第十六章 Fourier 级数习题 16.1 函数的Fourier 级数展开⒈设交流电的变化规律为E t A t ()sin =ω，将它转变为直流电的整流过程有两种类型：⑴ 半波整流（图16.1.5(a)） f t At t 12()(sin |sin |)=+ωω； ⑵ 全波整流（图16.1.5(b)）f t A t 2()|sin |=ω；现取ω=1，试将f x 1()和f x 2()在],[ππ-展开为Fourier 级数。
解 （1）0a =11()f x dx πππ-⎰2Aπ=，a n =11()cos f x nxdx πππ-⎰22(1)An π=-- (2,4,6,n =L ),n a =11()cos 0f x nxdx πππ-=⎰，（1,3,5,n =L ）； 1b =11()sin 2Af x xdx πππ-=⎰， b n =11()sin 0f x nxdx πππ-=⎰，(2,3,4,n =L )。
1()f x :212cos 2sin 241k AA A kxx k ππ∞=+--∑。
（2）0a =21()f x dx πππ-⎰4Aπ=，a n =21()cos f x nxdx πππ-⎰24(1)An π=-- (2,4,6,n =K ), n a =21()cos 0f x nxdx πππ-=⎰（1,3,5,n =K ）； b n =21()sin 0f x nxdx πππ-=⎰，(1,2,3,n =L)。
2()f x :∑∞=--12142cos 42k k kxAAππ。
⒉ 将下列函数在],[ππ-上展开成Fourier 级数：⑴ x x f sgn )(=; ⑵ f x x ()|cos |=;(a)(b)图16.1.5⑶ 222)(π-=x x f ;⑷ f x ()⎩⎨⎧∈-∈=);,0[,0),0,[,ππx x x ⑸ f x ()⎩⎨⎧∈-∈=).,0[,),0,[,ππx bx x ax解（1）()f x 为奇函数，所以0n a =，（0,1,2,n =K ），b n =1()sin f x nxdx πππ-⎰2(1cos())n n ππ-=，(1,2,3,n =L )。
()f x :∑∞=--112)12sin(4k k xk π。
（2）()f x 为偶函数，所以0n b =，（1,2,3,n =L ），0a =1()f x dx πππ-⎰4π=，n a =1()cos f x nxdx πππ-⎰224(1)(1)n n π-=-- ，(2,4,6,n =L ),n a =1()cos 0f x nxdx πππ-=⎰，（1,3,5,n =L ）。
()f x :∑∞=---122cos 14)1(42k kkx k ππ。
（3）()f x 为偶函数，所以0n b =，（1,2,3,n =L ），0a =1()f x dx πππ-⎰253π=-，n a =1()cos f x nxdx πππ-⎰22(1)nn-= (1,2,3,n =L )。
()f x :nx nn ncos )1(265122∑∞=-+-π。
（4）0a =1()f x dx πππ-⎰2π=-，n a =1()cos f x nxdx πππ-⎰21(1)nn π--=，(1,2,3,n =L ), b n =1()sin f x nxdx πππ-⎰cos()n n π=-，(1,2,3,n =L )。
()f x :∑∞=+++-02)12()12cos(24k k x k ππnx n n n sin )1(11∑∞=+-+。
（5）0a =1()f x dx πππ-⎰()2b a π-=，n a =1()cos f x nxdx πππ-⎰2()(1(1))n a b n π---=，(1,2,3,n =L ), b n =1()sin f x nxdx πππ-⎰()cos()a b n nπ+=-，(1,2,3,n =L )。
()f x :∑∞=++-+--02)12()12cos()(24)(k k xk b a b a ππnx n b a n n sin )1()(11∑∞=+-++。
⒊ 将下列函数展开成正弦级数：⑴ x x f +=π)(,],0[π∈x ; ⑵ f x x ()e =-2,],0[π∈x ;⑶ f x ()⎩⎨⎧∈∈=];,[,),,0[,222ππππx x x ⑷ f x ()⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=].2,1[,0),1,0[,2cos x x x π 解（1）b n =2()sin f x nxdx ππ⎰12(1)2nn--=⋅，(1,2,3,n =L )。
()f x :112(1)2sin nn nx n ∞=--∑。
（2）b n =2()sin f x nxdx ππ⎰2221(1)(4)n n e n ππ-⎡⎤--⎣⎦=+，(1,2,3,n =L )。
()f x :[]nx n e n n n sin 4)1(12122∑∞=-+--ππ。
（3）b n =2()sin f x nxdx ππ⎰22(1)2sin 2n n n n πππ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦=，(1,2,3,n =L )。
()f x :nx n n n n n sin 2sin 4)1(2121∑∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππ。
（4）1b =2021()sin 2f x xdx π=⎰，b n =22()sin 2f x nxdx ⎰22(sin)2(1)n n n ππ-=-，(2,3,4,n =L )。
()f x :x n n n n x n 2sin 12sin22sin122πππππ∑∞=--+。
⒋ 将下列函数展开成余弦级数：⑴ f x x x ()()=-π,],0[π∈x ; ⑵ f x x ()e =,],0[π∈x ;⑶ f x ()⎩⎨⎧∈∈=];,[,1),,0[,2sin 244πππx x x ⑷ 22)(ππ-+-=x x x f ,],0[π∈x . 解（1）0a =2()f x dx ππ⎰23π=，n a =2()cos f x nxdx ππ⎰22(1(1))n n +-=-，(1,2,3,n =L )。
()f x :∑∞=-1222cos 6k k kxπ。
（2）0a =2()f x dx ππ⎰2(1)e ππ=-，n a =2()cos f x nxdx ππ⎰22(1)1(1)n e n ππ⎡⎤--⎣⎦=+，(1,2,3,n =L )。
()f x :)1(1-ππe []nx n e n n cos 11)1(212∑∞=+--+ππ。
（3）0a =204()f x dx ππ⎰2ππ+=， 1a =204()cos 2f x xdx ππ⎰1π=-，n a =204()cos 2f x nxdx ππ⎰22sin (1)2n n n n ππ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，(2,3,4,n =L )。
()f x :111()cos 22x ππ+-22211sin 1cos 212n n nx n n ππ∞=⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∑。
（4）0a =2()f x dx ππ⎰2π=，n a =2()cos f x nxdx ππ⎰24(1)cos 2n n nππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=，(1,2,3,n =L )。
()f x :nx n n n ncos 2cos)1(4412∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+πππ。
⒌ 求定义在任意一个长度为π2的区间]2,[π+a a 上的函数f x ()的Fourier 级数及其系数的计算公式。
解 设f x ()~a a nx b nx n n n 012++=∞∑(cos sin )，则2201()cos (cos sin )cos 2a a n n aan a f x mxdx a nx b nx mxdx ππ∞++=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰22201cos (cos cos sin cos )2a a a n n aaan amxdx a nx mxdx b nx mxdx πππ∞+++==++∑⎰⎰⎰m a π=，(0,1,2,m =K ),2201()sin (cos sin )sin 2a a n n aan a f x mxdx a nx b nx mxdx ππ∞++=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰22201sin (cos sin sin sin )2a a a n n aaan amxdx a nx mxdx b nx mxdx πππ∞+++==++∑⎰⎰⎰m b π=，(1,2,m =K ),所以a n =⎰+ππ2cos )(1a anxdx x f (Λ,2,1,0=n ), b n =⎰+ππ2sin )(1a anxdx x f (Λ,2,1=n )。
⒍ 将下列函数在指定区间展开成Fourier 级数：⑴ 2)(xx f -=π,]2,0[π∈x ;⑵ f x x ()=2,]2,0[π∈x ;⑶ x x f =)(, x ∈[,]01;⑷ f x ()⎩⎨⎧∈-∈=);1,0[,0),0,1[,e 3x x x ⑸ f x ()⎩⎨⎧∈-∈=),0[,0),0,[,T x T x C (C 是常数). 解（1）n a =201()cos 0f x nxdx ππ=⎰，(0,1,2,n =L ),b n =201()sin f x nxdx ππ⎰1n=，(1,2,3,n =L )。
()f x :nx nn sin 11∑∞=。
（2）0a =22018()3f x dx πππ=⎰， n a =201()cos f x nxdx ππ⎰24n =，(1,2,3,n =L ),b n =201()sin f x nxdx ππ⎰4n π=-，(1,2,3,n =L )。
()f x :∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-+122sin cos 1434n nx n nx nππ。
（3）0a =102()1f x dx =⎰，n a =102()cos 2f x nxdx π⎰0=，(1,2,3,n =L),b n =12()sin 2f x nxdx π⎰1n π=-，(1,2,3,n =L )。
()f x :nx nn ππ2sin 11211∑∞=-。
（4）0a =1311()(1)3f x dx e --=-⎰， n a =11()cos f x nxdx π-⎰32231(1)9n e n π-⎡⎤=--⎣⎦+，(1,2,3,n =L ), b n =11()sin f x nxdx π-⎰3221(1)9n n e n ππ-⎡⎤=-+-⎣⎦+，(1,2,3,n =L )。