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高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制1、将沿x 轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角2、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈3、第一象限角:{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈第二象限角:{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈第四象限角:{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角:{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈锐角:{}090αα<< 小于90的角:{}90αα<5、若α为第二象限角,那么2α为第几象限角? ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2α在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.01801≈=︒π815730.571801'︒=︒≈︒=π1209、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=⨯;面积:21122S l R R α=⨯=⨯,注意:这里的α均为弧度制.二、任意角的三角函数1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan yxα=其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,r =2、三角函数值对应表:3、三角函数在各象限中的符号3045 60 90 120 135 150 1802700 π 3π 2π 2 3 5 π32π口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.(简记为“全s t c ”)sin α tan α cos α 第一象限:0,0.>>y x sin α>0,cos α>0,tan α>0, 第二象限:0,0.><y x sin α>0,cos α<0,tan α<0, 第三象限:0,0.<<y x sin α<0,cos α<0,tan α>0, 第四象限:0,0.<>y x sin α<0,cos α>0,tan α<0,4、三角函数线设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与P (,)x y , 过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.由四个图看出:当角α的终边不在坐标轴上时,有向线段,OM x MP y ==,于是有sin 1y y y MP r α====, cos 1x xx OM r α====, tan y MP ATAT x OM OAα====.我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

5、同角三角函数基本关系式o x y M T P A o x y M T P A xy o M T P A x yo M T P A (Ⅳ) (Ⅱ) (Ⅰ) (Ⅲ)22sin cos 1αα+=sin tan tan cot 1cos ααααα=⇒= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-(ααcos sin +,ααcos sin -,ααcos sin •,三式之间可以互相表示)6、诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是απ+2n 中整数n 的奇偶性,把α看作锐角)212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数;212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数. ①.公式(一):α与()2,k k Z απ+∈απαsin )2sin(=+k ;απαcos )2cos(=+k ;απαtan )2tan(=+k②.公式(二):α与α-()sin sin αα-=-;()cos cos αα-=;()tan tan αα-=-③.公式(三):α与πα+()sin sin παα+=-;()cos cos παα+=-;()tan tan παα+=④.公式(四):α与πα-()sin sin παα-=;()cos cos παα-=-;()tan tan παα-=-⑤.公式(五):α与2πα+sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭;cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭; ⑥.公式(六):α与2πα-sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭;cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭; ⑦.公式(七):α与32πα+ 3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭;3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭; ⑧.公式(八):α与32πα-3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭;3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭;三、三角函数的图像与性质1、将函数sin y x =的图象上所有的点,向左(右)平移ϕ个单位长度,得到函数()sin y x ϕ=+的图象;再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1ω倍(纵坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象。

2、函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的性质: ①振幅:A ;②周期:2T πω=;③频率:12f T ωπ==;④相位:x ωϕ+;⑤初相:ϕ。

3、周期函数:一般地,对于函数()f x ,如果存在一个非零常数T ,使得定义域内的每一个x 值,都满足()()f x T f x +=,那么函数()f x 就叫做周期函数,T 叫做该函数的周期.4、⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴:令2x k πωϕπ+=+,得ωϕππ-+=2k x对称中心:πϕωk x =+,得ωϕπ-=k x ,))(0,(Z k k ∈-ωϕπ;⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴:令πϕωk x =+,得ωϕπ-=k x ;对称中心:2ππϕω+=+k x ,得ωϕππ-+=2k x ,))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ;⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数,且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数,且A ≠0). 5 sin y x =cos y x = tan y x =图像函数 性 质6. 五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图,设ϕω+=x t ,取0、2、π、2、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

7. )sin(ϕ+ω=x A y 的的图像8. 函数的变换:(1)函数的平移变换①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左(右)平移a 个单位 (左加右减)②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上(下)平移b 个单位 (上加下减)(2)函数的伸缩变换:①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的w1倍(1>w 缩短, 10<<w 伸长)②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A 倍(1>A 伸长,10<<A 缩短)(3)函数的对称变换:① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于x 轴对称)② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于y 轴对称)③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留,并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧(偶函数局部翻折)④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像,x 轴下方图像绕x 轴翻折上去(局部翻动)四、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式:(1)βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ (2)βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- (3)βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4)βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- (5)βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-(6)βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(7) sin cos a b αα+=)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,sin tan baϕϕϕ===,该法也叫合一变形). (8))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+-2. 二倍角公式(1)a a a cos sin 22sin =(2)1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a (3)aaa 2tan 1tan 22tan -=3. 降幂公式:(1)22cos 1cos 2a a +=(2) 22cos 1sin 2a a -=4. 升幂公式(1)2cos 2cos 12αα=+ (2)2sin2cos 12αα=-(3)2)2cos 2(sin sin 1ααα±=± (4)αα22cos sin 1+= (5)2cos2sin 2sin ααα=5. 半角公式(符号的选择由2θ所在的象限确定) (1)2cos 12sinaa -±=, (2)2cos 12cos a a +±= , (3)a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=6. 万能公式: (1)2tan 12tan2sin 2ααα+=, (2)2tan 12tan 1cos 22ααα+-=, (3).2tan 12tan2tan 2ααα-=7.三角变换:三角变换是运算化简过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算、化简的方法技能。

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