导数题型一:证明不等式
不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。
下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路,并通过构造辅助函数,证明一些不等式。
一.构造形似函数型
例1.求证下列不等式
(1))
1(2)1ln(22
2x x x x x x +-<+<-),0(∞+∈x (相减) (2)πx
x 2sin >)2,0(π
∈x (相除两边同除以x 得π2
sin >x x )
(3)x x x x -<-tan sin )2,
0(π∈x (4)已知:)0(∞+∈x ,求证x
x x x 11ln 11<+<+;(换元:设x x t 1+=) (5)已知函数()ln(1)f x x x =+-,1x >-,证明:11ln(1)1x x x -
≤+≤+ 巩固练习:
1.证明1>x 时,不等式x
x 132-
> 2.0≠x ,证明:x e x +>1
3.0>x 时,求证:)1ln(2
2
x x x +<-
4.证明: ).11(,3
2)1ln(3
2<<-+-≤+x x x x x 5.证明: 331an x x x t +>,)2
,0(π∈x . 二、需要多次求导
例2.当)1,0(∈x 时,证明:22)1(ln )1(x x x <++
例3.求证:x >0时,211x 2
x e x ->+ 例4.设函数f (x )=ln x +
2a x 2-(a +1)x (a >0,a 为常数).若a =1,证明:当x >1
时,f (x )< 12x 2-21
x x +三、作辅助函数型
例5.已知:a 、b 为实数,且b >a >e ,其中e 为自然对数的底,求证:a b >b a . 例6.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函数f(x)的最大值;
(ii)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g(2
b a +)<(b-a)ln2. 巩固练习
6、证明(1))0(ln b a a a
b a b
b a
b <<-<<-
(2)0,0>>b a ,证明b a b a b a b a ≤++)2
( (3)若2021π
<<<x x ,证明:1
212tan tan x x x x > 四、同增与不同增
例7.证明:对任意21ln 0,
1e e x x x x x ---><+. 例8.已知函数1()1,()ln x x f x g x x x e
-=-=-证明:21(ln )()1x x f x e ->-. 五、极值点偏移(理科)
例9.已知函数.如果且证明. 例10.已知函数()(1)e x f x x x -=-∈R ,,其中e 是自然对数的底数.若12x x ≠,且12()()f x f x =,求证:12 4.x x +>
六、放缩法
例11.已知:2≥∈n N n 且,求证:
11211ln 13121-+++<<+++n n n 。
例12.当2≥n 且*N n ∈时,证明:n n
ln ln 13ln 12ln 1>+++ . 例13.求证:(). 巩固练习
7.证明:对任意的正整数n ,不等式34249+++…21ln(1)n n n ++
>+都成立. 8.已知n N *∈且3n ≥,求证: n+11111ln
<++++3345n . 9.求证:ln 2ln 3ln 4234
⨯⨯×…×ln n n <1n (n≥2,n ∈N *). 10.证明:对任意的*∈N n ,有)
1(2ln 1)1ln(22ln 11ln 2
+<+--+++n n n n n n . 七、综合题型
例13.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.
()()x f x xe x R -=∈12,x x ≠12()(),f x f x =122x x +>1
21715131)1ln(+++++>+n n n *N ∈
(Ⅱ)证明:(1)()0x f x -≥ .
例14.a 为实数,函数()22,x
f x e x a x R =-+∈ (1)求()f x 的单调区间
(2)求证:当12ln ->a 且0x >时,有221x e x ax >-+
例15.已知函数21()(2)ln 2
x f x a x x a =-+(0a >且1a ≠). (1)当a e ≥时,求证:()f x 在(0,)+∞上单调递增;
(2)当21[,][,1)a e e e ∈且[1,)t ∈+∞时,求证:2
(21)2()3f t f t e --≥-+.。