对微分方程两边进行拉氏变换
L LCs U o ( s) sU o ( s) U o ( s) U i ( s) R
2
U o ( s) G ( s) U i (s)
1 LCs 2 L s 1 R
R LCRs 2 Ls R
R1 +
R2 + C1 C2 +
R1
R2
① ② ③ ④
式中T1、T2、K1、K2、K3均为正的常数，系统的输入 为r(t)，输出为c(t)，画出系统的传递函数方框图。
①
x1 (t ) r (t ) c(t )
R(S) X1(S)
X 1 ( s) R( s) C ( s)
C(S)
②
dx2 (t ) T1 K1 x1 (t ) x2 (t ) dt
（3）若遵循前一个环节的输出为下一个环节的输入， 则容易画图。
例题 系统的微分方程为：
x1 (t ) r (t ) c (t ) dx2 (t ) T1 K1 x1 (t ) x2 (t ) dt x3 (t ) x2 (t ) K 3c (t ) dc (t ) T2 c (t ) K 2 x3 (t ) dt
T1sX 2 ( s) K1 X 1 ( s) X 2 ( s) (T1s 1) X 2 ( s#43;
+ C2
ui
-
u o ui
-
u1
-
uo
-
duo du1 ui C1 C2 R1 u1 dt dt
duo u1 C 2 R2 u o dt
d duo duo duo ui C1 C 2 R2 u o C 2 R1 C 2 R2 u o dt dt dt dt
1 C→ SC
U R ( s) R I R ( s) U L (s) SL I L (s)
1 U C ( s) I C ( s) sC
节点
i(t ) I (s) u (t ) U ( s)
I (s) 0
回路
U (s) 0
作业讲解
2-5. 求如图所示运放电路的传递函数。 (c)
（3）系统的特征方程 系统传递函数分母等于零所得的方程，即
特征根：特征方程的根，也是传递函数的极点。
matlab
二.求电路系统的传递函数 无源网络：由无源元件组成的电气网络。 不含电源的器件：R、L、C等。
有源网络：包含有源元件的电气网络。 含电源的器件：运算放大器。
列微分方程法 复阻抗法
电气系统
+ uo -
+
ui
-
uo
-
ui u L u o
di uL L dt
uo duo i C R dt
duo d uo ui L C uo dt R dt
d 2 u o L duo uo ui 整理得：LC 2 R dt dt
d 2 u o L duo LC uo ui 2 R dt dt
《自控原理总复习》
2013城轨电化
第二章
线性系统的数学模型
一. 传递函数的定义
传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入的拉 氏变换之比。
说明
（1）传递函数由系统本身的结构和参数决定，与输 入信号的具体形式和大小无关。
（2）传递函数的零、极点、增益模型
( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) C (s) G (s) k R(s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
ui
1 SC1
C1
R2
C2
1 SC2
I (s)
R1 +
U i ( s)
uo
U o ( s)
1 R1 C1s U i (s) I (s) 2 1 U ( s ) C C R R s (C2 R2 C1R1 )s 1 o 1 2 1 2 R1 G( s ) C1s U i ( s) C2 R1s 1 U o ( s) ( R2 ) I ( s) sC2
列写电气网络的微分方程要用到以下规律：
KCL电流定律： KVL电压定律：
i 0
u 0
di L uL L dt duC iC C dt
元件的伏安关系： uR RiR
理想运算放大器：虚短、虚断
作业讲解
2-1.试求图示电路的微分方程和传递函数。
+ ui L
+
R
C
i
L + uL R C +
C C R R s
1 2 1 2
2
(C1 R1 C2 R1 C2 R2 )s 1U o (s) U i (s)

U o ( s) 1 G( s) U i (s) C1C2 R1 R2 s 2 (C1 R1 C2 R1 C2 R2 )s 1
L + ui + C1 + u1 -
d 2uo duo duo R1 R2 C1C 2 (C1 C 2 ) R1 C 2 R2 uo 2 dt dt dt
整理得：
d 2uo duo R1 R2 C1C 2 (C1 R1 C 2 R1 C 2 R2 ) uo ui 2 dt dt
对微分方程两边进行拉氏变换
R + C2 uo -
duo d du1 ui L C1 C2 u1 dt dt dt
du o u1 C2 R uo dt
d 3uo d 2 uo duo LRC1C2 3 L(C1 C2 ) 2 RC2 uo ui dt dt dt
用运算阻抗（复阻抗）法求电路的传递函数 运算电路 R→R L→SL
三.典型环节的传递函数
典型环节 比例环节 惯性环节 传递函数
K
1 Ts 1
积分环节
纯微分环节 一阶微分环节 二阶振荡环节
1 s
s
Ts 1
1 T 2 s 2 2Ts 1
四.已知系统各环节微分方程组画方框图
注意
（1）方框图形式要规范，前向通路、反馈通路要清晰 明确，左边为系统总输入R(s)，右边为输出C(s)。 （2）方框图中的各个环节都必须是典型环节。