学科：初中中数学教材版本：沪教版学员年级：六年级课时数：3课题角的和差倍分教学目标1、理解角的概念,掌握角的有关名称2、掌握角的大小比较方法3、理解两个角的和差倍的意义,并会用等式表示角的和差倍的关系，会画角的和差倍4、理解余角补角的概念教学内容知识点1：角的大小的比较方法（1）量角器（2）叠合法知识点2：角的和、差、倍（1）两个角可以相加，它们的和也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和。

（2）两个角可以相减，它们的差也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的差。

知识点3：角平分线（1）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

（2）角平分线的作法【例题1】能用∠α、∠AOB、∠O三种方式表示同一个角的图形是（）A B C D【解析】A【检测1】如图,能用∠1、∠ABC、∠B三种方法,表示同一个角的是（）A B C D【解析】B【例题2】8点30分时,时钟的时针与分针所夹的锐角是（）A.70°B.75°C.80°D.60°【解析】解：钟面每份是30°，8点30分时针与分针相距2.5份，8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是30°×2.5=75°，故选：B．【检测2】时钟的时针在不停的旋转,时针从上午的6时到9时,时针旋转的旋转角是（）A.30°B.60°C.90°D.9°【解析】解：∵时针从上午的6时到9时共旋转了3个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角=30°×3=90°．故选：C．【例题3】用一个放大镜去观察一个角的大小，正确的说法是（）A.角的度数扩大了B.角的度数缩小了C.角的度数没有变化D.以上都不对【解析】C【检测3】下列说法正确的是（）A.两点之间直线最短B.用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C.将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D.直线l经过点A,那么点A在直线l上【解析】解：（1）对于A选项，直线没长度，故A错误．（2）放大镜能够把一个图形放大，不能够把一个角的度数放大，故B错误．（3）对于C选项，没有提到所分角的相等，故C错误．（4）直线过A点，则A一定在直线上．综上可得只有D正确．故选：D．【例题4】如图,OC⊥AB,OE为∠COB的角平分线,∠AOE的度数为_________A.130°B.125°C.135°D.145°【解析】解：∵OC⊥AB，∴∠COB=∠AOC=90°，∵OE为∠COB的角平分线，∴∠COE=45°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+45°=135°；【检测4】如图,已知∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=20°,则∠AOB=（）A.40°B.60°C.120°D.135°【解析】解：设∠AOC=x，则∠BOC=2x，则∠AOD=1.5x．∵∠AOD﹣∠AOC=∠COD，∴1.5x﹣x=20°，解得：x=40°．∴∠AOB=3x=120°．故选：C．【例题5】设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为α，则（）A.0°＜α＜90°B.0°＜α≤90°C.0°＜α＜90°或90°＜α＜180°D.0°＜α＜180°【解析】解：设这个角的为x且0＜x＜90°，根据题意可知180°﹣x﹣x=α，∴α=180°﹣2x，∴180°﹣2×90°＜α＜180°﹣2×0°，0°＜α＜180°．故选：D．【检测5】(1)下列说法中正确的个数是（）①锐角的补角一定是钝角;②一个角的补角一定大于这个角;③如果两个角是同一个角的补角,那么它们相等;④锐角和钝角互补;⑤如果互补的两个角相等;那么这两个角都是90°A.1B.2C.3D.4【解析】解：锐角的补角一定是钝角，①正确；钝角的补角小于这个角，②错误；如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，③正确；锐角和钝角不一定互补，④错误；如果互补的两个角相等，那么这两个角都是90°，⑤正确．故选：C．(2)如图所示,在三角形ABC中,点D是边AB上的一点.已知∠ACB=90°,∠CDB=90°,则图中与∠A互余的角的个数是__________【解析】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A互余的角的个数是2．【例题6】已知∠AOB=α（90°＜α＜180°）,∠COD在∠AOB的内部,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD(1)若∠COD=180°﹣α时,探索下面两个问题:①如图1,当OC在OD左侧,求∠MON的度数②当OC在OD右侧,请在图2内补全图形,并求出∠MON的度数（用含α的代数式表示）(2)如图3,当∠COD=kα,且OC在OD左侧时,直接写出∠MON的度数（用含α、k的代数式表示）【解析】解：（1）①如图1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，∴∠AOM+∠BON=（∠AOC+∠BOD），∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°，∴∠AOM+∠BON=（2α﹣180°）=α﹣90°，∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣（α﹣90°）=90°；②当OC在OD右侧，补全图形如图2所画，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=α+（180°﹣α）=180°，∴∠AOM+∠BON=×180°=90°，∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣90°；（2）∠MON的度数为（1+k）α．理由：如图3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，∴∠AOM+∠BON=（∠AOC+∠BOD），∵∠AOB=α，∠COD=kα，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣kα，∴∠AOM+∠BON=（α﹣kα）=α（1﹣k），∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣α（1﹣k）=（1+k）α．【检测6】已知:∠AOD=160°,OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线(1)如图1,若OM平分∠AOB,ON平分∠BOD.当OB绕点O在∠AOD内旋转时,求∠MON的大小(2)如图2,若∠BOC=20°,OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小(3)在(2)的条件下,若∠AOB=10°,当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时,∠AOM:∠DON=2:3,求t的值【解析】解：（1）因为∠AOD=160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD所以∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD即∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD所以∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD即∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC=（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC=×180°﹣20°=70°；（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=2t°+10°+20°=2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=t°+15°．∵∠BOD=∠AOD﹣∠BOA，∠AOD=160°，∴∠BOD=150°﹣2t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=∠BOD=75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON=2：3，∴（t+15）：（75﹣t）=2：3，解得t=21．答：t为21秒．【测试1】已知∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,则∠MOD的度数是（）A.20°或50°B.20°或60°C.30°或50°D.30°或60°【解析】解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，∴∠AOC=80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=∠AOC=40°，∴∠DOM=∠AOM﹣∠AOD=40°﹣10°=30°；如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，∠DOM=∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；故选：C．【测试2】如图,直线EF与MN相交于点O,∠MOE=30°,将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合,OB在∠NOE内部.操作:将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周,设运动时间为t秒(1)当t为何值时,直角边OB恰好平分∠NOE?此时OA是否平分∠MOE?请说明理由(2)若在三角尺转动的同时,直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周,当一方先完成旋转一周时,另一方同时停止转动①当t为何值时,EF平分∠AOB?②EF能否平分∠NOB?若能请直接写出t的值;若不能,请说明理由【解析】解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB=∠NOE=（180°﹣30°）=75°，∴90°﹣3t°=75°，解得：t=5．此时∠MOA=3°×5=15°=∠MOE，∴此时OA平分∠MOE．（2）①OE平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=90°÷2，解得t=2.5；OF平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=180°+90°÷2，解得t=32.5．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB②OB在MN上面，依题意有180°﹣30°﹣9t=（90°﹣3t）÷2，解得t=14；OB在MN下面，依题意有9t﹣（360°﹣30°）=（3t﹣90°）÷2，解得t=38．故EF能平分∠NOB，t的值为14s或38s．【练习1】一个角的补角比它的余角的4倍少30°，这个角的度数是【解析】解：设这个角为x，由题意得，180°﹣x=4（90°﹣x）﹣30°，解得x=50°．故答案为：50°．【练习2】如图,OA的方向是北偏东15°,OB的方向是北偏西40°,若∠AOC=∠AOB,则OC的方向是【解析】解：∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°∴∠AOB=40°+15°=55°∵∠AOC=∠AOB∴OC的方向是北偏东15°+55°=70°【练习3】将两块直角三角板的直角顶点重合，如图所示，若∠AOD=128°，则∠BOC的度数是_______【解析】解：∠BOC=∠AOB+∠COD﹣∠AOD=90°+90°﹣128°=52°．【练习4】如图,直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC(1)若∠EOC=70°,求∠BOD的度数(2)若∠EOC:∠EOD=2:3,求∠BOD的度数【解析】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=×70°=35°，∴∠BOD=∠AOC=35°；（2）设∠EOC=2x，∠EOD=3x，根据题意得2x+3x=180°，解得x=36°，∴∠EOC=2x=72°，∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，∴∠BOD=∠AOC=36°．【练习5】如图所示,OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC(1)如果∠AOB=90°,∠BOC=38°,求∠DOE的度数(2)如果∠AOB=α,∠BOC=β（α、β均为锐角，α＞β）,其他条件不变,求∠DOE(3)从(1)、(2)的结果中,你发现了什么规律,请写出来【解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=38°∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+38°=128°又∵OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠AOC=×128°=64°∠COD=∠BOC=×38°=19°∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=64°﹣19°=45°（2）∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，又∵OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠AOC=（α+β）∠COD=∠BOC=β∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=（α+β）﹣β=α+β﹣β=α；（3）∠DOE的大小与∠BOC的大小无关．。