圆参数估计中，一些算法对测量误差 进行了错误估计，造成对几何约束关系的错误分析，使算法 容易被噪声影响，导致其鲁棒性和精确性不高。 直接最小二乘法 (Direct Least Squares, DLS)[2]是椭圆拟 合中一种常用的方法。最小二乘技术主要是寻找参数集合， 从而最小化数据点与椭圆之间的距离度量。但由于直接最小 二乘法未考虑误差的各点异性特性，而是假设载体数据为零 均值且各载体数据有共同协方差阵，与实际情况不符，因此 导致参数的有偏估计，算法结果通常不佳。由于存在异方差， 因此参数 DLS 估计的方差增大将导致估计值误差增大， 造成 对载体的预测误差变大，降低原数据点的校正精度。 文献 [3-4]提出的二阶重归一化算法虽考虑了噪声的各点 异性特性，建立了新的噪声统计模型，借鉴 Sampson 提出的 迭代重加权最小二乘法 [5] 并加以改进，即先对原模型进行加 权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，并考虑四阶 矩与噪声有关的现象，在小噪声电平时提供了一个近似最优 解。但在大噪声电平时，该算法起始于一个有偏初始解，并 用噪化数据点计算校正矩阵，导致算法在大噪声电平下不收 敛， 而估计值在不收敛情况下得到的参数估计带有较大偏差。 本文对椭圆拟合的常见算法进行理论分析，提出了一种 新的计算各点异性 EIV 模型参数的算法， 使用最小马氏距离， 即高斯分布下的最大似然准则。算法的数据校正过程伴随模 型参数的回归过程同时进行。笔者通过实验验证，与现有算 法相比，本文算法更精确，当初始值与真实值差距很远时， 本文算法仍可快速稳定地收敛。
( j) ( j) i i
z
∑ Wi
( j)
( j) ( j) , zci = zi( j ) − z
Z
( j) c
⎡ W ( j ) z ( j )T ⎤ c1 1 ⎢ ⎥ ⎢ W ( j ) z ( j )T ⎥ c2 2 ⎥ =⎢ ⎢ ⎥ # ⎢ ⎥ ( j ) ( j )T ⎢ ⎣ W N z cN ⎥ ⎦
(α , θ ) ，应使噪化数据矢量观测和数据矢量真值之间马氏距
离的平方和
*+ n = ∑ δ M TC M δM i =1
i
N
i
(5)
∗+ M
在式 (1)和式 (3)下最小化，其中， C
∗ M
是 C 的逆 (当 C 非奇
∗ M
∗ M
∗ 异时 )或伪逆 (当 C 奇异时 )矩阵。 当 GI ( 0, σ 2 C M ) 为正态分布
第 34 卷 Vol.34
第 16 期 No.16
计 算 机 工 程 Computer Engineering
文章编号：1000—3428(2008)16—0283—03 文献标识码：A