新编人教版精品教学资料2015版人教A 版必修2课本例题习题改编湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 ****************1.原题(必修2第15页练习第4题)如图是一个几何体的三视图,想象它的几何结构特征,并说出它的名称.改编 如图是一个几何体的三视图(单位:cm ) (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;(Ⅲ)设异面直线AA '与BC '所成的角为θ,求cos θ.解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图23-2所示. (Ⅱ)这个几何体是直三棱柱.由于底面ABC ∆的高为1,所以AB ==. 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''∆=++1221322382=⨯⨯⨯+⨯+⨯=+2(cm ).这个几何体的体积121332ABC V S BB ∆'=⋅=⨯⨯⨯=3(cm )(Ⅲ)因为//AA BB '',所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠.O OO 'O '22OO在Rt BB C''∆中,BC '==cos BB BC θ'===' 2.原题(必修2第28页例3)如图,已知几何 体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图. 改编1 如图,已知几何体的三视图(单位:cm ). (Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法); (Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积. 解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图所示. (Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是 一个圆柱(底面半径为1cm ,高为2cm ),它的上部 是一个圆锥(底面半径为1cm ,母线长为2cm ,高为).所以所求表面积21212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=2(cm ),所求体积22112123V πππ=⨯⨯+⨯⨯=3(cm ).3.原题(必修2第30页习题1.3B 组第三题)分别以一个直角三角形的斜边,两直角边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,画出它们的三视图和直观图,并探讨它们体积之间的关系。
改编 已知直角三角形ABC ,其三边分为c b a ,,,(c b a >>).分别以三角形的a 边,b 边,c 边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,其表面积和体积分别为321,,S S S 和321,,V V V ,则它们的关系为 ( )A .321S S S >>, 321V V V >>B .321S S S <<, 321V V V <<C .321S S S >>, 321V V V ==D .321S S S <<, 321V V V == 解:a a bc V c b a bc S 211)(31),)((ππ=+=,222231,bc V c ac S πππ=+= , c b V b ab S 232331,πππ=+=, 选B.4.原题(必修2第32页图像)改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得,现用一个竖直的平面截这个几何体,所得截面可能是:(1)(2)(3)(4)解:切面过轴线为(1),否则是圆锥曲线为(4).本题以立体几何组合体为背景,其实运用圆锥曲线数学模型.答案(1)、(4).5.原题(必修2第37页复习参考题B 组第三题)改编1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中,所成的角为 60的直线共有 12 对.改编2 如图正方体中,o ,1o 为底面中心,以1oo 所在直线为旋转轴,线段1BC 形成的几何体的正视图为( )AA 1(A)(B)(C)(D)解:选项A 、B 、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成,而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外,没有其他直线.即A、B、D不可能,故选C.6.原题(必修2第37页复习参考题B组第三题)你见过如图所示的纸篓吗?仔细观察它的几何结构,可以发现,它可以由多条直线围成,你知道它是怎么形成的吗?改编如图所示的纸篓,观察其几何结构,可以看出是由许多条直线围成的旋转体,该几何体的正视图为()(A)(B)(C)(D)解:选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成,而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外,没有其他直线。
即A、B、D不可能,故选C.7.原题(必修2第59页例3)改编设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥(如右图), 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面α ()A.不存在B.只有1个 C.恰有4个D.有无数多个解:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个平面β.作与β 平行的平面α, 与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形,而这样的平面α 有无数多个.答案:D.8.原题(必修2第62页习题2.2A组第八题)如图,直线AA1,BB1,CC1相交于点O,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O,求证:平面ABC∥平面A1B1C1.改编如图,直线AA1、BB1、CC1相交于点O,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥,设三棱锥高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,若液体流入下面的三棱锥,则液体高度为_______。
解:液体部分的体积为三棱锥体积的18,流下去后,液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的78,A BC A1B1C1设空出三棱锥的高为x ,则331x =87,所以,x=273,液面高度为1-273.9.原题(必修2第63页习题2.2B 组第四题)如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水,固定容器底面一边BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是_______,为什么? (1)有水的部分始终呈棱柱形;(2)没有水的部分始终呈棱柱形;(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值; (4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行;(5)当容器倾斜如图(3)所示时,BF BE ⋅是定值.改编 如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水,固定容器底面一边BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面七个命题,真命题的有_______. (1)有水的部分始终呈棱柱形;(2)没有水的部分始终呈棱柱形;(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值; (4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行;(5)当容器倾斜如图(3)所示时,BF BE ⋅是定值;(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形;(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.(1) (2) (3) 解:(1),(2),(4),(5),(6),(7).(6) (7)10.原题(必修2第79页复习参考题A 组第十题)如图,已知平面,αβ,且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足,试判断直线AB 与CD 的位置关系?并证明你的结论. 改编 如图,已知平面,αβ,且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足.(Ⅰ)求证:AB ⊥平面PCD ;(Ⅱ)若1,2PC PD CD ===α与平面β的位置关系,并证明你的结论.解:(Ⅰ)因为,PC AB αα⊥⊂,所以PC AB ⊥.同理PD AB ⊥.又PC PD P =,故AB ⊥平面PCD .(Ⅱ)设AB 与平面PCD 的交点为H ,连结CH 、DH .因为AB ⊥平面PCD ,所以,AB CH AB DH ⊥⊥,所以CHD ∠是二面角C AB D --的平面角.又1,2PC PD CD ===所以2222CD PC PD =+=,即090CPD ∠=.在平面四边形PCHD 中,090PCH PDH CPD ∠=∠=∠=,所以090CHD ∠=.故平面α⊥平面β.11.原题(必修2第90页习题3.2B 组第一题)已知点)2,5(),2,2(-N M ,点P 在x 轴上,且MPN ∠为直角,求点P 的坐标.改编:已知点)2,5(),2,2(-N M ,P 在x 轴上,若MPN ∠为锐角,则点P 的横坐标的取值范围是________解: 用向量的数量积判别:0>⋅NP MP ,易求答案为6>m 或1<m12.原题(必修2 第100页习题3.2 A 组第三题)已知)4,7(-A ,)6,5(-B ,求线段AB 的垂直平分线的方程.改编1 已知)4,7(-A 关于直线l 的对称点为)6,5(-B ,则直线l 的方程是( ) A.01165=-+y x B.0156=--y x C.01156=-+y x D.0165=+-y x 解:依题意得,直线l 是线段AB 的垂直平分线.∵65-=AB k ,∴561=-=AB l k k ,∵AB 的中点为(1,1),∴直线l 的方程是)1(561-=-x y 即0156=--y x ,故选(B ). 改编2 已知圆16)4()7(22=++-y x 与圆16)6()5(22=-++y x 关于直线l 对称 ,则直线l 的方程是 .解:依题意得,两圆的圆心)4,7(-A 与)6,5(-B 关于直线l 对称,故直线l 是线段AB 的垂直平分线,由改编1可得直线l 的方程为0156=--y x .改编3 求点)4,7(-A 关于直线0156:=--y x l 的对称点B 的坐标.解:设),(y x B .由l AB ⊥,且AB 的中点在直线l 上,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--⋅-+⋅-=⋅-+0124527615674y x x y ,解得⎩⎨⎧=-=65y x ,∴)6,5(-B .13.原题(必修2第100页习题3.2A 组第九题)求过点)3,2(P ,并且在两轴上的截距相等的直线方程. 改编1 求过点)3,2(P ,并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 解:依题意,直线的斜率为1或直线经过原点,∴直线的方程为23-=-x y 或x y 23=,即01=+-y x 或023=-y x .改编2 直线l 经过点)3,2(P ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线l 的方程.解:依题意,直线l 的斜率为±1,∴直线l 的方程为23-=-x y 或)2(3--=-x y ,即01=+-y x 或05=-+y x .14.原题(必修2第101页习题3.2B 组第五题)若直线l 沿x 轴向左平移3个单位,再沿y 轴向上平移1个单位后,回到原来的位置,试求直线l 的斜率.改编: 若直线l 沿x 轴向右平移3个单位,再向上平移4个单位后,得到的直线与原来的位置在水平方向上相差2个单位,则原直线的斜率为 0.84或.15.原题(必修2第110页习题 3.3B 组第七题)已知AO 是ABC 边BC 的中线,求证:2222||||2(||||)AB AC AO OC +=+.改编 已知在三角形ABC 中,D 是BC 边的中点,且AB=8,BC=8,AC=6,则AD= 解:16.原题(必修2第110页习题 3.3B 组第八题)已知01,01,x y <<<<求证:≥改编 长方形ABCD 的顶点坐标是A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P 是坐标平面上的动点,若AP 2+BP 2+CP 2+DP 2的值最小,则点P 的位置在( )A.长方形的顶点处B.AB 边的中点处C.两条对角线的交点处D.三角形ABC 的重心处 解:设P(x,y),|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2=x 2+y 2+(x-a) 2+y 2+(x-a) 2+(y-b) 2+x 2+(y-b) 2=4(x-a/2) 2+4(y-a/2) 2+a 2+b 2 当P(a/2,b/2)时,|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2最小,选C .17.原题(必修2 第114页复习参考题A 组第3题)求直线01052=--y x 与坐标轴围成的三角形的面积.改编1 过点(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 . 解:设所求直线方程为)5(4+=+x k y ,依题意有5)45)(54(21=--k k, ∴01630252=+-k k (无解)或01650252=+-k k ,解得52=k 或58=k . ∴直线的方程是01052=--y x 或02058=+-y x .改编2(2006年上海春季卷)已知直线l 过点)1,2(P ,且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 面积的最小值为 .解:设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ,则4])1()4(24[21)]1()4(4[2114421)21)(12(21=-⋅-+≥-+-+=--=--=∆kk k k k k k k S OAB ,当且仅当k k 14-=-即21-=k 时取等号,∴当21-=k 时,OAB S ∆有最小值4. 改编 3 已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ,在射线l 上求一点N ,使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小.解:设)1)(4,(000>x x x N ,则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x .令0=y 得1500-=x x x ,∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S 40]211)1(2[1000=+-⋅-≥x x ,当且仅当11100-=-x x 即20=x 时取等号,∴当N 为(2,8)时,三角形面积S 最小.18.原题(必修2第115页复习参考题B 组第七题)设,,,a b c d R ∈,求证:对于任意,,p q R∈≥改编 设R d c b a ∈,,,,a,b,c,d 为常数,其中()()03232<+-•+-d c b a ,对于任意实数x ,()()()()的最小值为22223232--+-+--+-x d x c x b x a .解:可设A (a ,b ),B (c ,d ),C (x ,2x+3),由()()03232<+-•+-d c b a ,知A ,B 在直线y=2x+3两侧,()()()()的最小值为22223232--+-+--+-x d x c x b x a ||AB =()()22a d b c -+-.19.原题(必修2第129页例3)改编 若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切,则实数m 的取值集合是 .解:∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ,半径21=r ,圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -,半径32=r ,且两圆相切,∴2121r r O O +=或1221r r O O -=,∴5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ,解得512-=m 或2=m ,或0=m 或25m =-,∴实数m 的取值集合是122{,,0,2}55--. 20.原题(必修2第130页例4)改编 某圆拱型彩虹桥,跨度为20米,高为4米,要用19根铁索等距离分布悬挂桥面,则其中一侧第m 根铁索的长度f(m)= _______米.-10.5.21.原题(必修2第132页习题4.2 A 组第三题)求以)3,1(N 为圆心,并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.改编1 (2006年重庆卷)过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为( ) A.x y 3-=或x y 31= B.x y 3=或x y 31-=C.x y 3-=或x y 31-= D.x y 3=或x y 31=解:设直线方程为kx y =,即0=-y kx .∵圆方程可化为25)1()2(22=++-y x ,∴圆心为(2,-1),半径为210.依题意有2101122=++k k ,解得3-=k 或31=k ,∴直线方程为x y 3-=或x y 31=,故选(A ).改编2 (2006年湖北卷)已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切,则a 的值为 . 解:∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为(1,0),半径为1,∴1125522=++a ,解得8=a 或18-=a .改编3 求经过点)5,0(A ,且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.解:设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+r ba b a r b a 5252)5(222, 解得⎪⎩⎪⎨⎧===531r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===55155r b a ,∴圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x . 22.原题(必修2第132页练习第三题)某圆拱桥的水面跨度20m ,拱高4m .现有一船宽10m ,水面以上高3m ,这条船能否从桥下通过?改编 某圆拱桥的水面跨度是20m ,拱高为4m .现有一船宽9m ,在水面以上部分高3m ,故通行无阻.近日水位暴涨了1.5m ,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应降低m 时,船才能通过桥洞.(结果精确到0.01m ) 解:建立直角坐标系,设圆拱所在圆的方程为222)(r b y x =-+.∵圆经过点(10,0),(0,4),∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2222)4(100rb rb ,解得⎩⎨⎧=-=5.145.10r b .∴圆的方程是)40(5.14)5.10(222≤≤=++y y x . 令5.4=x ,得)(28.3m y ≈. 故当水位暴涨1.5m 后,船身至少应降低m 22.1)328.3(5.1=--,船才能通过桥洞.23.原题(必修2第133页习题4.2A 组第九题)求圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦的长.改编 两圆C 1 :x 2+ y 2-1=0和C 2:x 2+ y 2-8x+12=0的公切线长为_______. 解:C 1A BC 2C 1C 2D A BD(1)(2)C 1 :x 2+ y 2=1,C 2:(x-4)2+ y 2 = 4, |C 1 C 2|=4图(1):|AB|=22)12(4--=15;图(2):|AB|=22)12(4+-=7,即公切线长15和7.24.原题(必修2第133页习题4.2B 组第2题)已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A,点P 在圆422=+y x 上运动,求222PC PB PA ++的最大值和最小值.改编 1 已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A,点P 坐标满足422≤+y x ,求222PC PB PA ++的最大值和最小值.解:设点P 的坐标是),(y x ,则222222222222(2)(2)(2)(6)(4)(2)2200334683()33d PA PB PC x y x y x y x y y x y =++=++++++-+-++⎡⎤=+-+=+-+⎢⎥⎣⎦)要求d 的最值,即求点P 与点 )32,0(Q 距离' d 的最值;因为点P 坐标满足422≤+y x ,所以'd 的最大值为2)2(+OQ ,则'd 的最小值0在点P 与点 )32,0(Q 重合时取得,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴88,3200d改编2 已知)0,2(-A ,)0,2(B ,点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动,则22PB PA +的最小值是 .解:设),(y x P ,则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ,则325min =-=-=r OC OP ,∴22PB PA +的最小值为268322=+⨯.25.原题(必修2第133页习题4.2B 组第3题)已知圆x 2+y 2=4,直线l: y=x+b .当b 为何值时,圆x 2+y 2=4上恰有3个点到直线l 的距离都等于1.改编 已知圆x 2+y 2=4, 直线l: y=x+b . 圆上至少有三个点到直线l 的距离都是1,则b 的取值范围是_____.解:⎡⎣ 26.原题(必修2第144页复习参考题B 组第2题)已知点(,)M x y 与两个定点1M ,2M 距离的比是一个正数m ,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形(考虑1m =和1m ≠两种情形).改编1 已知两定点)0,2(-A ,)0,1(B ,如果动点P 满足PB PA 2=,则点P 的轨迹所包围的面积等于( ) A.π B.π4 C.π8 D.π9解:设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=,得2222)1(2)2(y x y x +-=++,化简得4)2(22=+-y x ,∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,∴所求面积为π4,故选B. 改编2 由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,APB ∠=600,则动点P 的轨迹方程是 .解:设),(y x P .∵APB ∠=600,∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥,∴22==OA OP ,∴222=+y x ,化简得422=+y x ,∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .改编3 (2006年四川卷)已知两定点)0,2(-A ,)0,1(B ,如果动点P 满足PB PA 2=,则点P 的轨迹所包围的面积等于( )A.πB.π4C.π8D.π9解:设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=,得2222)1(2)2(y x y x +-=++,化简得4)2(22=+-y x ,∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,∴所求面积为π4,故选(B ). 改编4(2003年北京春季卷)设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点,动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ,求P 点的轨迹.解:设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PB PA ,得a y c x y c x =+-++2222)()(,化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时,化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ,整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ; 当1=a 时,化简得0=x .所以当1≠a 时,P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心,122-a ac 为半径的圆;当1=a 时,P 点的轨迹是y 轴.27.原题(必修2第144页复习参考题B 组第3题)求由曲线22||||x y x y +=+围成的图形的面积. 改编 由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形的面积为_______.解:围成的图形如图,面积为84π+.。