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海森堡认为，微观粒子既不是经典的粒子，也不是经典 的波；当人们用宏观仪器观测微观粒子时，就会发生观测 仪器对微观粒子行为的干扰，使人们无法准确掌握微观粒 子的原来面貌；而这种干扰是无法控制和避免的，就像盲 人想知道雪花的形状和构造。通过仔细分析，海森堡得出 电子坐标的不确定程度Δx和动量的不确定程度Δp遵从： Δx·Δp～h；同样，能量和时间这种正则共轭物理量也遵从 测不准关系，海森堡认为“这种不确定性，正是量子力学 中出现统计关系的根本原因”。
3.2 不确定关系
一、不确定关系的表达式 二、不确定关系的含义 三、不确定关系应用举例
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一、不确定关系的表达式
1927年，海森堡在论文《量子论中运动学和动力学的 可观测内容》中，提出了著名的“测不准原理”。为了 说明他的测不准原理，海森堡设计了一个理想实验：用 一个γ射线显微镜观测一个电子。由于显微镜的分辨率 受光波波长的限制，为了精确确定电子的位置，应该使 用波长短的光，而波长越短，光子的动量越大，根据康 普顿散射，引起电子动量的变化就越大。因此电子的位 置愈准确，就愈难确定电子的动量。反之亦然。
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*微观粒子和宏观物体特性之比较
动规律用牛顿力学描述
连续可测的运动轨道 有运动轨迹可以分辨
可处于任意能量状态， 即能量可以连续变化
测不准关系不表现出实际意义
解：电子的动量为
p mv 9.11031 200 1.81028 kg.m.s1
动量的不确定范围为
p 0.01% p 1.81032 kg.m.s1
由不确定关系，得电子位置的不确定范围
x
h
4px

6.63 1034
4 1.81032
s m
1010 m / s
比起微尘运动的一般速度（10-2m.s-1）是完全可以忽略 的，至于质量更大的宏观物体，Δv就更小了。由此可见， 可以认为宏观物质同时具有确定的位置和动量，因而服 从经典力学规则。
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例2
质量为0.01kg的子弹，运动速度为1000ms-1，若速度的不 确定程度为其运动速度的1%，求其位置的不确定度
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不确定关系的表达式 x px 2 y py 2 z pz 2
t E 2
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二、不确定关系的含义 x px 2
上式说明动量的不确定程度乘坐标的不确定程度不小于一常数h。
表明微观粒子不能同时有确定的坐标和动量，当它的某个坐标确 定的越准确，其相应的动量就越不准确，反之亦然。
2.95103 m
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说明
测不准关系式是微观粒子波粒二象性的反映。 是人们对微观粒子运动规律认识的深化。测不 准关系不是限制人们认识的限度，而是限制经 典力学的适用范围。具有波粒二象性的微观粒 子，它没有运动轨道，而要求人们建立新的概 念表达微观世界内特有的规律性，这就是量子 力学的任务。
解：根据不确定关系： x px 2
所以
h
h
6.63 1034
x 4px 4 M v 4 0.01 500104
1.0511031 m
可见，x远远小于宏观仪器的测量误差范围，显然
不确定关系对于宏观物体是及不重要的。
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例题：一电子具有200m/s的速率，动量的不确定范围为 0.01%,则该电子的位置不确定范围多大？
粒子在客观上不能同时具有确定的位置坐标 及相应的动量。
这是由于粒子具有波粒二象性这一本身性质引起的。
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t E / 2
同样，时间t 和能量E 的不确定程度也有类似的测不准关系式
ΔE 是能量在时间t1和t2时测定的两个值E1 和E2 之差，它不是在 给定时刻的能量不确定量，而是测定能量的精确度ΔE 与测量 所需时间Δt 二者所应满足的关系。
因为原子的大小为10-10m，那么电子的位置测量的精确度至 少Δx=10-10m才有意义。因此电子速度的不确定度为：
Δv = h/(Δx·m)
=（6.626×10-34J.s）/(10-10m×9.1×10-31kg)
≈ 106～107m.s-1
已知分子，原子中电子的运动速度约为106m.s-1，即当电子的 位置的不确定程度Δx=10-10m时，其速度的不确定程度已大于电 子本身的运动速度。因此，原子、分子中电子的不能用经典力 学处理。
b. 测不准原理关系在宏观体系中也适用，只不过是测不 准量小到了可忽略的程度。
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例1
对于宏观物体，设其位置的测量准确度为Δx=10-8m （其准确度已非常高），对质量m=10-15kg的微尘，求 速度的测不准量。由测不准关系式得 ：
vx

px m

h mx

6.6 1034 J 1015 kg 108
原子中电子处在激发态时的能级并不是单一的 值，而是有一定的宽度ΔE ，它停留时间越短， 不确定的范围就越大。
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三、测不准关系应用举例
应用
测不准关系式可用于判断哪些物体其运动规律可用 经典力学处理，而哪些则必须用量子力学处理。
说明
a. 坐标与其共轭动量（同一方向上的动量分量）不能同 时确定。而非共轭如x与py 之间不存在上述关系。
x h 6.6 10 34 6.6 10 34 m mv 0.01 1000 1%
位置的不确定度Δx 如此之小，与子弹的运动路程相
比，完全可以忽略。因此，可以用经典力学处理。
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例3 对于原子、分子中运动的电子，电子的质量m=9.1×10-
31kg ，原子的数量级为10-10m。由测不准关系式，求得电子速 度的不确定度。
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例4
电子显微镜能够分辨开的两点间的距离可以表示为
d 0.61 sin
d为能分辨开的两点间的最小距离，是物体对物镜张角 的一半，是波长。因为电子德布罗依波长比可见光的波 长要短的多，所以电子显微镜的分辨率（放大倍数）比 光子显微镜要大的多。
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例题：一粒子弹的速度v=500m/s，其准确度为0.01%，求测 定子弹坐标可达到最高准确度（子弹质量为0.01千克）。