直法线假定 : 梁的轴线上任一法线，在变形后仍是变形后轴线的法线，而且法线不 产生任何的伸缩。 先考虑 x y 平面内的弯曲变形。这里有两个位移函数 u ( x, y )和v( x, y ) 。由于法线不 伸缩，所以
y 0
，即
v( x, y ) v( x, 0) v0 ( x)
此外，由于 v0 ( x) 的存在使法线产生了
du (d y ) z (d z ) y
其中
(5.1.1)
d y
和 d z 为 dx 微段两截面分别绕 y 轴和 z 轴相对转过的角度，从而正应变为：
x
其中
u z y x y z
(5.1.2)
y
dx d y
—— 梁轴线在 x z 坐标面内弯曲的曲率半径；
My
和 M z 外，
FQx
和
FQy
，则上述诸式仍适用，这是由于剪切应变能远小于弯曲应变能，从而
其对挠度的贡献也远小于弯曲的贡献。当然这里也有一个矛盾：按上述假定，所有切应 变为零，从而根据胡克定律，所有切应力亦为零，这与剪力存在矛盾。后面我们将另找 途径解决。 5.1.2 梁弯曲的基本方程 我们用一般的弹性力学变分原理加上前面导出的假定，可以导出梁弯曲的基本方程和 边界条件。 由基本假定可得
A
y
EI z
z
(5.1.6)
其中
S y zd A ,
A
S z yd A
A
I y z dA ,
2 A
I z y 2 d A , I yz yzd A
A A
分别是横截面对 y、z 轴的静矩，对 y、z 轴的惯性矩和惯性积。对于确定的截面，这些 量均为已知。 如果截面上的坐标轴取形心主轴 (即原点在形心、坐标轴为惯性主轴 )，则
l x d v0 d w0 ( y z )dA dx pT uds 0 0 x dx dx l dM d v dM y d w0 l z 0 ( )dx (q y v0 +qz w0 )dx 0 0 dx dx dx dx 2 l d2M y dM y d Mz dM z [( q ) v +( q ) w ]d x ( v w0 ) y 0 z 0 0 0 dx 2 dx 2 dx dx
平面假定 ：梁横截面在变形后仍保持平面。 设微段的一侧截面不动，根据平面假定，另一侧截面将发生两种相对位移 (见下图 )：
图 5.1梁的平面假定 在
My
du (d y ) z 作用下绕 y 轴的转动：
在 M z 作用下绕 z 轴的转动： du (d z ) y 由于上述两种位移都很小，所以总的轴向位移 du 为
FQy FQz 0, M x 0
。其原因是，由于这三个内力是由横截面上
xy
和 xz 直接引起的，所以只要考虑这两个应力分量即可。将式 (5.1.9) 代入应变
xy
xz
dv dv u v 0 0 0 y x dx dx dw dw u w 0 0 0 z x dx dx
上述各式中的 (3) 直法线假定
EI y
和 EI z 分别称为梁在两个坐标平面内的 抗弯刚度 。
现在我们来研究曲率半径
y
和 z 与形心位移之间的关系。
设轴线由各截面的形心连接而成，轴线上的横向位移在坐标系 (以后我们均取形心主 轴坐标系 )上的分量分别为 v0 ( x) 和 w0 ( x) 。显然，轴线上的位移仅仅是一个变量 x 的函数， 现在的问题是：如何将轴线外的点的位移用形心上的位移函数来表示？
(5.1.13)
x E x , xy yz zx 0
用上标 “ s ” 记梁的侧面， “ e ”记梁的端面。假定
T
s B2
（5.1.14）
f 0 in , px 0 on B2s ，
T
[ E () ] ud [ E (n) p] udB
(5.1.16)
此外，由 (5.1.16) 最后两式可定义
: FQy
dM z , dx
FQz
dM y dx d 2 v0 dx 2
(5.1.17)
加上由(5.1.14) 的本构关系（写成内力形式）
: M y EI y
d 2 w0 , dx 2
M z EI z
(5.1.18)
y z 0
u ( x, y , z ) y dv0 dw z 0, dx dx v( x, y, z ) v0 ( x) , w( x, y, z ) w0 ( x)
(5.1.12)
由于假定中同时含有应力假定和位移假定（直法线假定），所以选用以应力和位移作为 变量的二类变量广义变分原理，现选用二类变量广义余能原理 (4.2.1)
z
dv0 dx 的转动，从而
u ( x, y ) y
dv0 dx
图 5.2 法线在 x y 平面内的转动 类似地，可以考虑 x z 平面内的弯曲变形：
w( x, z ) w0 ( x) ,
u ( x, z ) z
dw0 dx
这样，梁上任意一点的位移可以写成
dv0 dw z 0 dx dx v( x, y, z ) v0 ( x) u ( x, y , z ) y w( x, y, z ) w0 ( x)
w0"
2 32
w0' 1
时，化为 (5.1.11) 式。
这样，引入直法线假定后，我们可以把整个梁内的位移问题 (从而求应变、应力问题 ) 归结为求轴线上的函数 v0 ( x) 和 w0 ( x) 。这里两个函数只与横向位移有关，称为梁的挠度，
梁的挠度是由弯曲变形引起的。为方便见，以后将挠度函数的下角标 “0”省略。 至此，梁件弯曲的三条假定已介绍完，但尚有三个问题需要说明： ● 假定 (1) 实际上已包含在假定 (3) 之中，因为曲线上任一点的法线全体构成一平面 (法平面 )，所以变形前轴线的法平面 (即横截面 )在变形后仍是法平面，自动满足假定 (1) 。 反过来却不一定成立，因为按假定 (3) ，横截面变形后仍是轴线的法平面，但按假定 (1) 尽管仍是平面，但不一定是法平面。一组完备的梁的弯曲假定，只须保留 (2) 和 (3) 两个假 定，称为欧拉 — 伯努利梁 (Euler-Bernoulli) 。 ● 在上述假定下， 的切应力 表达式：
2 ( , u) {(
B1
V ( E T ()u)T ) [ E () f ]T u}d
B2
(u u )T E (n) dB [ E (n) p]T udB 0 V ( E T ()u)T 0 由 可得
再由广义胡克定律可得
xy = xz 0
，从而横向剪力和扭矩为零。
● 以上假定是否符合实际情况？根据更精确的弹性力学计算证明，在均匀直梁且只 有纯弯矩 ( 横向剪力为零 ) 作用下，由上述假定得到的解与弹性力学的准确解完全一致， 当然这里要求外加力矩按式 (5.1.8) 分布的集度作用到梁上去。如果外力分布与式 (5.1.8) 不一致，则可以引用圣维南原理：除加力截面附近外，其余梁中的应力分布 (从而是位移 ) 和准确解基本一致。 事实上，上述假定可以应用到更广泛的范围：对细长梁来说，如果除 还有剪力
从而 (5.1.9)
x
d2v d2 w u y 20 z 20 x dx dx d 2 w0 , dx 2 1 d 2 v0 dx 2
(5.1.10)
将此式与式 (5.1.2) 比较
1
y
1

z

(5.1.11)
如果用微分几何来准确计算曲率半径
y
当

1 w '
0
qz 0
（5.1.14） (5.1.15)
dv0 dv0 dw0 dw0 , , v0 v0 , w0 w0 dx dx dx dx dM z nx Fy , dx dM y dx nx Fz
e B2 : M z nx M z , M y nx M y ,
T
e B2
dM y dM z v0 w0 ) dx dx
l 0
[( x nx px ) ( y
e B2
dv0 dw z 0 ) ( p y ) v0 ( pz ) w0 ]dB dx dx
dM y dM z v0 w0 ) l0 dx dx d v0 d w0 M z nx M z M y nx M y dx dx dM y dM z ( nx Fy ) v0 ( nx Fz ) w0 dx dx (
第 5 章 变分原理在结构力学中应用--梁的弯曲
简单起见，本节仅考虑直梁、且梁的轴线与 x 轴重合， y, z 为截面的主轴方向， xyz 构成右手坐标系。
5.1 梁弯曲的基本方程
5.1.1 梁的弯曲假定 以下我们分三部分来叙述梁的弯曲假定。 (1) 平面假定 在
My
和 M z 的共同作用下，梁上的 dx 微段的两截面将发生 (绕形心的 )相对转动。
x E x
由此可以计算内力：
E
y
z
E
z
y
(5.1.3)
FNx x dA ES y
A
1
y
1
ES z
1
z
1
(5.1.4) (5.1.5)
M y x zdA EI y
A
y
EI yz 1
z
1
M z x ydA EI yz
dx