（2）令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
所以函数 在 上单调递增，
由于曲线 在 处的切线方程为 ， ，可猜测函数 的图象恒在切线 的上方.
先证明当 时， .
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 ，所以 ，
所以存在 ，使得 ，
导数中的不等式证明
命题角度1构造函数
【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数 ，若曲线 与曲线 的一个公共点是 ，且在点 处的切线互相垂直．
（1）求 的值；
（2）证明：当 时， ．
【解析】（1） ；
（2） ， ，
令 ，则
，
，
因为 ，所以 ，
所以 在 单调递增， ，即 ，
所以当 时， ．
【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.
思路二：因为 ，只需证 ，
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减， ，即证 .
由上述分析可知 .
【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于 （或 ）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法.
思路三：要证明 ，只需证 .
【解析】由于 表示点 与点 之间的距离 ，而点 的轨迹是曲线 ，点 的轨迹是曲线 ，
如图所示，又点 到直线 的距离为 ，
自然想到转化为动点 到抛物线准线 的距离，
结合抛物线的概念可得
，所以 ，当且仅当 共线，
又以 为圆心作半径为 的圆与 相切，切点是 ，此时的公切线与半径垂直， ，即 ，所以 ，故 .正确答案为C.
（1）求实数 的取值范围；
（2）求证： .
解析：（1）由于 ，则 ，
设 ，则 .
令 ，解得 .
所以当 时， ；当 时， .
所以 .
①当 时， ，所以函数 单调递增，没有极值点；
②当 时， ，且当 时， ；当 时， .
此时， 有两个零点 ，不妨设 ，则 ，
所以函数 有两个极值点时，实数 的取值范围是 ；
【一题多解】本题也可以变形为 ，转化为过原点的直线 与函数 图象有两个交点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点.
（2）由题意， ， ，
因为 是函数 两个不同的极值点，
不妨设 ， ，即 ，两式相减得 .
要证 ，即证明 ，
只需证 ，即 ，亦即 .
令 ，只需证当 时，不等式 恒成立，
【解析】（1） ；
（2）设数列 的前 项的和分别为 ，则
由于 ，解得 ；
同理， ，所以只需证明 .
由（1）知 时，有 ，即 .
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ；
再证明 ，亦即 ，
因为 ， ，
所以只需证 ，
现证明 .令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减， ，
所以当 时， 恒成立，
令 ，则 ，
综上， ，
所以对数列 分别求前 项的和，得 .
【典例13】（咸阳市2018届三模）已知函数 ， .
（1）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求证： .
（1）求证： 时， ；
（2）求证： ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
又 ， ，所以该切线方程为 ．
设 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，即 在 上单调递增，
所以 ，故 时， ；

所以 ，
化简可得 ，得证.
【方法归纳】本题 ，其 ， ，说明函数 为凹函数，因此有 .此类问题实质上，第（1）小题的研究正是为第（2）小题的解决而服务的，呈现“层层递进”的特点.
（2） ， ， ，
因为 分别是函数 的两个零点，所以 ，两式相减，得 ，
，
要证明 ，只需证 .
思路一：因为 ，只需证 .
令 ，即证 .
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减， ，即证 .由上述分析可知 .
【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把 转化为 的函数，常把 的关系变形为齐次式，设 等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法.
【答案速得】函数 有两个极值点实质上就是其导数 有两个零点，亦即函数 与直线 有两个交点，如图所示，显然实数 的取值范围是 .
（2）由（1）知， 为 的两个实数根， ， 在 上单调递减.
下面先证 ，只需证 .
由于 ，得 ，
所以 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ， ，所以 .
由于函数 在 上也单调递减，所以 .
【思路点睛】对于含有 与 型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征，灵活变形，脑中有“形”，注意重要不等式 的合理代换.
命题角度3切线法
【典例5】（2018届安徽省太和中学三模）已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）求证：当 时， .
【解析】（1） ， ，
由题设得 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；
（1）当 时，方程 在区间 上有两个不同的实数根，求 的取值范围；
（2）当 时，设 是函数 两个不同的极值点，证明： .
【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
，当 时， ，当 时， ，
要使方程 在区间 上有两个不同的实数根，则 ，解得 ，
故 的取值范围是 ；
【解析】（1） ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）要证明 ，即证 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 .
要证 ，只需再证 即可.
易证 ，当且仅当 时取等号（证明略），所以 ，
综上所述，当 时，都有 .
命题角度2放缩法
【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数 ，在 处的切线方程为 .
（1）求 ；
（2）若 ，证明： .
【解析】（1） ， ；
（2）由（1）可知 ， ，
由 ，可得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，
当 时，设 ，则 ，
故函数 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
【典例12】（成都市2018届高中毕业班二诊文科）已知函数 .
（1）当 时，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
（2）当 时，证明： .
【解析】（1）由 ，得 恒成立，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
所以 ，即 ，故 的取值范围是 ；
（2）有（1）知 时，有 ，
设 ，则 ，
易证 ，所以 ，
所以 在 上单调递减， ，即 .
综上所述， 成立.
【审题点津】函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征，适当变形为两个变量之差（或比值）的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题.
【典例9】（2018届合肥三模）已知函数 有两个极值点 ( 为自然对数的底数).
所以 .
①要证 ，可证 ，只需证 ，
易证 （证明略），所以 ；
②要证 ，可证 ，
易证 （证明略），由于 ，所以 ，
所以 ，
综上所述，当 时，证明： .
【方法归纳】若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系进行放缩，此类问题实质就是应用函数凸凹性进行切线放缩法.
即证 ，由对数平均数易得.
【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法.
【知识拓展】对于 ，则 ，其中 称之为对数平均数.简证如下：不妨设 ，只需证明 即可，即 （下略）.
【典例8】（A10联盟2018年高考最后一卷）已知函数 .
故 ，即 ，所以实数 的取值范围是 .
思路2：因为函数 有零点 ，所以 的解分别为 ，
因为函数 有零点 ，所以 的解分别为 ，
令 ，①若 ，如图，总有 ，不适合题意；
②若 ，如图，总有 ，欲使 ，亦即 ，
所以 ，即 ，
两边平方，化简可得 ，所以 .
所以实数 的取值范围是 .正确答案为C.
思路3：因为函数 有零点 ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，即 .
故 .
【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.
【典例3】（成都市2018届高中毕业班二诊理科）已知函数 .
（1）当 时，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
（2）当 时，证明：
【能力提升】（2018年甘肃省高中毕业班第一次诊断性考试）对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为
【答案】 .
命题角度4二元或多元不等式的解证思路
【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .
1）求实数 的值；（2）设 分别是函数 的两个零点，求证： .
【解析】（1） ；
任意两点所连的线段都不落在图象的上方. ，则 单调
递减， 在 上为凸函数；
②总有 （当且仅当 时，取等号），
则函数 在 上是凹函数，其几何意义：函数 的图象上的
任意两点所连的线段都不落在图象的下方. ，则 单调递增， 在 上为凹函数.