题目：41. 出口贸易额的增长趋势☆☆☆☆1981年以来我国出口贸易额逐年增长，请建立数学模型分析出口贸易额随时间变化的趋势。

相关数据请查阅国家统计局网站中统计年鉴并加以整理，网站地址为：.cn/tjsj/ndsj/。

作者：历年出口贸易金额资料来源：中国统计年鉴网址：.cn/tjsj/ndsj/2011/indexch.htm单位：亿美元年份总额1980 181.191985 273.501990 620.911991 719.101992 849.401993 917.441994 1210.061995 1487.801996 1510.481997 1827.921998 1837.091999 1949.312000 2492.032001 2660.982002 3255.962003 4382.282004 5933.262005 7619.532006 9689.782007 12204.562008 14306.932009 12016.122010 15777.54摘要目前，预测已经成为一门重要的学科伴随着预测科学的发展，非线性预测方法的使用及组合预测方法是目前研究的重点，同时也随之出现了很多的非线性方法和组合预测方法，但是，不同的事物因所受影响因素的不同，表现出不同的发展规律，而不同的组合预测方法因其构成机理的不同而导致适用条件的不同预测模型的建立其根本目的就是为了解决不同的预测问题，因此对不同的组合预测模型进行分析，发现现有组合预测模型的不足之处根据事物发展规律选择合适的组合预测模型以提高预测精度，具有非常重要的作用和意义本文旨在构建合适的组合预测模型对我国快速发展的区域出口贸易额进行预测，为未来的区域出口贸易发展和调控提供依据本文在对组合预测、及出口预测的相关文献进行分析的基础上，提出了现有研究存在的主要问题，接着本文对区域出口贸易额预测模型的构建机理进行分析，在结合组合预测模型的优缺点以及区域出口贸易额变化特点的基础上，选择混合预测模型为区域出口贸易额的预测模型然后构建了由误差校正一向量自回归模型以及支持向量机方法相混合的区域出口贸易额的组合预测模型，对所建立的区域出口贸易额的混合预测模型进行了实证研究，以中国的出口贸易额为例，选取1981-2010的出口贸易额，首先运用误差校正一向量自回归模型，选取工业总产值、财政支出、社会消费品零售总额以及相关的汇率指标、中国的出口贸易额等指标等建立了中国国内出口贸易额的回归预测模型，并运用SVM方法对模型中的协整向量进行非线性化，从而建立中国出口贸易额的回归预测模型，并对2009-2010期间的中国出口贸易额进行预测结果表明，文中所建立的组合预测模型的预测精度明显优于线性VEC模型、BP方法、SVM方法最后对未来一年的中国年度出口贸易额进行了预测,可以看出随着时间的增加，出口贸易额也呈上升趋势!而且上升势头不减！在保持持续增长！∙问题重述建立数学模型分析出口贸易额增长趋势与时间变化趋势之间的相关性。

讨论着两者之间的相关性。

∙模型假设为了较好的达到目的,现假设:Y（代表出口贸易额,）和X（代表时间年份）∙模型的建立利用线性回归模型建立变量Y(代表出口贸易额) 和X (时间) 之间的线性关系。

先建立了关于出口贸易额的增长趋势的回归预测模型！得到多元线性方程Y=b0+b1X+b2X^2+….+bnX^n ∙模型求解通过matlab编程计算，筛选出一个自变量是X(时间年份)以及与Y（出口贸易额），计算得到以下结果Y=1157.463-819.4594X+373.3464X^2-56.30126X^3+3.270077X^4-0.03914788X^5，判断出计算得到2011年到2020出口贸易年的总量，通过与2009及2010的出口贸易总量比较，发现该模型短期预测精度是比较高的。

用matlab对上图数据进行处理绘图得到下图说明：年份=时间轴上的时间+1991∙ 结果分析从表中图可以看出随着时间的增加，出口贸易额也呈上升趋势!而且上升势头不减！在保持持续增长！∙ 模型推广模型简介多项式回归模型为:N N x b x b x b b y ++++= 2210 （1-1）将数据点(,)(1,2,...,)i i x y i n =代入，有i n i n i i i x b x b x b b y ε+++++=...2210 （ i ＝ １ ， ２ ，⋯ ， n ），(1-2)式中01,b b 是未知参数，i ε为剩余残差项或随机扰动项，反映所有其他因素对因变量i y 的影响。

在运用回归方法进行预测时，要求满足一定的条件，其中最重要的是i ε必须具备如下特征：1、i ε是一个随机变量；2、i ε的数学期望值为零，即()0i E ε=；3、在每一个时期中，i ε的方差为一常量，即2()i D εδ=；4、各个i ε间相互独立；5、i ε与自变量无关。

大多数情况下，假定2(0,)i N εδ。

建立一元线性回归模型分以下步骤： Step1、建立理论模型针对某一因变量y ，寻找适当的自变量，建立如（1-1）的理论模型 Step2、估计参数运用普通的最小二乘法或其他方法评估参数01b b 和的值，建立如下的一元线性回归预测模型：i n i n i i i x b x b x b b yε+++++=ˆ...ˆˆˆ2210 （ i ＝ １ ， ２ ，⋯ ， n ） （1-2） 这里01ˆˆb b 和分别是01,b b 的估计值。

如果是采用最小二乘法估计01b b 和的值，即时残差平方和（也称剩余平方和）达到最小， 令010,0Q Qb b ∂∂==∂∂得 10ˆˆ,xy i xxS b b y b x S ==- （1-3）其中 211111,,()n nni i xx i i i i x x y y S x x n n ======-∑∑∑Step3、进行检验回归模型建立之后，能否用来进行实际预测，取决于它与实际数据是否有较好的拟合度，模型的线性关系是否显著等。

为此，在实际用来测量之前，还需要对模型进行一系列评价检验。

1、标准误差标准误差是估计值与因变量值间的平均平方误差，其计算公式为：21ˆ()2niii y yS n =-=-∑ （1-4）它可以用来衡量拟合优度。

2、判定系数2R判定系数2R 是衡量拟合优度的一个重要指标，它的取值介于0与1之间，其计算公式为：22121ˆ()1()niii nii y yR y y ==-=--∑∑ （1-5）2R 越接近于1，拟合程度越好；反之越差。

3、相关系数相关系数是一个用于测定因变量与自变量之间线性相关程度的指标，其计算公式为12211()().()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑ （1-6）相关系数r 与判定系数2R 之间存在关系式：但两者的概念不同，判定系数2R 用来衡量拟合优度，而相关系数r 用来判定因变量与自变量之间的线性相关程度。

相关系数的数值范围是11,r -≤≤当0r >时，称x y 与正相关；当0r <时，称x y 与负相关；当0r =时，称x y 与不相关；当1r =，称x y 与完全相关，r越接近于1，相当程度越高。

相关系数的显著性检验，简称相关检验，它是用来判断y x 与是否显著线性相关的。

相关检验要利用相关系数表，步骤如下： 首先计算样本相关系数r 值。

然后根据给定的样本容量n 和显著性水平a 查相关系数表，得临界值a r ，最后进行检验判断：4、回归系数显著性检验回归系数的显著性检验可用t 检验法进行，令 111b b b t S = （1-7）其中 1121,(2),()b b nii SS t t n x x ==--∑取显著性水平1()),a b a P t t t t αα>=>若，则回归系数1b 显著，此检验对常数项亦适用。

5、F 检验统计量2121ˆ()ˆ()(2)nii ni ii yy F y yn ==-=--∑∑ （1-8）服从(1,2)F n -分布，取显著性水平.F F αα>若（1，n-2），则表明回归模型显著；如果(1,2)F F n α<-，则表明回归模型不显著，改回归模型不能用于预测。

6、DW 统计量DW统计量是用来检验回归模型的剩余项i ε之间是否存在自相关的一种十分有效的方法。

21221()nii i nii DW εεε-==-=∑∑ （1-9）式中 ˆi i i y yε=- 将利用式（1-9）计算而得到的DW 值与不同显著性水平α下的DW值之上限d ε和下限进行比较，来确定是否存在自相关。

DW 值应在04之间。

当DW 值小于或等于2时，DW 检验法则规定： 如果l DW d <，则认为i ε存在正自相关； 如果DW d ε>，则认为i ε无自相关；如果l d DW d ε<<，则不能确定i ε是否有自相关。

当DW 值大于2时，DW 检验法则规定： 如果4l DW d -<，则认为i ε存在负自相关； 如果4DW d ε->，则认为i ε无自相关；如果4l d DW d ε<-<，则不能确定i ε是否有自相关根据经验，DW 统计量的值在1.5 2.5之间时表示没有显著自相关问题，以上检验可利用统计软件包进行回归时同时完成 Step4、进行预测预测可分为点预测和区间预测两类，在一元线性回归中，所谓点预测，就是当给定0x x =时，利用样本回归方程求出相应的样本拟合值0100x b b y +=，以此作为因变量个别值0y 和其均值)(0y E 的估计。

区间预测是给出一个在一定概率保证程度下的预测置信区间。

进行区间预测，首先要进行点预测，确定0x 的值，求得0y 的预测值0y ，0y 的置信度为)%1(100α-的预测区间的端点为：00Sc t y α± (1-10)其中，S 为标准偏差，0t 可由t 分布表查得，其自由度为2-n ,满足αα=>)(t t P ，而∙ 应用于作用该模型在预测与判断未来我国出口贸易额方面，有突出的作用！便于人们了解未来我国出口贸易额变化走向! ∙参考文献姜启源，谢金星．数学模型[M]．北京：高等教育出版社，2003．张树京，齐立心.时间序列分析简明教程[M].北京：清华大学出版社，2003：5-15.徐国祥．统计预测和决策（第二版）[M]．上海：上海财经大学出版社，2005：148-149． 易丹辉.统计预测2方法与应用[M].北京:中国统计出版社,2001：177- 251.∙ 附录V=[620.91 719.10 849.40 917.44 1210.06 1487.80 1510.48 1827.92 1837.09 1949.31 2492.03 2660.98 3255.96 4382.28 5933.26 7619.53 9689.78 12204.56 14306.93 12016.12 15777.54]; c=1:21; R=c';x = [ones( size( R ) ), R, R.^2,R.^3,R.^4,R.^5]; alpha = 0.05;[b, bint, r, rint, stat] = regress(V, x, alpha); n = 1000;t = linspace( min(R), max(R), n);如有你有帮助，请购买下载，谢谢！y = polyval( fliplr( b' ), t );% y = b(1) + b(2) * t + b(3) * t.^2;figure;plot(t, y,'-',R,V,'+');title('图1 出口贸易额随时间变化曲线');xlabel('时间');ylabel('出口贸易额');legend('拟合值','实际值');11页。