三角函数的性质及其编稿：李霞审稿：孙永钊【考纲要求】1、了解函数sin()yAx????的物理意义；能画出sin()yAx????的图象，了解参数A，?，?对函数图象变化的影响.2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.【知识络】【考点梳理】考点一、函数sin()yAx????(0A?,0??)的图象的作法1.五点作图法：作sin()yAx????的简图时，常常用五点法，五点的取法是设tx????，由t取0、2?、?、32?、2?来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。

2．图象变换法：（1）振幅变换:把sinyx?的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍（横坐标不变），得到sinyAx?的图象；（2）相位变换:把sinyAx?的图象上所有点向左(?>0)或向右(?<0)平行移动|?|个单位，得到sin()yAx???的图象；（3）周期变换:把sin()yAx???的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的?1倍（纵坐标不变），可得到sin()yAx????的图象.（4）若要作sin()yAxb????，可将sin()yAx???的图象向上(0)b?或向下(0)b?平移b个单位，可得到sin()yAxb????的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。

要点诠释：由sinyx?的图象利用图象变换作函数sin()yAx????的图象时要特别注意：当周期变换和相位sin()yAx????sin图象的作法三角函的质其图象的性变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别.考点二、sin()yAx????的解析式1.sin()yAx????的解析式sin()yAx????(0A?, 0??)，[0,)x???表示一个振动量时，A叫做振幅，2T???叫做周期，12fT????叫做频率，x???叫做相位，0x?时的相位?称为初相. 2.根据图象求sin()yAx????的解析式求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)???. 求解步骤是先由图象求出A与T，再由2T???算出?，然后将第一零点代入0x????求出?. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数sin()yAx????(0A?,0??)的性质1. 定义域: xR?,值域:y∈[-A,A]. 2．周期性: 2T???3. 奇偶性:2k?????时为偶函数；k???时为奇函数，kZ?.4．单调性:单调增区间:[????????????22,22kk] , kZ?单调减区间:[????????????232,22kk] , kZ?5. 对称性:对称中心(????k,0)，kZ?；对称轴x=??????2k，kZ?6．最值:当22xk???????即22kx???????时，y取最大值A当22xk???????即22kx???????时，y取最小值-A．(kZ?).要点诠释：①求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为sin()yAx????，要特别注意A、?的正负，再把x???看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；②整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的【典型例题】类型一、求函数sin()yAx????(0A?,0??)的单调区间例1（2016 丰台区模拟）已知函数()cos(cos3sin)fxxxx??. (Ⅰ)求f（x）的最小正周期；(Ⅱ)当[0,]2x??时，求函数f（x）的单调递减区间.【解析】(Ⅰ) 2()cos3sincosfxxxx??31cos2sin222xx???311sin2cos2222xx???1sin(2)62x????222T???????，故f（x）的最小正周期为π. (Ⅱ)当3222,262kxkkZ???????????时，函数f（x）单调递减，即f（x）的递减区间为：2[,],63kkkZ???????，由2[0,][,][,],26362kkkZ????????????所以f（x）的递减区间为：[,]62??．【总结升华】熟练掌握函数sin()yAx????(0,0)A???的单调区间的确定的方法.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法来求解.举一反三：【变式1】求下列函数的单调递增区间. （1）2sin()4312yx???，（2）|sin()|4y x????，（3）)tan(33yx???.【解析】（1）∵1212sin()sin()243234yxx???????，∴递增区间为9π21π[3,3]88xkk?????(kZ?)；（2）画出|sin()|4y x????的图象：可知增区间为3[,]44xkk???????(kZ?)；（3）函数在区间5[,]183183kkx????????(kZ?)上是增函数.【变式2】函数sin()cos()3262xxy?????的单调递减区间是（）A、[2,2]()22kkkZ???????B、2[2,2]()23kkkZ???????C、2[2,2]()33kkkZ???????D、[2,2]()kkkZ????【答案】C【解析】函数112sin()cos()cos()3262223xxyx?????????，故本题即求2cos()3x??的增区间．由2223kxk????????，kZ?可得C正确.类型二、三角函数sin()yAx????的图象变换及其性质例2．已知函数22()(sin2cos2)2sin2fxxxx???．(Ⅰ)求()fx的最小正周期；(Ⅱ)若函数()ygx?的图象是由()yfx?的图象向右平移8?个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x?[0，4?]时，求()ygx?的最大值和最小值．【解析】(Ⅰ)22()(sin2cos2)2sin2fxxxx???2sin(4)4x???，所以函数()fx的最小正周期为2?．(Ⅱ)依题意，()ygx??2sin[4()8x??4??]1?2sin(4)14x????因为04x???，所以34444x???????．当442x????，即316x??时，()gx取最大值21?；当444x?????，即0x?时，()gx取最小值0．【总结升华】本题的关键之处是正确写出函数图象平移后的解析式.举一反三：【变式1】由sin()3yx???的图象得到cosyx?的图象需要向平移个单位.【答案】左，6?；【解析】∵cossin()2yxx????，∴由sin()3yx???的图象得到cossin()2yxx????的图象需要向左平移6?个单位. 【变式2】函数sin(2)3yx???的图象可由cos2yx?的图像经过怎样的变换得到( )A．向左平移6?个单位B．向右平移6?个单位C．向左平移12?个单位D．向右平移12?个单位【答案】D【变式3】若函数sinyx?的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的13，再将图象沿x轴向右平移3π个单位，则新图象对应的函数式是( )A．sin3yx??B1πsin33yx????????Cπsin33yx????????Dπsin39yx????????【答案】A例3.(2015 淮南校级三模)已知函数????sin,0,2fxMxM??????????????的部分图像如图所示.(1)求函数??fx的解析式.(2)在ABC?中，角A、B、C的对边分别是a、b、c若??2coscosacBbC??，求2Af??????的取值范围.【解析】(1)由图像知1M?，函数??fx的最小正周期54126T????????????，故2??当6x??时??sin2sin163fx??????????????????????所以2,32kkZ????????所以2,6kkZ??????，又2???所以6???所以??sin26fxx?????????(2)由??2coscosacBbC??得??2sinsincossincosACBBC????2sincossinsinABBCA????1cos2B??，2,33BAC??????sin26AfA????????????????，203A???5666A???????1sin126A???????????1122Af?????????【总结升华】给出sin()yAx????型的图象，求它的解析式，要从图象的升降找准位置.举一反三：【变式1】下图是函数2sin()yx????（0??，2||???）的图象．则?、?的值是（）A1011??，6??? B1011??，6????C．2??，6??? D．2??，6????【答案】C【解析】由图象可得：2sin1112sin01221112??????????????????????????∵2||???，由2sin1??得6???，由11112sinsin012612??????????????????????，得??11212kk???????Z∴12211k???（k?Z）由21112????，得2411??．满足24011???时，1k?或2k?．由此得到11011??，22??．注意到11212TBC???，即1112????，因此1211??，这样就排除了1011??．∴2??，6???注意：因为函数sin()yAx????是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A、?、?．的值．本题虽然给出了0??，2||???的条件，但是仅靠(0，1 )、11012???????，两点，不能完全确定?、?的值．在确定?的过程中，比较隐蔽的条件11212TT???（2T???）起了重要作用．【变式2】(2015 陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin6yxk???????????.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10【答案】C【解析】由题意可知当sin6x?????????取最小值-1时，函数取最小值min32yk????，解得5k?3sin56yx?????????????当sin6x?????????取最大值1时，函数取最大值max358y???.故选C.【变式3】已知函数??????sin0,0fxx??????????为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为24??．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若??2sin(2)124sin,31tan f??????????求的值．【解析】(1)∵)(xf为偶函数，∴0cossin2),sin()sin(????????????xxx恒成立∴ππcos00,22????????又．其图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为2π4?，设其最小正周期为xxfTTTcos)(,1π2π,2π42,22???????????则(2)∵原式,cossin2cossin1sin2cossin2tan112cos2sin2??????????????????又,32cossin????95,95cossin2,94cossin21?????????原式????类型三：综合例4.已知函数43cossin23cos212???xxxy. （1）当x取何值时，y取得最大值并求最大值；（2）求函数()yfx?的单调递增区间；（3）求函数()yfx?的图象的对称中心，对称轴；要使函数成为偶函数，向左平移最少单位是多少；（4）求函数()yfx?在]676[??，上的图象与23?y的围成的封闭图形的面积；【解析】（1）43cossin23cos212???xxxy11cos233sin22244131(sin2cos2)12221sin(2)1.26xxxxx????? ???????当2262??????kx，即3????kx()kZ?时，23max?y.（2）由226222??????????kxk得322322????????kxk,即36kxk????????，∴单调增区间是[,]36kk??????()kZ?.（3）函数()yfx?的图象的对称中心，是图象与平衡位置所在直线1y?的交点；函数()yfx?的图象的对称轴，是经过图象上表示最大、最小值的点且与x轴垂直的直线.如图:令1y?,则0)62sin(???x,∴????kx62即)(122Zkkx?????，∴对称中心坐标为)1,122(???k()kZ?，当y取得最大，最小值时1)62sin(????x，∴262??????kx，即26kx????()kZ?，∴对称轴方程为26kx????()kZ?. 当0k?时，6??x 是y轴右侧且离y轴最近的对称轴，所以将原函数图象向左平移最少为6?时，图象满足关于y轴对称，成为偶函数.（4）方法一：定积分法所求面积为:??77666631[sin(2)1]226Sdxxdx?????????77666631|[cos(2)]|2462xxx????????????方法二：如上图，M是矩形ABFE的一个对称中心，所以A点与F点间的图象将矩形ABFE的面积平分，同理，F、D间的图象将矩形EFCD的面积平分，故函数在]676[??，上图象与23?y围成封闭图形面积是矩形ABCD面积的21，所求面积为2)1(21????.所以将原函数图象向左平移最少为6?时，图象满足关于y轴对称，成为偶函数. 【总结升华】图象的变换是三角函数的重点内容之一.函数的各种变换都是对自变量x或函数值y进行的变换.举一反三：【变式1】设函数)0(23cossincos3)(2????????xxxxf，且)(xf 的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为6?．(1)求?的值; (2)若????????65π,3πx，求)(xf的最小值．【解析】(1)232sin212cos23)(???xxxf??233π2sin?????????x?∵2π3π6π2????，∴21??．(2)∵23)3πsin()(???xxfmin3())257 ,0,,36361 sin()1,2331().22fxxxx xfx????????????????????????????????（II)=sin(+3，【高清课堂：三角函数的性质及应用397865 例5】【变式2】函数2()6cos3sin3(0)2xfxx???????在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且ABC?为正三角形. (Ⅰ)求?的值及函数()fx的值域;(Ⅱ)若083()5fx?,且0102(,)33x??,求0(1)fx?的值.【解析】由已知可得()3cos3cosfxxx????(Ⅰ)由已知可得:2()6cos3sin3(0)2xfxx???????=3cosωx+)3sin(32sin3?????xx又由于正三角形ABC的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(?????????，得，即的周期Txf所以,函数]32,32[)(?的值域为xf(Ⅱ)因为，由538)(0?xf(Ⅰ)有，538)34(sin32)(00?????xxf54)34(sin0????x即由x0)2,2()34x(323100?????????），得，（所以,53)54(1)34(cos20??????x即故??)1(0xf???)344(sin320???x]4)34(sin[320?????x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin3200??????????????xx 567?。