反之，若某个评价指标是不太重要的（但不 能舍去），但在 个被评价对象中，它取 值的变化程度却非常大，那么，对这 n 个 被评价对象来说，该指标在评价过程中， 对评价结果的影响是非常大的。
n
一、权数的概念
权数：用来衡量总体中各单位标志值在总体 中作用大小的数值叫权数。 权数一般有两种表现形式：一是绝对数 （频数）表示，另一个是用相对数（频率） 表示。相对数是用绝对数计算出来的百分 数（％）或千分数（‟）表示的，又称比 重。

同时,我们必须进一步指出,统计预测中的权 数并不象综合指数中的同度量因素那样具 有一定的经济含义,权数与被加权因素之积 也不形成一个新的统计指标,权数本身仅仅 是一组带有主观假定性的抽象数字,它代表 各期数据的可靠性大小及其对预测结果影 响的重要性程度。可见,权数概念在统计预 测中得到扩展,为权数的应用范围开辟了一 个新的天地。

1.权数在指数领域中的发展 权数不但从指数计算开始,而且在近代统计 史上,权数主要是伴随着指数编制的发展而 发展。在综合指数编制的发展过程中,矛盾 的焦点就是权数问题。根据综合指数计算 中确定权数的方法特点,将权数的发展过程 分为如下四个阶段:

第一阶段从1812年至十九世纪50年代,可视 为初创阶段。 本阶段的主要特点是:权数的确定由凭经验 主观赋权发展到凭历史数据进行客观赋权。 这种客观赋权法对后来指数计算中的权数 确定具有不可抗拒的影响力。这一阶段的 代表人物是英国的杨格、罗威、斯克罗普。

此外，为了使判断更加准确，让评价者了 解已确定的权数把握性的大小，还可以运 用“带有信任度的德尔菲法”，该方法需 在上述第五步每位专家给出最后权数值的 同时，标出各自所给权数值的信任度，并 求出平均信任度。这样，如果某一指标权 数的信任度较高，就可以有较大的把握使 用它；反之，只能暂时使用或设法改进。

统计权数论 曾宪报 东北财大 关于多指标综合评价方法及其权数问题的 讨论 金贞珍 延边大学
二、权数的确定方法
一、德尔菲法 德尔菲法（ 又称为专家咨询法，其特点在 于集中专家的经验与意见，确定各指标的 权数，并在不断的反馈和修改中得到比较 满意的结果。基本步骤如下：

第一步，选择专家。这是很重要的一步， 选得好不好将直接影响到结果的准确性。 一般情况下，可以选本专业领域中既有实 际工作经验又有较深理论修养的专家10—30 人左右，并须征得专家本人的同意。
二、序关系分析法 1、方法及步骤 1）确定序关系

定义1 若评价指标 xi 相对于某评价准则 （或目标）的重要性程度大于（或不小于） x j 时，则记为 xi x j 。

定义2 若评价指标 x1, x2 ,, xm 相对于某评 价准则（或目标）具有关系式
x x x
* 1
* ， r4 3* 1.6 4
而 r2r3r4 2.688

第二步，将待定权数的个指标和有关资料 以及统一确定权数的规则发给选定的各位 专家，请他们独立地给出各指标的权数值。

第三步，回收结果并计算各指标权数的均 值与标准差。

第四步，将计算的结果及补充资料返还给 各位专家，要求所有的专家在新的基础上 重新确定权数。

第五步，重复上述第三和第四步，直至各 指标权数与其均值的离差不超过预先给定 的标准为止，也就是各专家的意见基本趋 于一致，以此时各指标权数的均值作为该 指标的权数。

第四阶段从本世纪二十年代以来,可视为反 省阶段。 本阶段的特点是:很少有人再提出新的加权 方法,而是不断“消化”老问题,重温旧争议。

2.权数在统计预测中的应用与扩展 正当指数领域中的权数发展步入低谷之时, 权数在统计预测中有了新的应用与发展,并 且将权数概念由实质性扩展为虚拟性,为权 数的应用范围开辟了一个新的天地。
1
m 1 （2）决策者在在余下的 个 指标中，选出认为是最重要（关于某评价准则） 的一个（只选一个）指标记 * x2 为 ；
（ k ）决策者在在余下的 m 1 个指标 中，选出认为是最重要（关于某评价准则） 的一个（只选一个）指标记为 ；
x
* k
（ m ）经过次挑选剩下的 评价指标记为 x* 。
m
m (k 1)
这样，就唯一确定了一个序关 * * * x2 xm 系 x1 。对于某些问题来说， 仅仅给出了序关系还不够，还要确定出各 评价指标相对于某评价准则（或目标）的 权重系数。
2）给出 xk 1 与 判断
xk
间相对重要程度的比较
设专家关于评价指标 xk 1 与 xk 的重要性 程度之比 k 1 / k的理性判断分别为

2.现代统计科学中的权数探源。既然《管子轻 重·山权数篇》中的权数并非现代统计意义上的 权数,那么现代权数又源于何时何处?
据史料记载,1812年,英国政治算术学家阿瑟·杨格 在其所著《英国币值递增的研究》一书中,首次提 出用加权平均法计算物价指数,被视为加权算术平 均法的开端,同时也是现代统计权数的开端。为了 求出物价水平的变动,杨格将各种商品按重要性分 别配以一定的权数,如“大麦的重要性二倍于羊毛、 煤、铁,而粮食有四倍的重要,小麦与劳动力则有五 倍的重要”等,从而计算出综合指数。

德尔菲法是调查、征集意见、汇总分析、 反馈、再调查、一个反复的过程，专家们 是处于互不知情的隔离状态，每个人的信 息是他自己的知识、经验、专长以及调查 机构反馈给他的汇总情况的集中体现，这 就便于集中智慧。所以不少方法也都或多 或少地借用这一想法，反复比较、协调， 求得较好的结果和比较一致的意见。
，对k从2到m求和，
m m ri k 1 / m k 2 i k k 2

k 1 m k
注意到 得
1
，
m 1 1 r m i k 2 i k 故得证式（3），式（4）可由式（1）推出。 证毕。
3.权数在多指标综合评价中得到进一步扩展 多指标综合评价,只是最近十几年来在统计 研究与统计实践中逐渐发展起来的一项新 课题。在多指标综合评价中,为了对被评价 事物作出一项全面合理的整体性评价,需要 把反映该事物各方面的指标综合在一起,形 成一个综合性指标,由于事物本身发展的不 平衡性,以及评价目标值的侧重点有所不同, 有些指标在综合评价值的形成过程中所起 作用大一些,有些则小一些,这样,就需要对各 个指标进行加权处理。
* 2
* m
时，则称评价指标 x1, x2 ,, xm 之间按 * x “ ”确立了序关系。这里 i 表示 {xi } 按关系“ ”排定顺序后的第 i 个 评价指标（ i 1,2,, m ）。


对于评价指标集 {x1, x2 ,, xm} ，可按下属 步骤建立序关系：
（1）决策者在指标 {x1, x2 ,, xm} 集 ，选出认为是 最重要（关于某评价准则）的一个（只选一个） * 指标记为 ； x

三、权数的发展 因为现代权数始于指数计算,所以权数首先 在指数领域得到充分发展;当指数领域中的 权数发展进入反省阶段以后,权数又开始在 统计预测中发挥巨大的作用,而且统计预测 中的权数已经突破了指数领域中实质性权 数的概念;直到最近十来年,随着对多指标综 合评价方法的系统分析,权数概念得到进一 步扩展。

桓公问管子曰:“请问权数”。 管子对曰:“天以时为权,地以财为权,人以力 为权,君以令为权。” 要想理解这段话中“权数”一词含义,请先 看“权”之涵义。
很显然,这里的“权”是称量的意思,引 伸为权衡,具有权衡轻重之涵义。只有权衡 方知轻重,就象没有规矩不成方圆一样。 那么这里的“权数”又作何解释呢? “数者术数,权数犹言行权之术数”。可见, 这里的“权数”是指权衡轻重的原则和方 式、方法,并不是现代统计科学中的权数。 二者的共同之处在于“权”,而不同之处在 于“数”,古代权数相当于确定现代统计权 数的原则和方法。因此我们认为,具有“权 衡轻重之数”含义的现代权数是从管仲的 “贵轻重,慎权衡”思想衍生而来的。


在统计预测中,考虑到时间数列各观察值的远近对预测未来的重要性不同,使用权数来 加重近期数值的作用,以提高预测结果的准 确程度,这只是近几十年来发生的事。统计 预测方法很多,无论是加权移动平均法、指 数平滑法、折扣最小平方法还是三点预测 法,它们都体现了同一种基本精神,即按照时 间数列中观察值的远近,用某种可以控制的 方法来调整每个观察值的权数,使预测结果 更加准确、可靠。
1.6
1.8
指标 xk 1 比指标 xk 强烈重要 指标 xk 1 比指标 xk 极端重要
关于之间的数量约束
rk
，有下面的定理：
定理1 若 x1, x2 ,, xm 具有序关 系 x x x ，则 rk 与
1 2 m
rk 1 必
须满足
1 ， k m, m 1, m 2,,3,2 （2） rk 1 rk
k 1 / k rk
当
k m, m 1, m 2,,3,（ 2 1） ，
m 较大时，可取
rk
rm 1
。
的赋值可参考下表。
表1 赋值参考表
rk
1.0 1.2 1.4
说明 指标 xk 1与指标 xk 具有同样重要性 指标 xk 1比指标 xk 稍微重要 指标 xk 1 比指标 xk 明显重要

然而,在多指标综合评价中,往往找不到诸如 同度量因素之类的实质性权数。因此,为了满 足多指标综合评价的要求,需要对权数概念 作进一步扩展。本文作者之一邱东教授在 其所著《多指标综合评价方法的系统分析》 一书中对权数的定义、分类、产生方式以 及权数概念为什么要扩展等问题都作了比 较详尽的论述。

参考书目
m
3）权重系数的计算 , x4 例：设某评价问题有4个评价指标为 x1, x2 , x3 ， 专家认为 x1, x2 , x3 , x4 之间具有序关系