• 对电子，用量子，即应该用Fermi—Dirac分布 来代替Maxwell—Boltzmann分布
f FD ( E ) e E EF / k BT 1 1
• 在温度T下，能量为E的状态被占据的几率。式 中EF称为化学势，是温度的函数。当温度为零 时称为费米能级电子最高占据能量
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自旋
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Sommerfeld模型
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为了将求和转换为积分，利用k空间单位体 积内的状态数，可得
V 1 3 k 8
E0 2 V V
2k 2 2 3 8 k k F 2m
2k 2 k k k F 2m
k kF 1 2 4k dk 2 2m 10m k kF
2 2 2 2 E k k (k x k y k z ) 2m http://10.107.0.68/~jgche/ 2m Sommerfeld 模型
2
2
12
讨论
2 2 2 2 2 E k k (k x k y k z2 ) 2m 2m
• 自由电子的状态用量子数k来描述！ • k是电子动量算符p的本征态，电子动量 p k
L
k (r ) e
ik y L
ik r
边界条件导致k取值 的量子化，分立值
循环边界条件既保持 ik x L ik z L e e e 1 了固体的有限尺寸， 又易于操作。另一种 2 4 6 k x , k y , k z 0; ; ; ; 边界条件即驻波条 L LSommerfeld L 模型 件，作为习题。 14 http://10.107.0.68/~jgche/
Sommerfeld模型
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循环边界Born-von Karman条件
( x L, y , z ) ( x , y , z ) ( x , y L, z ) ( x , y , z ) ( x, y , z L ) ( x, y , z )
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Sommerfeld模型
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6、状态密度——能量空间
• 状态空间，k点等间距分布，每个k点占有的体 积 3 3 2 8 k V L • k空间单位体积内k点数——状态密度（常数）
V 1 3 k 8
• 更常用的是能量空间的状态密度？
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1
本讲目的
• 改用量子处理，但仍用Drude模型的三个假定
* 分析为什么经典模型的比热会被高估？ * 半经典定性估计电子能量仍用经典，但用量子统 计，即用Fermi—Dirac分布代替Maxwell— Boltzmann分布，比热基本正确 * 这个结果提示我们该用量子力学来处理电子
思考：经典极限？
7
FD与MB分布比较
• 典型金属，在 室温下的分 布。MB(黑)， FD(红)， FD(T=0K，绿) • 基态，零度时，电子都处于费米能级以下 • 温度升高时，即对它加热，将发生什么情况？ • 某些空的能级将被占据，同时，原来被占据的 某些能级空了出来
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Wiedemann-franz定律成功的原因？
• Drude模型对比热的估计完全失败！ • 但是Drude模型对Wiedemann-Franz定律基本 正确！对热传导系数 1 cV v 2 3 • 比热过高估计（两个数量级）正好被速度的过 低估计所抵消！经典T、量子TF确定速度 • 除了碰撞瞬间，不考虑与离子实的作用也是非 常好的近似，实际因周期性排列没有散射机制 • 现有模型下如何准确计算比热？就是有多少数 量的电子在费米能级附近能被热激发？
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能量空间，kE
• k求和以积分代替，分立连续 V f (k ) 3 f (k )dk 8 k • 在能量空间，对分立能级的求和也可转换成积 分 dN f ( Ei ) f ( E ) D( E )dE D( E ) i dE • D(E)——状态密度：单位能量间隔E~E+dE内 的状态数
k空间基态电子如何分布?
kz kF
电子在k空间都处于 半径为kF的球内， 占据球内每一点
Fermi 能级 速度
温度
kx Pauli原理：每个 k 态填不同自旋的两 个电子，由低到高 填充，形成一个球
2 2 kF k F T E F vF F ky EF kB 2m m
半径 kF 的球内的状态数为
2 2 kF 0 EF 2m
E0 2 3 V 8
2k 2 2 dk 3 2m 8 k kF
2
2
2
5
V 4 3 k F 再利用 N 2 3 2 3
电子气 平均能
2 5 3 2 k F 2 E0 1 3 3 0 3 2kF V 2 EF 3 N 10m V 2 4k F 5 2m 5
8
3、比热的定性估计(半经典)
• 分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每 个电子都得到kBT的能量，而仅仅Fermi能级附 近的电子被激发 • Drude高估了对热容有贡献的电子数 • 估计：有 kBT /kBTF比例 的电子被激发，这部分 电子数目 N N ~ (k BT / k BTF ) (T / TF ) 2 2
• Wiedemann-Franz定律，成功! • 金属电子比热，完全失败
* 实验测量，在低温时，电子对比热的贡献与温度成 正比，在绝对零度时消失 * 但是Drude模型却给出常数
3 cV nk B 2 • 为什么对比热失败？
• 对电导率呢？因为弛豫时间是个可调参数，并不能 说明没有困难 • 基本成功的只有Wiedemann-Franz定律
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4、 Sommerfeld模型(基态性质)
ˆ H
i
p i2 2m
• 在V=L3内的N个自由电子。独立电子近似分 离变量单电子方程单电子波函数 2 2 2 ik r k (r ) C r (r ) E (r ) k (r ) Ce 2m • 模为常数表示电子在各处出现的几率都相同 • k平面波波矢，方向为平面波传播方向 • k的大小与波长的关系为 k 2 / • 波函数代入方程得到解，即自由电子的能量
V 4 3 N 2 k F 3 2 3
自旋 状态密度 体积
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最高占据能级Fermi能级
F
http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld 模型 球内 基态时电子在半径为 k 的Fermi
Fermi能级？
• 基态下电子填充的最高能级 • Fermi能级：把基态下已被占据的状态和未被 占据的状态分开 • 只有Fermi能级附近的电子才容易被激发
k 1 2 • 则相应的速度 v 比较电子动能 E mv 2 m
• 即自由电子的能量也可写成这个形式 • 现在的问题是，状态量子数k如何取值？ • 固体无限时，k可取任意正数值，E(k)因此是 连续的。对于有限固体来说，k由边界条件定 • 对足够大的固体来说，讨论体性质时，边界是 可以忽略的，通常用循环边界条件
5、状态密度——波矢空间
每个 k值在该空间代表一个点
2 4 kx, ky, kz 0; ; ; L L
• 每个点都是解，描写电子状态 • 每个状态在k空间占体积 2 / L 3 8 3 / V
V 1 3 k 8
2 / L
•状态密度：k空间单位体积内的状态数，它 j 是均匀的，是常数 1 VrjVkj •思考：二维、一维？ N 15 http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 2
• Sommerfeld模型
* 用量子力学处理电子气，给出它的基态的基本性质 并引入一些重要概念 状态密度，费米能级、费米波矢、费米温度、基 态总能量等 † 这些重要概念在超出自由电子模型后也适用
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第3讲、Sommerfeld模型
1. 再论Drude模型 2. 费米—狄拉克分布 3. 4. 5. 6. 7. 比热的定性估计 Sommerfeld模型 状态密度——波矢空间 状态密度——能量空间 T=0时电子气性质
8. 定量计算比热
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Sommerfeld模型
3
1、再论Drude模型
上讲回顾
• Drude模型的近似
* 自由电子近似、独立电子近似、弛豫时间近似
• Drude模型的成功
* 微观上解释电导，热导，Wiedemann-Franz定律
• Drude模型的困难
* 比热被严重高估，另外还有磁化源自（后面会涉及） 原因并非模型假定，而是经典？量子？ * 电子自由程108倍的困难, 也是模型似乎成功的物理 深刻原因周期结构的散射是相干散射，要到能 带理论才能解释
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FD分布性质
f (E)
基态
1 e
( E E F ) / k BT
1
0 f (E) 1
1 当E EF T ~ 0K, f ( E ) 0 当E EF