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其中 与 ａ分别表示两个谐振子的坐标，最后一项是刻画两个谐振子相互作用的耦合 项 表示耦合的强度，设 比较小，把 H 中的
看成微扰，而 取为
它表示两个彼此独立的谐振子，它的本征函数及本征能量可分别表为
令
则能量表示式可改为
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二、散射态微扰论 1．散射态的描述 （1）散射（微分）截面、散射总截面和散射振幅的定义
图 10.1 设一束粒子以稳定的入射流密度 （单位时间穿过单位截面的粒子数）入射．由于靶 粒子的作用，设在单位时间内有 个粒子沿 方‘向的立体角 中出射．显然，
即
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（3）必然有 个实根，记为
.这一系列值即一级修正能量，它相应的
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准确到一级微扰修正的能量为
.
（根 代人方程（36），即可求得相应的解，记为
于
是得出新的零级波函数
如 个根 无重根，则原来的 重简并能级 将完全解除简并，分裂为 条．但如 有部分重根．则能级简尚未完全解除．凡未完全解除简并的能量本征值，相 应的零级波函数仍是不确定的．
由式（6）可以看出，对于 情况，能级是简并的，简并度为（N＋1）．（为什么?） 以 N=1 为例，能级为二重简并，能量本征值为
相应的本征函数为 记
与
（或者它们的线性叠加）．为表示方便，
并选 与 为基矢，利用谐振子的坐标的矩阵元公式，可以求得微扰 W= 元如下：
的矩阵
可得出能量的一级修正为
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为不考虑微扰前的能级，令
则在一级近似下，能量本征值和本征函数分别为
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上式中 表示对 n 求和时，n=k 项必须摒弃． （2）二级近似 能量的二级修正为
所以在准确到二级近似下，能量的本征值为
能量的三级修正为
（17）
的关系，而总截面
2．Lippman-Schwinger 方程 对于力程为有限的势场，如假设入射波 为 ，则散射问题归结为求解下列积分方程
（入射粒子具有动量
可取
上式即 Lippman_Schwinger 方程，它是一个积分方程． 最后的解如下
3．Born 近似 （1）势能 V（r）为一般情况
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10.2 考虑耦合谐振子
（λ 为实常数，刻画耦合强度）． （a）求出 的本征值及能级简并度； （b）以第一激发态为例，用简并微扰论计算 对能级的影响（一级近似）； （c）严格求解 H 的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论，提示作坐标变换， 令
称为简正坐标，则 H 可化为两个独立的谐振子。 【详细分析和解答见《量子力学》卷Ⅰ，518～521 页】 答：Hamilton 量为
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如把入射粒子与靶子相互作用 V 看成微扰，则作为一级近似解，微扰项中的 可以 用零级近似解 代替，即
此即势散射问题的 Born 一级近似解． 最终得到散射振幅
（2）势能 V（r）为中心势场 若 V 为中心势，则可得出
散射截面为
图 10.2
4．全同粒子的散射 （1） 粒子与氧原子核的碰撞 在 方向测得粒子（不论是 还是氧原子核）的微分截面为
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（2） 碰撞 散射振幅为
因此微分截面为
（3）e－e 碰撞
①极化了的自旋三重态或自旋单态电子
两个电子组成的体系，自旋态可以是单态（s=0）或三重态（S=1）．前者相应的空间
波函数对于交换空间坐标应要求是对称的，因此散射振幅为
对于后者，则
为
所以微分截面为
②未极化的电子 设入射电子束与靶电子均未极化，即自旋取向是无规分布．统计说来，有 概率处于 单态（S=0）， 概率处于三重态．因此，微分截面为
10.2 课后习题详解 10.1 设非简谐振子的 Hamilton 量表示为
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为实数）
用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）．
解：
能量的本征值和归一化本征态（无简并）为
利用 Hermite 多项式 得
2．简并态微扰论 （1）简并态一级近似能量 假设不考虑微扰时，体系处于某简并能级 ，即 与非简并态不同的是，此时零级波函数，尚不能完全确定，但其一般形式必为
（2） 零级波函数（2）中的展开系数 满足的齐次线性方程组
它有非平庸解的充要条件为
（3）
上式是 的 次幂方程（有些书上称之为久期方程（secular equation），方程

的量纲是面积，称为散射截面．如把沿各方向出射的粒子都计算算在内，即
称为总截面．
当
时，散射波为往外出射的（outgoing）球面波
度，称为散射振幅（scattering amplitude）．
（2） ( ) ， f ( ) 和 t 间关系
的量纲是长
这就是散射截而（或称微分截面，或角分布） 与散射振幅 为
的递推关系
对于非简并态的微扰论，能量的一级修正为 0，因为 能量的二级修正值为 由式（6）可知，只当 m 取（n－3），（n－1），（n＋1），（n＋3）四个值时才有贡献， 即
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由此可得 在准确到二级近似下体系能量值为 在准确到一级近似下，能量本征函数为
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第 10 章 微扰论
10.1 复习笔记
一、束缚态微扰论 1．束缚态微扰论 令
代回薛定谔方程可以得出 （1a） （1b） （1c）
（1a），（1b），（1c）分别为一级近似能量，二级近似能量和三级近似能量． 非简并态微扰论： （1）一级近似 设一级微扰近似波函数表示为