华东师范大学期末试卷概率论与数理统计一． 选择题（20分，每题2分）1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为：A ．)1(χB 。

)1(2χ C 。

)1,0(N D 。

)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿命为300小时}，则：A ．B A = B 。

B A ⊂C 。

B A ⊃D 。

Φ=AB3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （ ）A.1B.0C.0.5D.0.24. 设A,B 都是事件，且21)(=A P , A,B 互不相容，则=)(B A P （ ）B. 41C.0D. 51 5. 设A,B 都是事件，且21)(=A P , A,B 互不相容，则=)(B A P （ ）B. 41C.0D. 516. 设A,B 都是事件，且它们的概率均大于0，下列说法正确的是：B 。

若A,B 互不相容，则它们相互独立C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容7. 已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为：A.3,3B.9,9C.3,9D.9,38．总体X ~),(2σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、A. )(31)(21T 43211X X X X +++=C. )432(51T 43213X X X X +++= A. )(41T 43214X X X X +-+= 9. 总体X ~),(2σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量：A. 54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B. )(61)(41T 543212X X X X X ++++=D. )2(61T 543214X X X X X ++++=10. 总体X ~),(2σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记∑==ni i X n X 11，2121)(11X X n S n i i --=∑=，2122)(1X X n S n i i -=∑=，2123)(1μ-=∑=n i i X n S ，2124)(1μ-=∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是：B. 1X t 2--=n S μ C. n S 3X t μ-= D . n S 4X t μ-= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,之间的相关系数XY ρ为：A.1B.. －1C. aa D. XY ρ<1 12. 设B A ,是任意两事件，则=-)(B A PA ．)()(B P A P - B 。

)()()(B A P B P A P +-C 。

)()(AB P A P -D 。

)()()(AB P B P A P -+13. 设B A ,是任意两事件，且B A ⊂ ，则下列式子正确的是A ．)()(B A P A P = B 。

)()(AB P A P =C 。

)()(B P A B P =D 。

)()()(A P B P A B P -=-14．设B A ,是任意两事件，且0)(=AB P ，则A ．B A ,不相容 B 。

B A ,独立C 。

0)(=A P 或0)(=B PD 。

)()(A P b A P =-15．设B A ,是任意两事件，且B A ,相互独立 ，则下列说法错误的是：A ．B A ,不相容 B 。

)()()(B P A P AB P =C 。

)()()()()(B P A P B P A P B A P -+=D 。

)()(1)(B P A P B A P -=16．设随机变量X ~)9,2(N ，则=<<)82(X PA ．1B 。

0.5C 。

)24(<<-X PD 。

)28(<<-X P17．设随机变量X ~)9,2(N ，则=<)2(X PA ．1B 。

0.4C 。

)2(<X PD 。

)22(<<-X P18．已知X 、Y 相互独立，且X ~)9,2(N ，Y ~)4,2(U ，则=)(XY EA.3B.2C.5D.619．已知X 、Y 相互独立，且X ~)5.0,16(B ，Y 服从参数为9的泊松分布，则=+-)12(Y X DA .－14 B.13 C.40 D.4120．已知总体服从正态分布)9,(μN ，n X X X 21,为来自该总体的简单随机样本，样本均值为15，μ的置信水平为0,95的置信区间为[a,15.5],则a 的值为：A .－14.5 B.14.5 C. －15.5 D.无法确定二． 填空题（20分，每格2分）1. 设A,B,C 是三个事件，且81)(,0)()(,41)()()(======AC P BC P AB P C P B P A P ， 则A,B,C 至少有一个发生的概率为 5/8 。

2. 设A,B,是两个事件， 且5.0)(,7.0)(==AB P A P ， 则=)(B A P 0.2 ， )(B A P = 0.8 。

3. 随机变量X 的分布函数为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=220400)(2x c x b ax x x F 则a = 1 ,b= 0 ,c= 1 , }1{≤X P = 1/4 ，}321{≤<X P = 15/16 。

4.设随机变量X 的概率密度函数为：+∞<<∞-=+-x Ae x f x ,)(12则A= ,E(2X) = ,D(2X+1) = . E(X 2) = ,5. 设在一电路中，电阻两端的电压（V ）服从分布N(120,4)，今独立测量了5次，5次的测量值均小于120V 的概率为 1/25 。

6．随机变量X ~N （1，4），Y ~N （0，9）， X 、Y 之间的相关系数为0.5，则E(X+2Y) = ,D(X+2Y) = E(X 2+Y) = ,D(X －2Y )= 。

7．随机变量X ~N （1，4），Y ~N （0，9），X 、Y 相互独立，则：X+2Y 服从的分布为 ，X －2Y 服从的分布为 ，X 、Y 之间的协方差为 。

三． 计算题（30分，每题15分）1. 设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球，第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球，独立地在两只盒子中各取一球。

用i B 表示在第i 只盒子中取得蓝球；i G 表示在第i 只盒子中取得绿球；i W 表示在第i 只盒子中取得白球；i=1,2. 用A 表示“取到的两球中至少有一只蓝球”， 用F 表示“取到的两球中有一只蓝球一只白球”，（1） 用i B ，i G ，i W 表示事件A, 并求P(A).（2） F FA =是否成立？（3） 已知6316)(=F P , 求()A F P . 2. 设随机变量),(Y X 的概率密度函数为：⎩⎨⎧<<<<+=其他,010,10,),(y x y x y x f 求：（！）).(),(X D X E （2）Y X Z+=的概率密度函数。

3. 设随机变量X 的概率密度函数为： ⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x 求：（！）).(),(X D X E （2）2X Z =的概率密度函数4. 设随机变量X 的概率密度函数为：⎩⎨⎧<<=其他,010,1)(x x f求：（1）).(),(X D X E （2）2X Z =的概率密度函数（3）X 与2X 是否相互独立？为什么？5. 设总体X 具有分布律其中θ为未知参数，已知取到了样本值5.0,5.2,2,14321====x x x x ，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。

6. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以“小时”计）分别为6.10 5.60 5.80 6.507.00 6.30 5.60 6.50 4.60 经计算这9个数的和为54.00小时，这9个数的平方和为327.92（小时）2，设干燥时间总体服从正态分布),(2σμN ，① 求μ的置信水平为0,95的置信区间。

② 若有以往经验知σ=0.6小时，求μ的置信水平为0,95的置信区间。

四． 综合题（30分，每题15分）1.已知随机变量n X X X 21,相互独立且分布相同，它们的概率分布律为n i p q X i 2,1,10~=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

有随机变量n X X X Y 21=，求：①Y 的概率分布律 ②)(),(Y D Y E2. .随机变量21,X X 的概率分布律为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.010~,5.05.010~21X X 。

21,X X 的相关系数为0.8，求： ①),(21X X 的联合分布律 ②)2(,)(),(212121X X D X X D X X E -+ ③21X X Y =的概率分布律 ④21X X Z +=的概率分布律3. 已知随机变量21,X X 的概率分布律为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.010~,5.05.010~21X X 证明：若21,X X 不相关，则21,X X 相互独立。

4．已知随机变量X 的概率密度函数为：+∞<<∞-=-x Aex f x )( 试求：①A ，)(),(X D X E②2X 的分布 ③X 与2X 之间的协方差④X 与2X 是否相互独立？为什么？⑤根据题目中的条件是否可以确定),(2X X 的联合分布，如果可以，给出该联合。